人教A版高中数学必修第二册第10章10-1-3古典概型学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第10章10-1-3古典概型学案，共16页。
10.1.3　古典概型问题：1.丢一枚质量均匀的骰子，丢出奇数的概率是多少？2．丢一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？知识点1　概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．知识点2　古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．知识点3　古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝nAnΩ．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在区间[0，10]上任取一个数的试验是古典概型． (　　)(2)任何一个事件都是一个样本点． (　　)(3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　)(4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．[答案]　310 类型1　古典概型的判断【例1】　下列是古典概型的是(　　)A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止C　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]　古典概型的判断方法判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．[跟进训练]1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率．①②　[①②是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．] 类型2　较简单的古典概型问题【例2】　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解]　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝29.　求古典概型概率的步骤(1)判断所给概率模型是否为古典概型．(2)算出样本点的总数n.(3)算出事件A包含的样本点个数m.(4)算出事件A的概率，即P(A)＝mn.[跟进训练]2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[解]　(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝615＝25.(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝815. 类型3　“放回”与“不放回”问题【例3】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[解]　按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示．因此样本空间可记为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的样本点个数为4，所以P(A)＝46＝23.[母题探究]把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[解]　有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝49.　抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[跟进训练]3．(2022·山东聊城一中月考)一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率．(1)信的选取是无放回的；(2)信的选取是有放回的．[解]　(1)记事件A为“选取的2封信上的数字为不相邻整数”．从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝612＝12，故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为12.(2)从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，且这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，包含10个样本点. 由古典概型的概率计算公式知P(A)＝1016＝58，故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为58.1．(多选)下列试验是古典概型的是(　　)A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率BD　[A不是等可能事件，C不满足有限性．]2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)A．16　　　B．12　　　C．13　　　D．23C　[样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝26＝13.]3．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(　　)A．12 B．13 C．14 D．25A　[把2个红球分别标记为红1、红2，2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝816＝12.]4．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是________．38　[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是38.]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何判断一个试验是不是古典概型？[提示]　若该试验具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，则该试验是古典概型，否则，不是．2．古典概型的概率公式是什么？[提示]　古典概型试验的计算公式P(A)＝mn，其中样本点总数为n，事件A所包含的样本点个数为m.3．解决有序和无序问题时应注意哪些问题？[提示]　(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．课时分层作业(四十六)　古典概型一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为(　　)A. 13　　　B．12　　　C．23　　　D．34C　[设一部三册的小说为1，2，3，所以试验的样本空间Ω＝ {(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P＝46＝23.]2．某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　)A．12 B．13 C．14 D．15A　[法一：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率P＝36＝12.故选A.法二：只考虑第二位同学，出来男生或是女生是等可能的，故概率为12.故选A.]3．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的国画的概率为(　　)A．56 B．45 C．34 D．23D　[设2幅山水画为A1，A2，2幅花鸟画为B1，B2，从中随机抽取2幅所包含的样本点为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6个，满足条件的样本点有4个，故P＝46＝23.故选D.]4．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)A．16 B．13 C．12 D．23D　[从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝21-721＝23.故选D.]5．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　)A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16ACD　[记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝36＝12，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为12，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．]二、填空题6．从1，2，3，4四个数中，有放回地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．14　[用列举法知，有放回地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为416＝14.]7．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．310　[甲、乙等5名同学分别标记为a1，a2，a3，a4，a5，其中甲标记为a1，乙标记为a2.从中随机选3名参加社区服务工作的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，{a2，a3，a4}，{a2，a3，a5}，{a3，a4，a5}，{a1，a3，a4}，{a1，a3，a5}，{a2，a4，a5}，{a1，a4，a5}，共计10种．甲、乙都入选的事件有{a1，a2，a3}，{a1，a2，a4}，{a1，a2，a5}，共计3种，故所求概率P＝310.]8．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．13　[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6个样本点，其中事件B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2个样本点，故所求概率P＝26＝13.]三、解答题9. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果：(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．[解]　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个．(1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)＝1890＝15.(2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)＝18100＝950.10．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)A．13 B．14 C．15 D．16A　[设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为39＝13.故选A.]11．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　)A．18 B．14 C．38 D．12C　[从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，∴所求概率为P＝38.故选C.]12．(多选)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，那么下列事件概率正确的是(　　)A．P(AB)＝16 B．P(A∪B)＝23C．P(AB)＝16 D．P(AB)＝23ABC　[对于选项A：n(AB)＝n(A)＋n(B)－n(A∪B)＝6＋4－8＝2，所以P(AB)＝nABnΩ＝212＝16，故A正确；对于选项B：P(A∪B)＝nA∪BnΩ＝812＝23，故B正确；对于选项C：n(AB)＝n(B)－n(AB)＝4－2＝2，所以P(AB)＝nABnΩ＝212＝16，故C正确；对于选项D：n(AB)＝n(Ω)－n(A∪B)＝12－8＝4，所以P(AB)＝nABnΩ＝412＝13，故D错误．故选ABC.]13．一次抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________．112　[易知总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因为方程无实数根，所以Δ＝(m＋n)2－16