数学：宁夏回族自治区吴忠市区学校2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：宁夏回族自治区吴忠市区学校2024年中考一模试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
【解析】的绝对值是，
故选：A．
2. 由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图：
故选A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C.和不是同类项，不能相加，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是个，
故选：A．
5. 如图，在中，点和分别在和上，且．连接，过点的直线与平行，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
，
，
，，故选C．
6. 如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵五边形为正五边形
∴，,，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点C为线段的黄金分割点，
设,
则，
∴，
化简得，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A. 12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°
【答案】B
【解析】连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，
故选B.
8. 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④，以上结论正确的有
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④
【答案】B
【解析】①当x=0时，y=1200，
∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；
②乙的速度为1200÷（24-4）=60（m/min），
甲的速度为1200÷12-60=40（m/min），
60÷40=1.5，
∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③b=（60+40）×（24-4-12）=800，结论③正确；
④a=1200÷40+4=34，结论④错误．
故结论正确的有①②③．
故选：B．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. ______．
【答案】
【解析】原式= .
故答案为：.
10. 如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是___________．
【答案】8
【解析】∵，
，
，
故答案为：8．
11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 __．
【答案】
【解析】根据题意得，解得，
即的取值范围为．
12. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________．
【答案】
【解析】假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：；
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴，解得x=7．
故答案： ．
13. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）
【答案】
【解析】根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
14. 在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且，当时，则的长为______．
【答案】6
【解析】∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴．
故答案为：6．
15. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是，则图中截面圆的半径是______．
【答案】
【解析】如图，连接、交于点D；
则，
设的半径为r，则，
在直角中，，
由勾股定理得：
解得：．
故答案为．
16. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________．

【答案】4
【解析】，
∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：4．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17. 计算：．
解：原式
．
18. 解不等式组：并写出它整数解．
解：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3，
解不等式＜x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴不等式组的整数解为0、1、2．
19. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________；
A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
解：（1）解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量；
故答案为：甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量
（2）解法一：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元；
解法二：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元．
20. 骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元个、30元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润售价进价）
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
解：（1）设甲、乙两种头盔的售价分别是元/个、元/个．
则，
解得，
答：甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个；
（2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，
则，解得，
答：甲种头盔最多购进40个．
21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲，乙，丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试成绩规则为每次连续接球10个，每垫球到位一个记1分，收集整理数据如下：
运动员丙测试成绩统计表
（1）根据图表可得：______，______，______；
（2）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明；
（3）训练期间甲，乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答．
解：（1），
由统计图知：乙的测试成绩中7分出现了5次，次数最多，故，
甲的中位数为，
故答案为：7；7；6；
（2）从平均数、众数、中位数上看，乙和丙都较高，从方差上看，乙的方差小于丙的方差，则乙的成绩比较稳定，
故选乙；
（3）根据题意画出树状图如下：
一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有2种可能，
∴第二轮结束时球到甲手中的概率．
22. 如图，四边形是矩形，对角线与交于点O．

（1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若．
①求的度数；
②求的值．
解：（1）如图，线段即为所作，

（2）①∵四边形是矩形，对角线与交于点O，
∴，，
由作图知，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②作于G，设，

∵是等边三角形，
∴，则，
∴，，
由①得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（本题共4小题，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共36分）
23. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）．
（1）求反比例函数解析式及点的坐标；
（2）若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集；
（3）连接，求的面积．
解：（1）由题意可知，
将点坐标代入中得，， ∴，
∴双曲线的解析式为，
由图象可知，点的横坐标为，把代入得，，
∴点坐标为；
（2）由图象可知，点横坐标为，则关于的不等式的解集是或；
（3）连接、，
则，
∵，∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴．
24. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
解：（1）连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值；
（3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，∴，
∴，
将代入得，
由①②得，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）令得，
∴，，
∴，
令得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解方程得，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作轴交于点E，
设P点坐标为，则，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴此时P点坐标为；
（3）∵对称轴与x轴交于点N，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，、
①当时，
如图所示有，，
②当时，过点C作，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
③当时，由四边形为矩形知，，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：点M的坐标为，，，
26. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题中设计的问题，请你解答．
（1）【观察发现】如图①，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
（2）【探究迁移】如图②，在中，，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，请仅就图②的情形解决以下问题：
①求______；
②求两点间的距离．
（3）【拓展应用】如图③，在正方形中，点E，F分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点H处，连接与交于点M，请仅就图③的情形解决以下问题：
①求______；
②若，求的长度．
解：（1）∵关于轴对称的图形，与关于x轴对称，
∴与关于O点中心对称，
∴可以看作是绕点O顺时针旋转得到的，
∵，
∴，
∵关于直线对称，
∴，即，
∴可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，8．
（2）①如图：连接，
由轴对称的性质可得：，，
∴，
∴
故答案为：120．
②如图：连接分别交于G、H，作、，
∴四边形和是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得：，
∴．
（3）①由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法
分析问题
列出方程
解法一
设……
等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二
设……
等量关系：甲图书单价乙图书单价20
时间
甲头盔销量
乙头盔销量
销售额
周一
10
15
1150
周二
6
12
810
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
7
7
5
8
7
8
7
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
6.3
6
0.81
乙
7
7
0.4
丙
7
7
0.8