2024年山东省东营市东营区胜利第一初级中学中考模拟考试数学试卷

这是一份2024年山东省东营市东营区胜利第一初级中学中考模拟考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了75°的圆心角所对的弧长是2等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，互为相反数的是( )
A. -(-2)和2B. 12和-2C. -(+3)和+(-3)D. -(-5)和-|+5|
2.如图所示的几何体，若每个小正方体的棱长为2，则左视图的面积为( )
A. 24
B. 20
C. 10
D. 16
3.下列计算正确的是( )
A. (x+2y)(x-2y)=x2-2y2B. (-x+y)(x-y)=x2-y2
C. (2x-y)(x+2y)=2x2-2y2D. (-x-2y)(-x+2y)=x2-4y2
4.如图，已知直线a、b、c相交于A、B、C三点，则下列结论：
①∠1与∠2是同位角；
②内错角只有∠2与∠5；
③若∠5=130°，则∠4=130°；
④∠2<∠5；
正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是( )
A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm
6.周日早晨，妈妈送张浩到离家1000m的少年宫，用时20分钟.妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟.张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟.如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是( )
A. B.
C. D.
7.某列车提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相同，若列车平均提速20km/h，设提速后平均速度为x km/h，所列方程正确的是( )
A. 400x=500x+20B. 400x=500x-20C. 400x-20=500xD. 400x+20=500x
8.如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，连接BD交AC于点E，连接OE，且∠OEB=45°，若OB=10，则OE的长为( )
A. 6
B. 3 3
C. 2 5
D. 2 10
10.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若一个正数的平方根分别为2a-2和3-a，则a的值是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A(-3,4)的对应点是A1(2,5)，则点B(-4,2)的对应点的坐标是______．
13.分解因式：2a2-8b2=______．
14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=6，BD=8，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E.点G在直线AC上运动，则BG+EG的最小值为______．
15.若关于x的分式方程2x-2+mxx2-4=3x+2无解，则m=______．
16.如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
(1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
(2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)计算：(2- 3)(2+ 3)+2cs45°-(π-2 3)0+(-2)2；
(2)先化简，再求值：(m2-9m2-6m+9-3m-3)÷m2m-3，其中m= 33．
19.(本小题8分)
无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图，李乐利用无人机测量教学楼的高度AB，无人机在空中点M处，测得点M距地面上C点30m，点C处的俯角为55°，距楼顶A点10m，点A处的俯角为30°，其中点A，B，C，M在同一平面内.若每层教学楼的高度为3.4m，楼顶加盖2m，求该教学楼的层数.(结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.4)
20.(本小题8分)
2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)该校参加志愿者活动的大学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，安保对应的圆心角为______度；
(3)现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率．
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b与双曲线y2=kx(k≠0)，分别相交于第二、四象限内的A(m,4)，B(6,n)两点，直线AB与x轴交于点C.已知OC=3，tan∠ACO=23．
(1)求直线y₁，双曲线y₂对应的函数解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出的解集ax+b≥kx．
22.(本小题9分)
如图，等腰直角△ABC与⊙O交于点B，C，∠ACB=90°，延长AB，AC与⊙O分别交于点D，E，连接CD，ED，并延长ED至点F，使得∠FBD=∠BCD．
(1)求∠CED的度数；
(2)求证：BF与⊙O相切；
(3)若⊙O的半径为2，求CD的长．
23.(本小题10分)
如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)．
(1)求抛物线的关系式；
(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积；
(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE．

(1)当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
基础探究：
①如图1，若BC= 3AB，则∠AFB的度数为______．
深入探究：
②如图2，当BC=6 6，且EF=EC时，求AB的长．
拓展探究：
(2)在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.因为-(-2)=2，所以-(-2)和2不是互为相反数，因此选项A不符合题意；
B.12和-2不是互为相反数，因此选项B不符合题意；
C.因为+(-3)=-3，-(+3)=-3，所以+(-3)和-(+3)不是互为相反数，因此选项C不符合题意；
D.因为-(-5)=5，-|+5|=-5，由于5和-5是互为相反数，所以-(-5)和-|+5|互为相反数，因此选项D符合题意；
故选：D．
先将各数化简，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐个进行判断即可．
本题考查相反数，理解相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，是正确判断的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从左面看能看到5个小正方形，所以左视图的面积为5×22=20．
故选：B．
根据左视图即可求出面积．
本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】解：A、(x+2y)(x-2y)=x2-4y2，本选项错误，不符合题意；
B、(-x+y)(x-y)=-(x-y)2=-x2+2xy-y2，本选项错误，不符合题意；
C、(2x-y)(x+2y)=2x2+3xy-2y2，本选项错误，不符合题意；
D、(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2，必须执行正确，符合题意．
故选：D．
根据多项式乘多项式法则一一计算即可判断．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则．
4.【答案】C
【解析】解：①因为∠1和∠2是直线AC、BC被直线AB所截得的同位角，所以此结论正确；
②因为内错角除了∠2和∠5外，还有∠1和∠3及另外一组，所以此结论错误；
③因为∠5和∠4是对顶角，所以∠5=∠4，若∠5=130°，则∠4=130°；所以此结论正确；
④因为∠5>∠2，所以此结论正确；
因此正确的结论有3个，故选C．
①②根据同位角和内错角的定义可知；
③对顶角相等；
④三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的一个内角，∠5是△ABC的一个外角；
本题考查了三线八角、三角形外角与内角及对顶角的判别，解答此类题时确定三线八角是关键，可直接从截线入手；对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语；熟练掌握相交线两线四角及三角形外角与内角的性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；③对顶角相等；④邻补角互补．
5.【答案】A
【解析】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由L=nπr180，
∴2.5π=75π×r180，
解得：r=6，
故选：A．
根据弧长公式L=nπr180，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．
此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L=nπr180才能准确的解题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，妈妈送张浩到离家1000m的少年宫，用时20分钟，张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了15分钟，
∴在图象上表现为C．
故选：C．
依据题意，根据运动的路程与时间判断折线的走势，注意几个时间段：妈妈送张浩到离家1000m的少年宫，用时20分钟，张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了15分钟，据此判断即可．
本题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是根据张浩去时用的时间，在少年宫玩了20分钟的乒乓球的时间，返回的时间判断出折线的走势．
7.【答案】C
【解析】解：∵提速后平均速度为x km/h，且动车平均提速20km/h，
∴动车提速前的平均速度为(x-20)km/h．
根据题意得：400x-20=500x．
故选：C．
根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为(x-20)km/h，利用时间=路程÷速度，结合动车提速后行驶400km与提速后行驶500km所用的时间相同，即可动出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
只有闭合两条线路里的两个才能形成通路．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】
解：列表得：
∴一共有20种情况，使电路形成通路的有12种情况，
∴使电路形成通路的概率是1220=35，
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：连接AD，过点O作OH⊥BD于H，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠EAB=90°-2∠ABD，∠CEB=90°-∠ABD，
∵∠BEO=45°，
∴∠CEO=45°+90°-∠ABD=135°-∠ABD，
∴∠AEO=45°+∠ABD，
∵∠CEO=∠EAB+∠AOE，
∴∠AOE=45°+∠ABD，
∴∠AOE=∠AEO，
∴AO=AE=10，
∵∠DAE=∠ABD，∠D=∠D，
∴△DAE∽△DBA，
∴AEAB=DEAD=12，
∴AD=2DE，
∵AD2+DE2=AE2=100，
∴AD=4 5，
∵OH//AD，
∴OHAD=OBAB=12，
∴OH=12AD=2 5，
∵∠OEB=45°=∠EOH，
∴EH=OH=2 5，
∴EO=2 10，
故选：D．
过点O作OH⊥BD于H，由圆周角的定理和三角形的外角性质可证∠AOE=∠AEO，可得AO=AE=10，通过证明△DAE∽△DBA，可得AEAB=DEAD=12，可求AD=2DE，由勾股定理可求AD的长，由平行线分线段成比例可求OH的长，即可求解．
本题考查了三角形的外接圆和外心，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，求出AD的长是本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图2知，AB=BC=10，
当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为8(即此时BP=8)，
当y=8时，PC= BC2-BP2= 102-82=6，
∴AC=2PC=12，
△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12=48，
故选：D．
由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
11.【答案】-1
【解析】解：根据题意得：2a-2+3-a=0，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
根据平方根的定义得到2a-3与5-a互为相反数，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
12.【答案】(1,3)
【解析】解：因为点A(-3,4)的对应点是A1(2,5)，
所以2-(-3)=5，5-4=1，
即将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度可得△A1B1C1．
所以-4+5=1，2+1=3，
即点B的对应点的坐标为(1,3)．
故答案为：(1,3)．
根据点A和点A1的坐标得出平移的方向和距离，进而可求出点B的对应点的坐标．
本题考查坐标与图形变化-平移，通过点A和其对应点的坐标，得出平移的方向和距离是解题的关键．
13.【答案】2(a+2b)(a-2b)
【解析】【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行两次分解因式．
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：2a2-8b2，
=2(a2-4b2)，
=2(a+2b)(a-2b)．
故答案为：2(a+2b)(a-2b)．
14.【答案】 73
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵四边形BOCE是矩形，
∴BE=OC=3cm，∠EBO=90°，
作B点关于AC的对称点，即D点，连接ED，交AC于点G，连接BG，
∴BG=DG，
∴BG+EG=DG+EG，
∵两点之间线段最短，
∴此时BG+EG有最小值，即线段DE，
在Rt△EBD中，DE= BE2+BD2= 32+82= 73(cm)，
∴BG+EG的最小值为 73cm．
作B点关于AC的对称点，即D点，连接ED，交AC于点G，连接BG，根据两点之间线段最短，此时BG+EG有最小值，即线段DE.再根据勾股定理求出DE的长即可．
本题主要考查了轴对称-最短问题，菱形的性质，解题的关键熟练掌握勾股定理．
15.【答案】-4或6或1
【解析】【分析】
本题考查了分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
该分式方程2x-2+mxx2-4=3x+2无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解．
【解答】
解：分三种情况：
(1)x=-2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=3(x-2)，即2×(-2+2)-2m=3×(-2-2)，
解得m=6；
(2)x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=3(x-2)，即2×(2+2)+2m=3×(2-2)，
解得m=-4；
(3)方程两边都乘(x+2)(x-2)，
得2(x+2)+mx=3(x-2)，
化简得：(m-1)x=-10．
当m=1时，整式方程无解．
综上所述，当m=-4或m=6或m=1时，原方程无解．
故答案为-4或6或1．
16.【答案】(-2023,2022)
【解析】解：∵将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，
∴D1(1,2)，
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2(-3,2)，D3(-3,-4)，D4(5,-4)，D5(5,6)，D6(-7,6)，……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(-4n-3,4n+2)，
∵2022=4×505+2，
∴D2022(-2023,2022)；
故答案为：(-2023,2022)．
由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(-4n-3,4n+2)，由2022=505×4+2，推出D2022(-2023,2022)．
本题考查坐标与图形的变化-旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
17.【答案】解：(1)设A，B两种设备平均每台的成本分别为x，y元，
由题意得10x+5y=3500015x+10y=57500，
解得x=2500y=2000，
答：A，B两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元．
(2)设公司计划正式生产A设备x台，则生产B设备(100-x)台，
由题意得x≤3(100-x)100-x≤30，
解得70≤x≤75，
∵x是整数，
∴x=70，71，72，73，74，75，
∴一共有6种生产方案．
由(1)知，A，B两种设备平均每件的利润分别为1000，800元．
∵A设备平均每件的利润1000元大于B设备平均每件的利润800元，
∴当x=75，100-x=100-75=25，
即生产A设备75台，B设备25台时，能获得最大利润．
【解析】(1)设A，B两种设备平均每台的成本分别为x，y元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
(2)设公司计划正式生产A设备x台，则生产B设备(100-x)台，由题意得出不等式组，则可求出生产方案．
考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
18.【答案】解：(1)原式=4-3+2× 22-1+4
=4-3+ 2-1+4
=4+ 2；
(2)原式=[(m+3)(m-3)(m-3)2-3m-3]⋅m-3m2
=(m+3m-3-3m-3)⋅m-3m2
=mm-3⋅m-3m2
=1m，
当m= 33时，
原式=1 33=3 3= 3．
【解析】(1)利用平方差公式计算、代入三角函数值、计算零指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值和实数的运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥PD于点E，

则∠MCB=55°，MC=30米，MA=10米，∠MAE=30°，BA=DE，
在Rt△MCD中，sin55°=MDCM=MD30≈0.82，
可得MD≈24.6米，
在Rt△MAE中，sin30°=MEMA=ME10=12，
可得ME=5米，
∴DE=MD-ME=19.6米，
∴AB=19.6米，
设该教学楼的层数为m层，
由题意得，3.4m+2=19.6，
解得m≈5，
答：该教学楼的层数为5层．
【解析】过点M作MD⊥CB于点D，过点A作AE⊥MD于点E，在Rt△MCD和Rt△MAE中，分别利用锐角三角函数求出MD，ME的长，即可得DE的长，则可得AB的长，再根据题意列方程可得答案．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
20.【答案】40 144
【解析】解：(1)该校参加志愿者活动的大学生共有：12÷30%=40(人)，
则联络的人数为：40-4-16-12=8(人)，
故答案为：40，
把条形统计图补充完整如下：
(2)安保对应的圆心角为：360°×1640=144°，
故答案为：144；
(3)根据题意列表如下：
共有12种等可能的情况，其中甲和乙芳同时被选中参加开幕式的有2种情况，
∴甲和乙同时被选中参加开幕式的概率为：212=16．
(1)由运行的人数除以所占百分比得出该校参加志愿者活动的大学生共有人数，即可解决问题；
(2)由360°乘以安保所占的比例即可；
(3)列表得出共有12种等可能的情况，其中甲和乙同时被选中参加开幕式的有2种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设直线y1=ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC=3，tan∠ACO=23．
∴OD=2，
即点D(0,2)，
把点D(0,2)，C(3,0)代入直线y1=ax+b得，
b=2，3a+b=0，
解得，a=-23，
∴直线的关系式为y1=-23x+2；
把A(m,4)，B(6,n)代入y1=-23x+2得，
m=-3，n=-2，
∴A(-3,4)，B(6,-2)，
∴k=-3×4=-12，
∴反比例函数的关系式为y2=-12x，
故答案为：y1=-23x+2，y2=-12x；
(2)由S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=12×3×4+12×3×2，
=9；
(3)由图象可知，不等式ax+b≥kx的解集为x≤-3或0【解析】(1)根据OC=3，tan∠ACO=23，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
(2)由S△AOB=S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
(3)由函数的图象直接可以得出不等式ax+b≥kx的解集．
本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)连接BE，如图1，

∵∠BCE=90°，
∴BE过圆心O，
∴BE为⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵∠A=45°，
∴∠CED=45°．
(2)根据圆的性质可知∠BCD=∠BED，
∵∠DBE+∠DEB=90°，
∴∠DBE+∠BCD=90°，
∵∠FBD=∠BCD，
∴∠FBD+∠DBE=90°，
∴BF与⊙O相切．
(3)连接OD、OC，如图2，

∵∠COD=2∠CED=90°，
∴CD= OC2+OD2=2 2．
【解析】(1)连接BE，由∠BCE=90°，得BE为⊙O的直径，再由△ABC是等腰直角三角形，即可求解；
(2)根据圆的性质可知∠BCD=∠BED，得∠FBD=∠BCD，进而即可证明；
(3)连接OD、OC，∠COD=2∠CED=90°，即可求解．
本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的应用，正确作出辅助线是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式可：
9a+3b+c=0c=-3，
解得b=-2c=-3，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；
(2)如图1，连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，

在y=x2-2x-3中，令y=0，
解得x=-1或x=3，
∴A点坐标为(-1,0)．
∴AB=3-(-1)=4，且OC=3，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为y=x-3，
设M点坐标为(x,x2-2x-3)，则N点坐标为(x,x-3)，
∵M在第四象限，
∴MN=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x，
∴S△MBC=12MN⋅OB=-32x2+92x=-32(x-32)2+278，
∴当x=32时，S△MBC=278，x2-2x-3=-154，
∴当M为(32,-154)时，四边形ABMC的面积有最大值，
最大值S四边形ABMC=S△ABC+S△MBC=6+278=758．
(3)解：在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．理由如下：
如图2，取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，

在Rt△OBC中，由勾股定理得BC= 32+32=3 2，
由题意，当∠BPC=90°时，PD=12BC=3 22，
易求D(32,-32)，抛物线的对称轴为直线x=1，
设点P坐标为(1,n)，
∴DQ=32-1=12，PQ=|n+32|，
由PQ2+DQ2=PD2，得(n+32)2+(12)2=(3 22)2，
解得n1=-3+ 172，n2=-3- 172，
∴点P的坐标为(1,-3+ 172)或(1,-3- 172)．
【解析】(1)将B，C两点坐标代入y=x2+bx+c，利用待定系数法求解；
(2)连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，S四边形ABMC=S△ABC+S△MBC，其中S△ABC为定值，设M点坐标为(x,x2-2x-3)，则S△MBC=12MN⋅OB，化为顶点式，即可求出最值；
(3)取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得PD=12BC=3 22，设点P坐标为(1,n)，利用勾股定理解Rt△PQD，求出n的值即可．
本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想．
24.【答案】60°
【解析】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=90°，
∵BC= 3AB，
∴AD= 3AB，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADAB= 3ABAB= 3，
∴∠ABD=60°，
由折叠的性质知AB=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB=60°，
故答案为：60°；
②由折叠的性质知BF⊥AE，EF=EB，
∴∠BGE=90°，
∵EF=EC，
∴EF=EB=EC，
∴BC=2BE，即BE=12×6 6=3 6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC=6 6，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CBD=90°，
∴∠BAE=∠CBD，
∴△BAE∽△CBD，
∴ABBC=BECD，即AB6 6=3 6AB，
解得AB=6 3(负值已舍)；
(2)如图3，由题意得，BC=6 6,AB=6 3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°,AD=BC=6 6,CD=AB=6 3，AD//BC，
∴∠DCE=90°，∠CED=∠B'DA，
由折叠的性质知AB'=AB=6 3,∠B'=∠ABC=90°，
∴AB'=CD=6 3，
∴△CDE≌△B'AD(AAS)，
∴AD=DE=6 6，
∴CE= DE2-CD2= (6 6)2-(6 3)2=6 3，
∴BE=BC+CE=6 6+6 3；
如图4，由折叠的性质知，∠AEC=∠AEC'，
∵∠BEC'=∠DEC，
∴∠AEB=∠AED，
∵AD/​/BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=BC，
在Rt△CDE中，CE= DE2-CD2= (6 6)2-(6 3)2=6 3，
∴BE=BC-CE=6 6-6 3，
综上，BE的长为6 6-6 3或6 6+6 3．
(1)①利用正切函数即可求解；
②证明△BAE∽△CBD，利用相似三角形的性质即可求解；
(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．A设备(单位：台)
B设备(单位：台)
总生产成本(单位：元)
第一批
10
5
35000
第二批
15
10
57500
(a,e)
(b,e)
(c,e)
(d,e)
-
(a,d)
(b,d)
(c,d)
-
(e,d)
(a,c)
(b,c)
-
(d,c)
(e,c)
(a,b)
-
(c,b)
(d,b)
(e,b)
-
(b,a)
(c,a)
(d,a)
(e,a)
甲
乙
丙
丁
甲
(甲，乙)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)