数学：上海市2024届高考模拟测试卷03（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷03（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 .
【答案】
【解析】由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．
故答案为：．
2．双曲线的焦距为 .
【答案】
【解析】由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故答案为．
【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．
3．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题设，
所以此函数的定义域为．
故答案为：
4．已知随机变量，且，则 .
【答案】12
【解析】随机变量，
，
，
则.
故答案为：12
5．已知，且，则 ．
【答案】
【解析】已知，由倍角公式得，
由，，解得，则.
故答案为：.
6．已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数 ．
【答案】3
【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，
解得：.
故答案为：3
7．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为
【答案】
【解析】由棱锥为正三棱锥，得，，
而⊥，⊥，由勾股定理得，
即圆锥的底面圆半径为，高为，
则该圆锥的体积为.
故答案为：.
8．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【解析】对于①，取，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当，要证，即证，
即，即证，
而恒成立，
当时，，所以，故③正确.
对于④，，所以，故④正确.
故答案为：②③④.
9．有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种.
【答案】60
【解析】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，
所以不同安排方式共有（种）.
故答案为：60
10．已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ．
【答案】3
【解析】当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值，
解得，．故答案为：3．
11．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，则，
以为原点建立坐标系，可设、，
由点在圆上运动，设，
则，，
可得，
由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数，
此时存在最大值，
因为，
当时，的最大值为，
即有最大值，
因为恒成立，
所以，即实数的取值范围为．
故答案为：．
12．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为 .
【答案】
【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则，
又，
当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意；
当时，，
此时集合有且只有三个元素，满足题意；
当时，，
此时集合有且只有三个元素，满足题意；
当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意；
综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为.
故答案为：.
二、选择题
13．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，
所以它的一个样本空间为.
故选：B.
14．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】A：若，则两直线平行或异面或相交，故A错误；
B：若，当直线在平面内时，则直线不平行于平面，故B错误；
C：若，设过的平面与相交于，则，
又因为，，所以，所以，所以，故C正确；
D：若，则或或，故D错误；故选：C.
15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，，即且，
，且，两边都除以，得，可得．
对于A，由，可得，故A项不正确；
对于B，由于，所以不成立，故B不正确；
对于C，因为，所以，可得．
结合，可得，故C正确；
对于D，根据且，当，时，，
此时不成立，故D不正确．故选：C．
16．已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；
③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】D
【解析】由方程知：
A：当时，椭圆方程为，
当时，椭圆方程为，
化简为，即，所以①错误；
B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：
，
因为，所以，
所以，所以②错误；
C：月相外边缘的离心率为：，
而，所以当时，最大，
即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；
D：农历初六至初八，即时，即，
此时月相外边缘离心率：，即，
因为，，所以，，所以，故④正确.
综上所述，正确的有③④.故选：D.
三、解答题
17．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．
(1)求证：面面；
(2)求二面角的余弦值大小．
(1)证明：为棱中点，为正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，面，又面，，
而平面，
面，面，
面面；
(2)解：由(1)得面，面，，
是二面角的平面角，
在中，
二面角的余弦值为．
方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：
则，
，，
设平面、平面的法向量分别为，
，可以是
可以是，
二面角的余弦值为．
18．设函数，为常数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)设，，为减函数，求实数的取值范围.
解：(1)因为为偶函数，且，所以
即，即
所以对一切成立，所以
(2)因为，且
所以，
任取，
因为，所以且
又在区间上为减函数，所以
即，所以又，所以.
19．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
(2)的可能取值是0,1,2，
；；．
的分布列为：
．
(3)将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．
定义统计量，
其中为第题的预估难度.
并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．
.
因为，
所以该次测试的难度预估是合理的．
20．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.

(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；
(2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．
(1)解：焦点为，准线为；
(2)解：将代入，
化简得（*），
方程（*）的判别式，
化简得，解得；
(3)证明：设，
设抛物线在点处的切线方程为，
由，消去并化简得，
，
，，
解得，故切线方程为，
， ，即，
同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：
，，
联立，解得，即，
同理可得，，
因为，
，
，
所以．
21．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
解：(1)函数是上的“弱增函数”，理由如下：
显然，是上的严格增函数，
对于函数，，
当时，恒成立，
故是上的严格减函数，
从而是上的“弱增函数”.
(2)记，
由题意得，
，
由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数，
函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，
令，则，
当，即时，解得或，
当时，，则函数在上单调递减，
即函数是区间上的严格减函数，
由是上的“弱增函数”，得，
所以，
所以的最大值为1.
(3)，
由是“弱增数列”得，即.
又因为d是偶数，所以，
从而.
故，
由得，所以当时，，即，
故若，则不存在和，使得.
从而.
若，解得，满足；
若，解得，满足；
若，解得，不满足.
当时，，故不存在大于5的正整数，使得.
综上，所有可能的值为和.
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
0
1
2