2024年山东省东营市胜利第十三中学中考数学模拟试卷+

这是一份2024年山东省东营市胜利第十三中学中考数学模拟试卷+，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列数：﹣3，﹣（﹣2.1），，﹣5.5，0，﹣|﹣9|中，正数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a4÷a2＝a2
C．（a3）2＝a5D．2a2+3a2＝5a4
3．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
4．（3分）不透明的袋子里共装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．＝3xB．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝D．3（x﹣1）＝
6．（3分）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，若AC＝10，∠BAC＝30°，则△PAB的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
8．（3分）如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）一次函数y＝（3m﹣2）x﹣m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞C．0≤m＜D．0＜m＜
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分.只要求填写最后结果.）
11．（3分）测得某人的头发直径为0.000068米，这个数据用科学记数法表示为 ．
12．（3分）把mn3﹣4mn分解因式的结果是 ．
13．（3分）第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是 ．
14．（3分）甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是S＝1，S＝1.2，则射击稳定性高的是 ．
15．（4分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ ．
16．（4分）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，如果AB＝6cm，则的长是 cm．
17．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B恰好落在点A处，点C落在同一平面内的点C′处，DC′与AC相交于点G．若DE⊥DC′，则的值是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（1）先化简，再求值：，其中x＝2；
（2）解不等式1+≥2﹣，并求出其最小整数解．
20．（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
21．（8分）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
22．（8分）综合运用
如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．
（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
23．（8分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
25．（12分）已知，如图抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
2024年山东省东营市东营区胜利十三中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.）
1．（3分）在下列数：﹣3，﹣（﹣2.1），，﹣5.5，0，﹣|﹣9|中，正数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用正负数的定义进行解答即可．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
【解答】解：﹣（﹣2.1）＝2.1，﹣|﹣9|＝﹣9，
∴正数有：﹣（﹣2.1），共1个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正数，关键是掌握正数是大于0的数．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a4÷a2＝a2
C．（a3）2＝a5D．2a2+3a2＝5a4
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；
B、a4÷a2＝a2，故此选项符合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
D、2a2+3a2＝5a2，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．
3．（3分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝125°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（3分）不透明的袋子里共装有2个黑球和3个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用概率公式即可求解．
【解答】解：总的可能情况有5种，摸到黑球的可能有2种，
∴摸到黑球的概率是，
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．
5．（3分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．＝3xB．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝D．3（x﹣1）＝
【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【解答】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
6．（3分）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
设圆锥的底面直径为d，则πd＝4π，
所以d＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，若AC＝10，∠BAC＝30°，则△PAB的周长为（ ）
A．8B．C．20D．
【分析】连接BC，如图，先利用圆周角定理得到∠ABC＝90°，则根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AB＝BC＝5，再根据切线的性质得到PA＝PB，∠CAP＝90°，然后证明△PAB为等边三角形，从而得到△PAB的周长．
【解答】解：连接BC，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝5，
∴AB＝BC＝5，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB，AC⊥AP，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝∠CAP﹣∠BAC＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴△PAB的周长＝3AB＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．
8．（3分）如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由O（0，0），A，根据勾股定理得OA＝＝2，由菱形的性质得AB＝OA＝4，则点B的横坐标为xB＝1+2＝3，即可求得点B的坐标为（3，），于是得到问题的答案．
【解答】解：∵O（0，0），A，
∴OA＝＝2，
∵四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，
∴AB∥x轴，AB＝OA＝2，
∴xB＝1+2＝3，
∴点B的坐标为（3，），
故选：B．
【点评】此题重点考查图形与坐标、菱形的性质、勾股定理等知识，正确地求出OA的长是解题的关键．
9．（3分）一次函数y＝（3m﹣2）x﹣m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＞C．0≤m＜D．0＜m＜
【分析】由一次函数y＝（3m﹣2）x﹣m的图象不经过第一象限可以得到其经过二三四象限或二四象限，由此即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（3m﹣2）x﹣m的图象不经过第一象限，
∴3m﹣2＜0，﹣m≤0，
解得0≤m＜，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数之间的关系，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分.只要求填写最后结果.）
11．（3分）测得某人的头发直径为0.000068米，这个数据用科学记数法表示为 6.8×10﹣5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000068＝6.8×10﹣5，
故答案为：6.8×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（3分）把mn3﹣4mn分解因式的结果是 mn（n+2）（n﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（n2﹣4）
＝mn（n+2）（n﹣2）．
故答案为：mn（n+2）（n﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是 （5，﹣3） ．
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，得
|y|＝3，|x|＝5．
由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得
点P的坐标是（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
【点评】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零．
14．（3分）甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是S＝1，S＝1.2，则射击稳定性高的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S＝1，S＝1.2，
∴S＜S，
∴射击稳定性高的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
15．（4分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝ 141° ．
【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．
故答案为：141°．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
16．（4分）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，如果AB＝6cm，则的长是 π cm．
【分析】连接OA，OE，根据AE为圆O的切线，得到AE垂直于OE，利用HL得到直角三角形AEO与直角三角形ACO全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠AOE＝∠AOC，再由DC＝2BC，且O为DC中点，得到OC＝BC，利用SAS得到三角形ACO与三角形ACB全等，确定出∠EOD度数，在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，即为圆O的半径，利用弧长公式求出弧DE长即可．
【解答】解：连接OA，OE，
∵AE为圆O的切线，
∴AE⊥OE，即∠AEO＝90°，
在Rt△AEO和Rt△ACO中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），
∴∠EOA＝∠COA，
∵DC＝2BC，且OD＝OC＝DC，
∴OC＝BC，
在△ACO和△ACB中，
，
∴△ACO≌△ACB（SAS），
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，∠CAB＝∠CAO＝30°，
∴∠EOC＝120°，即∠EOD＝60°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6cm，
∴BC＝3cm，即圆O半径为3cm，
则l＝＝π．
故答案为：π．
【点评】此题考查了切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
17．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B恰好落在点A处，点C落在同一平面内的点C′处，DC′与AC相交于点G．若DE⊥DC′，则的值是 ．
【分析】先求出∠B＝∠C＝30°，由折叠的性质得BE＝AE，DE⊥AB，∠B＝∠BAD＝30°，设DE＝a，则AD＝2DE＝2a，AE＝，AC＝AB＝，再证AB∥DC′得∠ADC'＝∠BAD＝30°，则∠DAG＝90°，进而得DG＝2AG，由勾股定理求出AG＝，由折叠的性质得：∠C'＝∠C＝30°，FC＝FC'，证∠FGC'＝90°，设FG＝b，在Rt△FGC'中根据∠C'＝30°，则C'G＝2FG＝2b，则FC＝FC'＝，进而得AC＝，由此解出b＝，据此可求出FG：DE的值．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵沿DE折叠点B恰好落在点A处，
∴BE＝AE，DE⊥AB，∠B＝∠BAD＝30°，
设DE＝a，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2a，
由勾股定理得：AE＝＝，
∴AC＝AB＝2AE＝，
∵DE⊥DC′，DE⊥AB，
∴AB∥DC′，
∴∠ADC'＝∠BAD＝30°，
∵∠BAD＝30°，∠BAC＝120°，
∴∠DAG＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ADG中，∠ADC'＝30°，
∴DG＝2AG，
由勾股定理得：DG2﹣AG2＝AD2，
即（2AG）2﹣AG2＝（2a）2，
∴AG＝，
在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，∠ADC'＝30°，
∴∠AGD＝∠FGC'＝30°，
由折叠的性质得：∠C'＝∠C＝30°，FC＝FC'，
∴∠FGC'＝180°﹣（∠FGC'+∠C'）＝90°，
设FG＝b，
在Rt△FGC'中，∠C'＝30°，
∴C'G＝2FG＝2b，
由勾股定理得：FC'＝，
∴FC＝FC'＝，
∴AC＝AG+FG+FC＝，
即，
解得：b＝，
∴FG：DE＝＝．
即＝．
【点评】此题主要考查了图形的折叠和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握图形的折叠和性质，灵活勾股定理进行计算是解决问题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2023的坐标是 （﹣2023，1） ．
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得，
∴A1点坐标为（2，0），
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得，
∴A2点坐标为（0，﹣2），
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得，
∴A3点坐标为（﹣3，1），
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得，
∴A4点坐标为（1，5），
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、……、n，每次增加1．
∵2023÷4＝505……3，
故A2023为以点C为圆心，半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得，
故A2023点坐标为（﹣2023，1）．
故答案为：（﹣2023，1）．
【点评】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（1）先化简，再求值：，其中x＝2；
（2）解不等式1+≥2﹣，并求出其最小整数解．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝•
＝﹣
＝，
当x＝2时，
原式＝．
（2）∵1+≥2﹣，
∴6+3（x+1）≥12﹣2（x+7），
∴6+3x+3≥12﹣2x﹣14，
∴5x≥﹣11，
∴x≥，
故不等式的最小整数解为﹣2．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式的解法，本题属于基础题型．
20．（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：min）
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 19 ；b＝ 26.8 ；c＝ 25 ；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【分析】本题考查数据的分析，数据的集中和波动问题，
（1）平均数，中位数，众数的计算．
（2）方差的实际应用．
【解答】解：（1）求中位数a首先要先排序，
从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10个数，
中位数在第5和6个数为18和20，
所以中位数为＝19，
求平均数b＝＝26.8，
众数c＝25，
故答案为：19，26.8，25．
（2）小红统计的选择A线路平均数为22，选择B线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差63.2＞6.36，相比较B路线的波动性更小，所以选择B路线更优．
【点评】本题考查数据的波动与集中程度，解题的关键是能够平均数，中位数，众数进行准确的计算，理解方差的意义，并进行作答．
21．（8分）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，首先得到△ABC是等腰三角形，然后结合OA＝OB，证明OD∥AC，进而得到∠OEF＝∠EFC＝90°，即可证明出EF是⊙O的切线；
（2）连接BD，首先根据勾股定理求出，然后证明出△AEF∽△ABE，得到，代入求出AB＝10，然后证明出△CEF∽△CBD，得到，求出BD＝2EF＝8，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OE，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，
∵OE＝OB，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，而EF⊥DC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，
∴BE＝CE，
如图所示，连接BD，

∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，
∴AE＝，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEB+∠AEO＝90°，
∴∠AEF＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠AEF，
∵∠AEB＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△ABE，
∴，即，
解得AB＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∵，
∴，
∴BD＝2EF＝8，
∴AD＝＝6．
【点评】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22．（8分）综合运用
如图，直线y＝2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A（2，a），过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若S△POB＝2S△AOB，求点P的坐标．
（3）在x轴是否存在点Q，使得∠BOA＝∠OAQ，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）把A（2，a）代入y＝2x+2可求A的坐标，即可求解；
（2）可求，再由即可求解；
（3）①当点Q在x轴正半轴上时，过点A作AQ1∥y轴交x轴于Q1，②当点Q在x轴负半轴上时，设AQ2与y轴交于点D（0，b），可求，再求直线AQ2的表达式为，即可求解．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x+2得，
a＝2×2+2＝6，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入，
得k＝12，
∴反比例函数的函数表达式为；
（2）当x＝0时，
y＝2x+2＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∴S△AOB＝OB•xA
＝×2×2
＝2，
∴S△POB＝2S△AOB＝4，
又∵S△POB＝OB•xP
＝×2×xP
＝4，
解得：xP＝4，
∴，
∴点P坐标为（4，3）；
（3）存在；理由如下：
①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作AQ1∥y轴交x轴于Q1，
则∠BOA＝∠OAQ1，
∴点Q（2，0）；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如上图，设AQ2与y轴交于点D（0，b），
∵∠BOA＝∠OAQ2，
∴OD＝AD，
则22+（6﹣b）2＝b2，
解得：，
∴，
设直线AQ2表达式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线AQ2的表达式为，
当y＝0时，，
即点Q2的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质等，掌握待定系数法，找出使得∠BOA＝∠OAQ的条件是解题的关键．
23．（8分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．
【分析】（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，根据阴影铺设地砖的面积是1125平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工（400﹣y）平方米，根据所需工程款＝甲工程队所需工程款+乙工程队所需工程款，结合完成此工程的工程款不超过42000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，
依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，
整理得：x2+15x﹣100＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是5米．
（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，
依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，
解得：y≥300．
答：至少要安排甲队施工300平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）已知，如图抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线对称轴于点M，则此时，MB+MC的值最小，即可求解；
（3）把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB＝3，
则点C（0，﹣3），
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线对称轴于点M，则此时，MB+MC的值最小，
理由：MB+MC＝MA+MC＝AC为最小，
由抛物线的表达式知，点A（﹣3，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
即点M（﹣1，﹣2）；
（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设D（a，a2+2a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．
∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，
∴当a＝﹣1.5时，DE有最大值，最大值为．
∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×＝．
∴四边形ABCD的面积的最大值＝6+＝．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有一定的综合性，难度适中．实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36
实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36