数学：上海市2024届高考模拟测试卷01（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷01（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则 ．
【答案】
【解析】
故答案为
2．复数z在复平面内对应点的为，则 .
【答案】
【解析】由题意，∴，
故答案为：．
3．已知正实数x、y满足，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】因正实数x、y满足，故
当且仅当时，等号成立，由解得：即时，取最小值8.
故答案为：8.
4．设随机变量服从正态分布，若，则实数 ．
【答案】2
【解析】由正态分布的对称性，得，所以.
故答案为：2
5．若是奇函数，且当时，，则当时， ．
【答案】
【解析】当时，，，
又为奇函数，，
当时，.
故答案为：.
6．已知向量，满足，，，则等于 ．
【答案】
【解析】因为向量，满足，，，
所以，解得，
所以，
故答案为: .
7．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 ．
【答案】2
【解析】直线的斜率为
则跟直线垂直的双曲线的渐近线的斜率为，
所以，
所以，故答案为：2.
8．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是 ．

【答案】
【解析】因为,
解得，
故答案为：.
9．已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ．
【答案】或
【解析】因为，则，函数()在区间上是严格增函数，
所以，即；
又因为的图像关于点对称，则（），则（），
所以（），解得（），
结合，所以或.故答案为：或.
10．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ．
【答案】
【解析】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，所以，解得，
故答案为：
11．已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ．
【答案】643
【解析】当时，无解，故没有零点，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
以此类推，，而，
当有1个交点，以后每个周期内有2个交点，在区间无交点，所以共有个交点，
所以函数的零点个数为个.
故答案为：643
12．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似地，必有，，，，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，，
同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件.
由对称性得最后6项为，，
则的最小值.
二、选择题
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
14．已知、分别为随机事件A、B的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．若A、B独立，则D．若A、B互斥，则
【答案】A
【分析】
【解析】对A，由，故选项A错误；
对B，根据条件概率的乘法公式得，故B正确；
对C，若、独立，则,
，故C正确；
对D，若、互斥，则，
，D正确.
故选：A
15．如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（ ）
A．∥平面B．
C．D．平面平面
【答案】C
【解析】对于选项A：在矩形中，∥，平面，平面，
∥平面，故选项A正确；
对于选项B：平面，平面，，
在矩形中，，，平面，
所以平面，而平面，，故选项B正确；
对于选项C：因为平面，而平面，所以，
所以，而，
，
在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确；
对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确．
综述：只有选项C不正确．故选：C.
16．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

(1)方程，表示的曲线在第二和第四象限；
(2)曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
(3)曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
（4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点.
A．(1)(2)B．(1)(2)(3)C．(1)(2)（4）D．(1)(3)（4）
【答案】A
【解析】对于(1)：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确；
对于(2)：因为，所以，
所以，所以，正确；
对于(3)：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为，
结合(2)知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误；
对于（4）：将和联立，解得，
所以可得圆与曲线C相切于点，，，，点的位置是图中的点M，

由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，
所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误.
故选：A.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小;
(2)若 ，求b和c的值.
解：(1)
，
∴可得，
化简得，
∴解得:， ，；
(2)由题意可得：，可得：，
又由可得：
，
可得：，解得 或
所以或.
18．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小.
(1)证明：依题意，为等边三角形，设圆锥底面半径为1，则，，
则，又为等边三角形，有，，
即，同理，又，平面，
所以平面.
(2)解：过O作交于点，则，由平面，得直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，于是，二面角为锐角，其大小为，所以二面角的大小.
19．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
(1)从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
(2)从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
解： (1)设从小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件，则.
(2)依题意可知小区比较了解的概率为，小区比较了解的概率为，
则的可取取值为，，，
所以，，，
则的分布列为
所以.
20．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当、、成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且、、的公比为.

(1)求猫眼曲线的方程；
(2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，直线、直线的斜率分别为、，试问：是否为与无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由；
(3)若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，，为椭圆上的任意一点（点与点，不重合），求面积的最大值.
解：(1)由于在轴上，所以，
又，∴，
∴曲线的方程为：，：
(2)设斜率为的直线交椭圆于点，
线段中点为，则，
由，可得，
因为存在且，∴，，∴，
即
同理，∴；
故是与无关的定值；

(3)设直线的方程为
联立，得.
∵，∴，则，
根据椭圆的对称性，不妨取：，与椭圆联立，得
，得，
设，，则，
，
于是需求椭圆上一点到直线：距离的最大值.
方法1：设，可得点到直线：的距离
，其中，
∴，面积的最大值为
方法2：数形结合，求与平行，且与椭圆相切的距离最远的直线.
设与平行的直线与椭圆：相切，联立方程得：
，由，解得，
若距离最大，则对应的平行线方程取，两平行线间距离为
从而面积的最大值为

21．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
(1)解：记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
(2)证明：因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，故只要没其它零点，此时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
(3)证明：因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
分组
A小区频数
B小区频数
18-40岁人群
60
30
41-70岁人群
80
90
其他人群
30
50