2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题（二模三模）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，四象限，那么k，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 计算(－a3)2的结果是 （ ）
A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6
2. 如果函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，那么k、b应满足条件是（ ）
A. k＞0，且b＞0 B. k＜0，且b＞0 C. k＞0，且b＜0 D. k＜0，且b＜0
3. 下列各式中，的有理化因式是（　　）
A. B. C. D. ．
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A. 3：2 B. 2：3 C. D. ．
5. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立是（　　）

A. B. C. D.
6. 在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，没有能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A. ∠ABC=∠DCB B. ∠DBC=∠ACB C. ∠DAC=∠DBC D. ∠ACD=∠DAC
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解______.
8. 函数的定义域是_____．
9. 如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．
10. 抛物线y=x2+4的对称轴是________．
11. 将抛物线y=-x2平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为________．
12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是_______．
13. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所的路程是12米，此时物体离地面的高度是_____米．

14. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么_____（结果用含、的式子表示）．

15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝_____．
16. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是_____．
17. 将一个三角形放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是_____．
18. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN长是_____．

三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
20. 解方程：=1．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求AC：CB的值．

22. 如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

23. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD•CA=CE•CB．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若，求证：AB•AD=AF•AE．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．

（1）求点C坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
25. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．
（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．




























2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 计算(－a3)2的结果是 （ ）
A. －a5 B. a5 C. a6 D. －a6
【正确答案】C

【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数没有变，指数相乘.即可得出结果
【详解】，故选C.
本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.

2. 如果函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A. k＞0，且b＞0 B. k＜0，且b＞0 C. k＞0，且b＜0 D. k＜0，且b＜0
【正确答案】B

【详解】解：∵函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：B．
3. 下列各式中，的有理化因式是（　　）
A. B. C. D. ．
【正确答案】C

【详解】∵（）（）=（）2-22=x-4，
∴的有理化因式是，
故选C.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A. 3：2 B. 2：3 C. D. ．
【正确答案】B

【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，由此即可解决问题．
【详解】∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，
故选B.
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】∵AB//CD，∴ ，故A、D选项错误；
∵AB//CD，∴△AEF∽△DEC，∴，故B选项错误；
∵AB=CD，，∴，故C选项正确，
故选C
6. 在梯形ABCD中，AD∥BC，下列条件中，没有能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A. ∠ABC=∠DCB B. ∠DBC=∠ACB C. ∠DAC=∠DBC D. ∠ACD=∠DAC
【正确答案】D

【详解】A、∵∠ABC=∠DCB，
∴BD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、∵∠DAC=∠DBC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA
∴OB=OC，OD=OA，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，
∴OA=OD，OB=OC，
∴AC=BD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
D、根据∠ACD=∠DAC，没有能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确．
故选D．

点睛：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解______.
【正确答案】a（3a+1）

【详解】3a2+a=a（3a+1），
故答案为a（3a+1）．
8. 函数的定义域是_____．
【正确答案】x≠﹣1

【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x≠1，
故答案为x≠1.
9. 如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．
【正确答案】

【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，
∴△＜0，即22+4a＜0，
解得a＜﹣1，
故答案为a＜﹣1．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根.
10. 抛物线y=x2+4的对称轴是________．
【正确答案】直线##轴

【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴（或直线x=0），
故直线或轴．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11. 将抛物线y=-x2平移，使它的顶点移到点P（-2，3），平移后新抛物线的表达式为________．
【正确答案】

【详解】∵原抛物线，平移后顶点是P（-2，3），
∴平移后的抛物线的表达式为：y，
故答案为y=.
本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是_______．
【正确答案】4:9.

【详解】试题分析：相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解
∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3；
∴它们的面积比为4：9．
考点：相似三角形的性质．
13. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：，把物体从地面A处送到坡顶B处时，物体所的路程是12米，此时物体离地面的高度是_____米．

【正确答案】6

【详解】如图：作BF⊥AF，垂足为F．
∵tan∠BAF=BF：AF=1：，
∴∠BAF=30°，
∴BF===6（米），
故答案为6.

14. 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点．如果，，那么_____（结果用含、的式子表示）．

【正确答案】

【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案 ；
15. 已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝_____．
【正确答案】2

【详解】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，
∴AE：AC=DE：BC，
∵BC=3DE，
∴AE：AC=1：3，
∵AC=6，
∴AE=2，
故答案为2.

16. 在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点G为△ABC的重心．如果GC=2，那么sin∠GCB的值是_____．
【正确答案】

【详解】由此AG交BC于点M，过点G作GP⊥BC，垂足为P，
∵∠MPG=∠BCA=90°，
∴PG//AC，
∴△MPG∽△MCA，
∴MG：MA=PG：AC，
∵G为△ABC的重心，
∴MG：MA=1：3，
∵AC=4，
∴PG=，
∴sin∠GCB==，
故答案为.
.
本题考查了三角形的重心、相似三角形的判定与性质等，熟记三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.
17. 将一个三角形放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是_____．
【正确答案】6

【详解】如图，由题意可得四边形ABED是矩形，∴AD=BE，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，∠ACB=30°，∴BC==，
同理FE=，
所以这两个等边三角形的周长差为：3（BC+EF）=6，
故答案为6.

18. 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是_____．

【正确答案】

【详解】∵∠A=45°，∠ADM=90°，
∴∠AMD=45°=∠A，
∴DM=AD=2，
∵AB=7，
∴BD=7-AD=5，
∵△BDE沿着DE所在直线翻折得到△PDE，
∴PD=BD=5，∠PDE=∠BDE，
∴PM=PD-DM=3，
∵∠PDE+∠BDE=∠BDP=90°，
∴∠BDE=45°=∠A，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BD：BA=DE：AC，
即5：7=DE：6，
∴DE= ，
∵DE//AC，
∴△PMN∽△PDE，
∴MN：DE=PM：PD，
即：MN：=3：5，
∴MN=，
故答案为.

本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质等，能根据已知证明出DE//AC是解题的关键.
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
【正确答案】．

【分析】（1）原式利用二次根式的性质，零指数幂法则，值的代数意义，以及角的三角函数值进行化简即可得到结果．
【详解】原式，
，
．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 解方程：=1．
【正确答案】x=1

【分析】方程两边同乘转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.
【详解】解：方程两边同乘得:
，
整理，得，
解这个方程得，，
经检验，是增根，舍去，
所以，原方程的根是．
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检验.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求AC：CB的值．

【正确答案】(1) y=2x+4;(2)

【详解】试题分析：（1）先确定A、B的坐标，然后再利用待定系数法进行求解即可；
（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，证明△ACM∽△BCN，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1）∵点A（，6）和点B（-3，）双曲线，∴m=1，n=-2，
∴点A（1，6），点B（-3，-2），
将点A、B代入直线，得 ，解得 ，
∴直线AB的表达式为：；
（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，
∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN，
∴．

22. 如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

【正确答案】39米

【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 在Rt△ADE中，利用三角函数求出的长，在Rt△ACE中，求出的长即可得.
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，
在Rt△ADE中，∵，∴，
在Rt△ACE中，∵，∴，
∴（米），
答：建筑物CD的高度约为39米．

23. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD•CA=CE•CB．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若，求证：AB•AD=AF•AE．

【正确答案】(1)见解析；（2）见解析

【分析】（1）证明△CAE∽△CBD即可得；
（2）过点C作CG//AB，交AE延长线于点G，证明△ADF∽△AEB即可得.
【详解】试题分析：
（1）∵，
∴，
∵∠ECA＝∠DCB，
∴△CAE∽△CBD，
∴∠CAE＝∠CBD．
（2）过点C作CG//AB，交AE的延长线于点G．
∴，
∵，
∴，
∴CG=CA，
∴∠G＝∠CAG，
∵∠G＝∠BAG，
∴∠CAG＝∠BAG．
∵∠CAE＝∠CBD，∠AFD＝∠BFE，
∴∠ADF＝∠BEF．
∴△ADF∽△AEB，
∴，
∴．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）点Q的坐标为（4，0）或（9，0）.

【详解】试题分析：（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为（3,0），根据两点式写出二次函数解析式，再令y=0，求出y的值，即可的点C的坐标；
（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的长，然后根据△ABC的面积为6，列方程求出a的值；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，分两种情况求解：当Rt△QGH∽Rt△GFH时，求得m的一个值；当Rt△GFH∽Rt△FCO时，求得m的另一个值.
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
当x=0时，y=﹣3a，
∴C（0，﹣3a）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=3a，
∴S△ACB=AB•OC=6，
∴6a=6，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，
∵点G与点C，点F与点A关于点Q成对称，
∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，
∴OF=2m+1，HF=1，
当∠CGF=90°时，
∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，
∴∠GQH=∠HGF，
∴Rt△QGH∽Rt△GFH，
∴=，即=，解得m=9，
∴Q的坐标为（9，0）；
当∠CFG=90°时，
∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，
∴∠CFO=∠FGH，
∴Rt△GFH∽Rt△FCO，
∴=，即=，解得m=4，
∴Q的坐标为（4，0）；
∠GCF=90°没有存在，
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

点睛：本题考查了二次函数与几何综合，用到的知识点有：二次函数的对称性，图形与坐标，对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和相似三角形的判定与性质.
25. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P没有与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．
（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数没有变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1);(2)（0＜x＜2）;(3)见解析

【分析】（1）延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x，由∠PBC＝∠BPQ可得EB=EP，再根据AD//BC，QD＝QC可得PD＝CE，PQ＝QE，从而得BE＝EP= x+2， QP＝，在Rt△PDQ中，根据勾股定理可得，从而求得的长，再根据正切的定义即可求得；
（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，通过证明Rt△PAB≅ Rt△PHB，得到AP = PH =x，通过证明Rt△BHQ≅ Rt△BCQ，得到QH = QC= y，在Rt△PDQ中，根据 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2，代入即可求得；
（3）存在，根据（2）中的两对全等三角形即可得.
【详解】（1）延长PQ交BC延长线于点E，设PD=x，
∵∠PBC＝∠BPQ，
∴EB=EP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，
∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，
∴BE＝EP= x+2，
∴QP＝，
在Rt△PDQ中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；

（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，
∵AD//BC，
∴∠CBP＝∠APB，
∵∠PBC＝∠BPQ，
∴∠APB＝∠HPB，
∵∠A＝∠PHB＝90°，
∴BH = AB =2，
∵PB = PB，
∴Rt△PAB Rt△PHB，
∴AP = PH =x，
∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，
∴Rt△BHQ Rt△BCQ，
∴QH = QC= y，
在Rt△PDQ中，
∵，
∴，
∴ ；

（3）存在，∠PBQ＝45°．
由（2）可得，，，
∴．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键.





2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. C. 3 D. -3
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形是　　
A. B. C. D.
4. 在下列中，是必然的是（　　）
A. 买一张电影票，座位号一定是偶数 B. 随时打开电视机，正在播新闻
C. 通常情况下，抛出的篮球会下落 D. 阴天就一定会下雨
5. 用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
正面
6. 如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2的大小为（　　）

A. 34° B. 54° C. 56° D. 66°
7. 对于反比例函数y＝，下列说确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象过点（－6，－2）
C. 图象与y轴的交点是（0，3） D. 当x＜0 时，y随x的增大而减小
8. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）

A. B. 5 C. 6 D.
二、填 空 题（每小题 3 分，共 24 分）
9. 使根式有意义的x的取值范围是___．
10. 荷兰花海，风景如画，引得众多游客流连忘返．据统计今年清明小长假前往花海踏青赏花游客超过 130 000 人次，把 130 000 用科学记数法表示为_______．
11. 甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
12. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
－2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝－1时，y＝__________．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，，那么BD=_____．

14. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′大小为________．

15. 如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段 AB 向上平移 m个单位得到 A′B′，连接 OA′．如果△OA′B′是以 OB′为腰的等腰三角形，那么 m 的值为_______．

16. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，点 E 是⊙A 上的任意 一点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF，则 AF 的值是______________

三、解 答 题（本大题共 11 小题，共 102 分）
17. 计算
18. 化简：
19. 解没有等式组：．
20. 三张完全相同的卡片正面分别标有数字 1，3，5，将它们洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到数字恰好为 3 的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（没有放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表 或画树状图求所组成的两位数恰好是“51”的概率．
21. 某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试成绩为样本，按A（）、B（良好）、C（合格）、D（没有合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表．请你图表中所给信息解答下列问题：
等级
人数
A（）
40
B（良好）
80
C（合格）
70
D（没有合格）

（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是　 　；
（3）该校八年级共有1200名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数．

22. 已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（没有写作法）
①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；
②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．
23. 某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ km；
（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从次过P点到第二次过P点所用的时间为24min．
①求AB所在直线的函数表达式；
②该运动员跑完全程用时多少min？


24. 某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行，其进价与标价如下表：

LED灯泡
普通白炽灯泡
进价（元）
45
25
标价（元）
60
30
（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行，而普通白炽灯泡打九折，当完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在没有打折的情况下，请问如何进货，完这批灯泡时获利至多且没有超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

25. 四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE＝EC，BE＝ED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝6，求弧AE 的长．

26. 有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的 夹角叫做智慧角．
（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若∠A 为智慧角，则∠B 的度数为 ；
（2）如图①，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC 是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，A（3，0），点 B，C 在函数 y＝ （x＞0）的图像上，点 C 在点 B 的上方，且点 B 的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求 k 的值．

27. 如图①，函数y=x﹣2图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的值；
（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．

2022-2023学年重庆市区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（三模）
一、选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. C. 3 D. -3
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据相反数的意义知：的相反数是.
故选：A．
【考点】相反数.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：A．x2× x3＝ x5， 故A错误；
B．(-2x2 )2 ＝ 4 x4，故B错误；
C．( x3 )2＝ x6 ，正确；
D．x5¸ x ＝ x4，故D错误．
故选C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 在下列中，是必然的是（　　）
A. 买一张电影票，座位号一定是偶数 B. 随时打开电视机，正在播新闻
C. 通常情况下，抛出的篮球会下落 D. 阴天就一定会下雨
【正确答案】C

【分析】根据必然指在一定条件下一定发生的，利用这个定义即可判定．
【详解】解：A． 买一张电影票，座位号一定是偶数，是随机；
B． 随时打开电视机，正在播新闻，是随机；
C． 通常情况下，抛出的篮球会下落，是必然；
D． 阴天就会下雨，是随机．
故选C．
5. 用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：从几何体左面看得到一列正方形的个数为2，
故选A．
考点：简单组合体的三视图．
正面
6. 如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2的大小为（　　）

A. 34° B. 54° C. 56° D. 66°
【正确答案】B

【详解】分析：根据a∥b求出∠3的度数，然后根据平角的定义求出∠2的度数．
详解：∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°－36°=54°，故选B．

点睛：本题主要考查的是平行线的性质以及平角的性质，属于基础题型．明白平行线的性质是解决这个问题的关键．
7. 对于反比例函数y＝，下列说确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象过点（－6，－2）
C. 图象与y轴的交点是（0，3） D. 当x＜0 时，y随x的增大而减小
【正确答案】D

【详解】解：A．因为反比例函数y=的k=3＞0，所以它的图象分布在、三象限，故本选项错误；
B．当x=﹣6时，y=﹣，即反比例函数y=的图象没有过点（﹣6，﹣2），故本选项错误；
C．反比例函数y=的图象与坐标轴没有交点，故本选项错误；
D．因为反比例函数y=的k=3＞0，所以在每一象限内，y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选D．
8. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）

A. B. 5 C. 6 D.
【正确答案】B

【分析】易证△CFE∽△BEA，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有值，列出方程式即可解题．
【详解】若点E在BC上时，如图

∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠CFE＝∠AEB，
∵在△CFE和△BEA中，
，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有值，此时，BE＝CE＝x﹣，即，
∴，
当y＝时，代入方程式解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB＝，
∴矩形ABCD的面积为2×＝5；
故选B．
本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．
二、填 空 题（每小题 3 分，共 24 分）
9. 使根式有意义的x的取值范围是___．
【正确答案】

【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故．
10. 荷兰花海，风景如画，引得众多游客流连忘返．据统计今年清明小长假前往花海踏青赏花游客超过 130 000 人次，把 130 000 用科学记数法表示为_______．
【正确答案】1.3×105．

【详解】解：130000=1.3×105．故答案为1.3×105．
11. 甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
【正确答案】甲

【分析】

【详解】∵S甲2=16.7，S乙2=28.3，∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为甲．
12. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
－2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝－1时，y＝__________．
【正确答案】3

【详解】试题解析：将点代入，得
解得：
二次函数的解析式为：
当时，
故答案为
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，，那么BD=_____．

【正确答案】

【详解】：∵在RT△ABC中，∠C=90°,BC=8，tanA=,∴AC= ,
∴AB=,∵边AB的垂直平分线交边AB于点E, ∴BE=,∵在RT△BDE中，∠BED=90°, ∴co=,∴BD=,故答案为.
点睛：本题考查了解直角三角形，线段平分线的性质，掌握直角三角形中边角之间的关系是解答本题的关键.
14. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．

【正确答案】36°

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°－72°＝36°；
故答案为36°．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
15. 如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段 AB 向上平移 m个单位得到 A′B′，连接 OA′．如果△OA′B′是以 OB′为腰的等腰三角形，那么 m 的值为_______．

【正确答案】3或．

【详解】解：∵A、B的坐标分别为（4，0），（0，2），∴OA=4，OB=2，∴AB=2．∵将线段AB向上平移m个单位得到A′B′，∴A′B′=2．∵△OA′B′是以 OB′为腰的等腰三角形，∴①当OB′=A′B′=2时，∴m=BB′=2﹣2；
②当OB′=A′O=2+m时，∴2+m=，∴m=3．
综上所述：如果△OA′B′为等腰三角形，那么m的值为3或2﹣2．
故答案为 3或2﹣2．
16. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，点 E 是⊙A 上的任意 一点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF，则 AF 的值是______________

【正确答案】．

【详解】解：如图，过点A作∠EAB=45°交⊙A于点E，此时旋转后AF，过点E作EG⊥AD交DA延长线于G．在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，∴EG=AG=．∵∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1，∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，∴点C在线段AF上，∴AF=AC+CF．∵AC是边长为2的正方形的对角线，∴AC=2，∴AF=2+1，即：AF的值是2+1．故答案为2+1．

点睛：本题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是AF时，AF过点C．难点是找出AF时，点E的位置，是一道中等难度的试题．
三、解 答 题（本大题共 11 小题，共 102 分）
17. 计算
【正确答案】3

【详解】试题分析：根据值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质解答即可．
试题解析：解：原式＝5－1＋2－3＝3．
18. 化简：
【正确答案】

【详解】试题分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
试题解析：解：原式＝＝＝．
19. 解没有等式组：．
【正确答案】

【详解】试题分析：先分别求出每一个没有等式的解集，然后再确定没有等式组的解集即可.
试题解析：，
解没有等式①得 ，
解没有等式②得，
∴没有等式组的解集为．
20. 三张完全相同的卡片正面分别标有数字 1，3，5，将它们洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到数字恰好为 3 的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（没有放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表 或画树状图求所组成的两位数恰好是“51”的概率．
【正确答案】(1) ;(2)

【分析】（1）用3的个数除以数的总数即为所求的概率；
（2）列举出所有情况，看所组成的两位数恰好是“51”的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：（1）抽到数字恰好为3的概率为．
（2）画树状图如下：

由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中恰好是51的有1种．
∴P（两位数恰好是“51”）＝．
21. 某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试成绩为样本，按A（）、B（良好）、C（合格）、D（没有合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表．请你图表中所给信息解答下列问题：
等级
人数
A（）
40
B（良好）
80
C（合格）
70
D（没有合格）

（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是　 　；
（3）该校八年级共有1200名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）人数．

【正确答案】(1)见解析；（2）72°；（3）1140人.

【分析】（1）根据B等80人占总体的40%，即可求得总人数，再进一步根据D等占5%，即可求得D等人数；
（2）根据A等占总体的百分比，再进一步根据圆心角等于百分比×360°进行计算；
（3）求得样本中合格所占的百分比，再进一步估计总体中的合格人数．
【详解】（1）D（没有合格）的人数有：80÷40%×5%=10（人）；
等级
人数
A（）
40
B（良好）
80
C（合格）
70
D（没有合格）
10
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是：
故答案为72°；
（3）根据题意得：
（人），
答：测试成绩合格以上（含合格）的人数有1140人．
22. 已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（没有写作法）
①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；
②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析.

【详解】试题分析：（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件没有难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明.
试题解析：
（1）如图所示：

（2）BD= DE.
证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠1=∠ABC ，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC=∠4，
∴∠1=∠4，
∵CE=CD ，
∴∠2=∠3，
∵∠4=∠2＋∠3，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴BD= DE .
点睛：（1）掌握尺规作图作角平分线的方法；
（2）掌握等腰三角形的性质.
23. 某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min，根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ km；
（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从次过P点到第二次过P点所用的时间为24min．
①求AB所在直线的函数表达式；
②该运动员跑完全程用时多少min？

【正确答案】（1）5千米．（2）直线AB 解析式为s＝－t＋．60分.

【详解】试题分析：（1）根据路程=速度×时间，即可求出a值；
（2）①根据点O、A的坐标，利用待定系数法即可求出线段OA的函数表达式，根据函数图象上点的坐标特征可求出次点P的时间，进而可得出第二次点P的时间，再根据点A的坐标及（39，3），利用待定系数法即可求出AB所在直线的函数表达式；
②根据函数图象上点的坐标特征，求出AB所在直线的函数表达式中当s=0时t的值，此题得解．
试题解析：解：（1）∵从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min用时25分钟，∴a=0.2×25=5（千米）．故答案为5．
（2）①设线段OA函数表达式为s=mt+n，将O（0，0）、A（25，5）代入s=mt+n中，得：，解得：，∴线段OA的函数表达式为s=t（0≤t≤25），∴当s=t=3时，t=15．∵该运动员从次过P点到第二次过P点所用的时间为24min，∴该运动员从起点到第二次P点所用的时间是15+24=39（min），∴直线AB点（25，5），（39，3）．设AB所在直线的函数表达式为s=kt+b，将（25，5）、（39，3）代入s=kt+b中，得：，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为s=﹣ t+．
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，∴当s=0时，﹣t+=0，解得：t=60，∴该运动员跑完赛程用时60分钟．
点睛：本题考查了函数的应用、待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）①根据点的坐标，利用待定系数法求出AB所在直线的函数表达式；③根据函数图象上点的坐标特征，求出该运动员跑完全程所用时间．

24. 某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行，其进价与标价如下表：

LED灯泡
普通白炽灯泡
进价（元）
45
25
标价（元）
60
30
（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行，而普通白炽灯泡打九折，当完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在没有打折的情况下，请问如何进货，完这批灯泡时获利至多且没有超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

【正确答案】（1）LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；（2）1 350元.

【分析】1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10a+600，再根据完这批灯泡时获利至多且没有超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据函数的性质解决问题．
【详解】（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡数量为y个．根据题意，得
解得
答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个．
（2）设该商场再次购进LED灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元．则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个．根据题意得
W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+600．
∵10a+600≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得a≤75，
∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，
∴a=75时，W，值为1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45个．
答：该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1 350元．
本题考查了二元方程组和函数的应用,根据实际问题找到等量关系列方程组和建立函数模型，利用函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题是解题的关键.
25. 四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE＝EC，BE＝ED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝6，求弧AE 的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；
（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，用弧长公式即可得出结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，∴OF⊥AD，且，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．
在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC==，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．
连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并题意加以灵活运用是解题的关键．
26. 有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的 夹角叫做智慧角．
（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若∠A 为智慧角，则∠B 的度数为 ；
（2）如图①，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC 是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，A（3，0），点 B，C 在函数 y＝ （x＞0）的图像上，点 C 在点 B 的上方，且点 B 的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求 k 的值．

【正确答案】（1）45°．（2）见解析；（3）k＝4或18＋15．

【详解】试题分析：（1）由智慧角的定义得到AB=AC，解直角三角形即可得到结论．
（2）过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，由∠A＝45°，得到AC＝DC．
在Rt△BCD中，由∠B＝30°，得到BC＝2DC，即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①∠ABC＝90°；②∠BAC＝90°．
试题解析：解：（1）∵∠ACB＝90°，若∠A 为智慧角，∴AB=AC，∴cosA=，∴∠A=45°，∴∠B=45°．
（2）如图1，过点C作CD⊥AB于点D．

在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AC＝DC．
在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2DC，∴＝，∴△ABC是智慧三角形．
（3）由题意可知：∠ABC＝90°或∠BAC＝90°．
①当∠ABC＝90°时，如图2，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴＝＝＝．
设AE＝a，则BF＝a．∵BE＝，∴CF＝2．
∵OG＝OA＋AE－GE＝3＋a－2＝1＋a，CG＝EF＝＋a，∴B（3＋a，），C（1＋a，＋a）．∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图像上，∴(3＋a)＝(1＋a)(＋a)＝k．
解得：a1＝1，a2＝－2（舍去），∴k＝．
②当∠BAC＝90°时，如图3，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠CMA＝∠CAB＝∠A＝90°，∴∠MCA＋∠CAM＝∠BAN＋∠CAM＝90°，∴∠MCA＝∠BAN．由（1）知∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB．
由①知△MAC∽△A，∴△MAC≌△A（AAS），∴AM＝BN＝．
设CM＝AN＝b，则ON＝3＋b，∴B（3＋b，），C（3－，b）．
∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图像上，∴(3＋b)＝(3－)b＝k，
解得：b＝9＋12，∴k＝18＋15．
综上所述：k＝4或18＋15．
27. 如图①，函数y=x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象A、B两点，与x轴交于另一点C．
（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；
（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的值；
（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．

【正确答案】（1）二次函数关系式为y＝；C（1，0）；（2）当m＝2时，PD＋PE有值6；（3）点M的坐标为或．

【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后把A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论；
（2）先证明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．设P（m，），则E（m，），PD＋PE＝3PE，然后配方即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．求出圆心O1的坐标和半径，利用MO1=半径即可得到结论．
②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．求出点O2的坐标，算出DM的长，即可得到结论．
【详解】解：（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．
令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．
∵二次函数y＝的图像A、B两点，
∴，解得：，
∴二次函数的关系式为y＝．
令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．
（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴，
∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，
∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，
∴PD＝2PE．设P（m，），
则E（m，）．
∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．
∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有值6．
（3）①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．
∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，－t）．
∴＝，解得：t＝2，
∴圆心O1的坐标为（，－2），∴半径为．
设M（，y）．∵MO1=，∴，
解得：y=，∴点M的坐标为（）．
②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．
∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB，
∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （，0），∴O2D＝1，
∴DM＝＝，∴点M的坐标为．
综上所述：点M的坐标为或．

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，圆的有关性质．难度比较大，解答第（3）问的关键是求出△ABC外接圆的圆心坐标．