2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.7离散型随机变量及其分布列数字特征（附解析）

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1. 甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得分，共下5局.用表示甲的得分,则表示（ D ）
A. 甲3胜2负B. 甲4胜1负
C. 甲3胜2平或甲3胜2负D. 甲4胜1负或3胜2平
解：甲3胜2平或4胜1负时,均得3分.故选.
2. 已知随机变量的概率分布列如下表所示，则（ C ）
A. B. C. D.
解：由分布列性质,可得，则，故 或.故选.
3. 已知随机变量的分布列为
则（ D ）
A. B. 1C. D.
解：由题意，知，解得.则.故选.
4. 已知随机变量满足,则（ D ）
A. 2B. 4C. 6D. 7
解：因为随机变量 满足，所以.故选.
5. 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则（ A ）
A. 2B. 1C. D.
解：可能取1，2，，
，.
所以.故选.
6. 【多选题】设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ACD ）
A. B. ，
C. ，D. ，
解：因为，所以，故 正确.
，，故 正确.
因为，所以，，故 正确.故选.
7. 已知随机变量服从两点分布，且，，那么 .
解：由题意,可知，解得.故填.
8. 在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中.
（1） 求第3次恰好取完两个黑色球的概率；
解：由题意，知前两次取球中有一次取到黑色球，故第3次取球恰好是第二次取到黑色球的概率.
（2） 若取到两个黑色球或者取球次数达到4次就停止取球，设停止取球时取球次数为，求的分布列和数学期望.
[答案]
由题意，可知 的所有可能取值为2，3，4.
，,
.
故 的分布列为
.
【综合运用】
9. 已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（ B ）
A. B. C. 1D.
解：，解得.由分布列的性质，得，解得.所以.故选.
10. 已知甲盒子中有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子中有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（ C ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
解：由题意，得，，，，.故选.
11. [2022年浙江卷]现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， .
解：从7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 种，所以.
由已知,可得 的取值为1，2，3，4.
，，
，.
所以.
故填;.
12. 某学校拟开展一次趣味运动比赛，比赛由若干个传统项目和新增项目组成，每位运动员共需参加3个运动项目.对于每一个传统项目，若没有完成，得0分；若完成了，得30分.对于新增项目，若没有完成，得0分；若只完成了1个，得40分;若完成了2个，得90分.最后得分越多者，获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择.
方案一：只参加3个传统项目；
方案二：参加1个传统项目和2个新增项目.
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为，能完成每个新增项目的概率均为，且运动员参加的每个项目是否能完成相互独立.
（1） 若运动员选择方案一，设最后得分为，求的分布列与数学期望.
解：由题意，得 的所有可能取值为0，30，60，90，且,.
所以，
，
，
.
故 的分布列为
所以.
（2） 若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
[答案]
设选择方案二的最终得分为，则的可能取值为0，30，40，70，90，120.
，
，
，
，
，
.
故的分布列为
，
所以应选择方案一.
【拓广探索】
13. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的均值，则的取值范围是（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由题意，随机变量 的所有可能取值为1,2,3，
可得,,.
则.
由，得，解得 或.又，所以.
故选.

0
1
2






0
2
4





0
1
2
3
4


0.4
0.1
0.2
0.2

2
3
4






0
1





0
30
60
90






0
30
40
70
90
120