2023江苏高考数学仿真模拟卷03（解析版）

这是一份2023江苏高考数学仿真模拟卷03（解析版），共20页。

2023年高考数学仿真模拟卷03
注意事项：
1． 本试卷满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2． 请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3． 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4． 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．集合，，则A，B间的关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别解出集合A,B，再通过集合的关系和集合的运算得到答案.
【详解】由题意，，，
，A错误；
，B错误；
，则C错误，D正确.
故选：D.
2．关于复数下列说法正确的是
A．在复平面内，所对应的点在第一象限 B．的共轭复数是
C．若为纯虚数，则 D．的模为2
【答案】C
【分析】运用复数运算，先将复数化简，再对选项逐一判断即可.
【详解】因为，
所以所对应的点在第二象限，故A错误.
的共轭复数是，故B错误.
若为纯虚数，则，故C正确.
的模为，故D错误.
故选:C.
3．下列结论正确的个数为（    ）
①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种；
②若，则；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；
④一个非零实数越大，则其倒数就越小；
⑤，；
⑥若，则．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】根据不等式的性质依次讨论即可得答案.
【详解】解：对于①，任意两个实数显然成立；
对于②，若，则，故且或且，故错误；
对于③，不等式的两边乘以同一个正数，不等号方向不变，故错误；
对于④，例如，，故错误；
对于⑤，，进而由可得，故正确；
对于⑥，由得同号，故当时，，当时，，故若，则正确；
综上正确的是：①⑤⑥
故选：B.
4．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这个节目，每个同学限报个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】基本事件总数为，名同学所报节目各不相同的基本事件个数为，由此求出每个同学报的节目都不相同的概率.
【详解】由乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，故有（种）报名方法，
名同学所报节目各不相同，有（种）报名方法，
所以每个同学报的节目都不相同的概率：．
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型，排列组合等基础知识，理解乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，需先让甲选完，其他3个同学每人有种情况是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于一般题.
5．若，，且，是方程的两个根，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．
【详解】解：、是方程的两个根，
，，
，，即、,，
则，
则，
故选：B．
6．在底面是正方形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则四棱锥的外接球的表面积为(   )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示,延长,交于,连接,与交于,则,过做,与交于,则,可得出长度,即可求出的外接球的表面积.
【详解】为了便于理解图形，我们选择去掉四棱锥两条棱，如图所示，

延长BA,CF交于G，连接EG，与PA交于K，根据则,
即,，
过A作，与交于H，根据及为中点可得
，而,故
故，而，故，
将四棱锥想象补成长宽高分别为3,3, 的长方体，故四棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，，，所以球的表面积为，
故选：D.
7．已知是椭圆的左、右顶点，是上不同于的任意一点，若的离心率为,则直线的斜率之积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点在椭圆上，得关于点M的方程，然后根据直线的斜率公式，表示出直线的斜率及它们的积，再根据离心率和椭圆中a，b，c的关系，求解即可.
【详解】设椭圆上点M坐标为 ，则，即
已知A(-a，0),B(a，0)，则
则
已知椭圆的离心率为，则 ，则
再根据椭圆 ，可得
故
故选A.
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆的离心率和椭圆方程a，b，c的关系，涉及了点在椭圆上的应用，涉及了直线的斜率公式；通常情况下，可根据离心率公式和椭圆中a，b，c的关系，列出关于a，b，c的方程组，再结合其他条件求解.
8．已知三次函数，且，，，则（    ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
【答案】D
【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【详解】设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
9．某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（    ）
A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为
【答案】AC
【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算总体的均值可判断C；计算总体的方差可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确；
对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确；
对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C正确；
对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，，总体的平均数为，方差为，
因为
，
而，
所以，
同理可得，
所以，
故选项D不正确；
故选：AC
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．
B．的一个单调递增区间是
C．的图象向左平移个单位，所得函数的图象关于点对称
D．，若恒成立，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】A．根据函数图象先确定出周期，由此求解出的值，再根据最高点坐标求解出的值，由此求解出的解析式；
B．采用整体代入的方法判断是否是一个单调递增区间；
C．根据图象平移先求解出的解析式，然后根据的值是否为零进行判断；
D．将问题转化为“，很成立”，先求解出的最小值，即可求解出的取值范围.
【详解】A．由图象可知，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以且，所以，所以，故正确；
B．当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以不是的一个单调递增区间，故错误；
C．由题意可知，
又因为，所以的图象关于点对称，故正确；
D．因为，所以，
即“，很成立”，
因为，所以，
所以，所以，即，
所以的最大值为，故正确.
故选：ACD.
11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD的交点为G，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则（    ）

A．PD⊥EF
B．三棱锥P−DEF的体积为
C．PG与DF所成角的余弦值为
D．三棱锥P−DEF的外接球的表面积为
【答案】ABC
【分析】A选项，由线线垂直得到线面垂直，进而证明线线垂直；C选项，作出辅助线，找到PG与DF所成角，求出各边长，用余弦定理求出所成角的余弦值；BD选项，由等体积法求出，求出外接球半径，进而求出外接球表面积.
【详解】对于选项平面平面，故选项正确；
对于选项：取的中点，则，从而为与所成角，

，
所以，故选项正确；
对于选项和：由两两垂直，
故，
且其外接球为以为边的长方体的外接球，
故外接球的半径，其外接球的表面积为，
故选项B正确，错误.
故选：.
12．已知函数，下列说法正确的是（    ）
A．在处的切线方程为 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】AC
【分析】先求得（），然后分别求得曲线在处的切线方程、函数的单调区间和极值，方程即解的个数问题可转化为函数与函数的图象交点个数问题，据此可以作出判断.
【详解】（），
因为，， 所以在处的切线方程为，故A正确；
令，即，解之得，又因为，
所以的单调递增区间为，故B错误；
再令，即，解之得， 所以的单调递减区间为，所以在处取得极大值，极大值为，故C正确；
方程即，也即，函数与函数的图象只有一个交点，所以方程有一个解，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数与方程的关系，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，，则_____.
【答案】
【分析】根据两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】，
, 得：
，
故答案为：
14．若的展开式中各项的系数之和为,则该展开式中的系数为__________．
【答案】
【详解】令，得，，展开式中通项公式为，令，得，所以的系数为．
15．设数列为等差数列，其前n项和为，已知，，若对任意n，都有≤成立，则正整数k的值为_______．
【答案】10
【分析】设等差数列公差为d，结合已知条件得d＝－3和＝29，进而得，对任意n，都有≤成立，求最大值时n的值即可得k的值.
【详解】因为数列为等差数列，设公差为d，，，两式相减，
得：3d＝－9，所以，d＝－3，
由等差中项得，即，解得：＝29，
所以，＝，
当n＝时，取得最大值，但n是正整数，所以，当n＝10时，取得最大值，
对任意n，都有≤成立，显然k＝10.
故答案为10
【点睛】本题考查了等差数列的性质，前n项和的最大项，数列与函数的结合，属于中档题.
16．若对任意，恒有，则实数a的最小值为________．
【答案】
【分析】由题， ，即符合积型同构，令，用导数法证在单调递增，则可得，最后令，用导数法证的单调性，求得最大值，即可得出结果
【详解】由，
令，则，
由得，由得，
所以在上递减，在上递增，所以，所以在单调递增．
则，
令，，由，得，由，得，
所以在上递增，在上递减，故，故，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图所示，已知四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABP，AP=PB=BC=2，M为CP上的点，且BM⊥平面ACP，AC与BD交于N点.

（1）证明：平面BMD⊥平面BCP；
（2）求二面角D—PC—A的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由得MN⊥平面BCP，进一步可得平面BMD⊥平面BCP；
（2）∵AP=BP，取AB中点O，连接OP，易证PO平面ABCD，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.
【详解】（1）证明：连接MN，∵BM⊥平面ACP，MN平面ACP，PC平面ACP，
∴BM⊥MN，BM⊥PC，

又∵BP=BC，∴M为PC中点，又N为AC中点，∴MN//AP，
又BC⊥平面ABP，AP平面ABP，∴BC⊥AP，∴BC⊥MN，
又BMBC=B，∴MN⊥平面BCP，
又MN平面BMD，∴平面BMD⊥平面BCP.
（2）∵AP=BP，取AB中点O，连接OP，易证PO平面ABCD
如图建立空间直角坐标系，则D(0，，2)，P(，0，0)，
A(0，，0)，C(0，，2)，
则(，，-2)，(-，，2)，(-，-，0)，

设平面DPC和平面APC的法向量分别为
(，，)，(，，).
由得，取，则，所以(，0，1)，
由得，取，得，，则
(1，-1，)，
∴
故二面角D-PC-A的余弦值为.
【点睛】方法点睛：求二面角的方法：①定义法：根据二面角的平面角的定义作出平面角，证明平面角，再计算平面角，②向量法：建立合适的空间直角坐标系，求出半平面的法向量，再利用空间向量的夹角计算可得.
18．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.
【答案】（1）见解析（2）（i）（ⅱ），
【分析】（1）判断出可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望．
（2）（i）由题可得首项为，公比为的等比数列，并求其前10项和．（ⅱ）根据与之间的关系，用待定系数法得，进一步就可求出的通项公式．
【详解】解：（1）可能取值为3，4，5，6.
，，，.
∴的分布列为

3
4
5
6






∴
（2）（i）总分恰为分的概率为，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
前10项和.
（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2
分，概率为，.
所以，即
∴.
∴，
∴.
【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式，可通过待定系数法求的通项公式，是一道中等难度的题目．
19．2021年东京奥运会，中国举重代表队共10人，其中主教练、教练各1人，参赛选手8人，赛后结果7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：
级别
54公斤级
59公斤级
64公斤级
70公斤级
76公斤级
体重





级别
83公斤级
91公斤级
99公斤级
108公斤级
108公斤级以上
体重






每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表
体重
54
59
64
70
76
83
91
99
106
举重成绩
291
304
337
353
363
389
406
421
430

(1)根据表中的数据，求出运动员举重成绩与运动员的体重的回归直线方程（保留1位小数）；
(2)某金牌运动员抓举成绩为180公斤，挺举成绩为218公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？
(3)凯旋回国后，中央一台记者从团队的10人中随机抽取3人进行访谈，用表示抽取到的是金牌得主的人数，求的概率分布列与数学期望．
参考数据：；
参考公式：．
【答案】(1)
(2)参加的应该是91公斤级举重
(3)分布列见解析；期望为

【分析】（1）依题意，计算出，由公式求得，由此求得回归方程．
（2）根据回归方程得：，解之可判断.
（3）随机变量的取值为0，1，2，3，求出对应概率，列出分布列，利用期望公式即可得解.
(1)
依题意，，
，
，则，
故回归方程为：；
(2)
该运动员的抓举和挺举的总成绩为398公斤，
根据回归方程可知：，解得，
即该运动员的体重应该在90公斤左右，即参加的应该是91公斤级举重；
(3)
随机变量的取值为0，1，2，3．则
，，
，，
所以随机变量的概率分布列为：

0
1
2
3






所以随机变量的数学期望为．
20．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，    
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
21．已知椭圆：的焦距为，点在上.

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆左焦点的直线与交于两点，线段的中垂线为，若直线与直线、直线分别交于点、，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解之即可求得椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程得到，从而利用弦长公式与中点坐标公式求得与，进而得到关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意可知，所以，所以①，
又，所以②，
由①②可得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意易知直线斜率不为，故设直线，，
联立，消去，得，
则，，
所以，
又，
所以，
于是，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
22．已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，对于，求证：.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）求导，对进行分类讨论，研究单调性，求极值.
（Ⅱ）先求得，分离变量，即，构造新函数，求其最大值，即可求出的取值范围.
（Ⅲ）令，即,求导研究单调性，求最小值大于0即可证得原不等式成立.
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.
当时，，∴在上为增函数，没有极值；
当时，令
∴在单调递增，在单调递减
∴有极大值，无极小值.
（Ⅱ），∴
∵，∴
∴
∵，使得不等式成立
即
令，
当时，，
∴，即.
∴在单调递减，∴
∴.
（Ⅲ）当时，，令，
即
∴，则在上为增函数
∵，
∴.∵在上为增函数
∴时，，时，.
在单调递减，在单调递增
∴
∵∴
∵∴单调递减，
∴
∴即.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，解决不等式的有解问题，恒成立问题，分离变量是通法，考查了学生的推理能力，属于难题.