数学：上海市2024届高考模拟测试卷08（考前增强信心卷）（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷08（考前增强信心卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：
2．为虚数单位，复数的共轭复数对应的点位于第 象限 .
【答案】四
【解析】因为，
所以数的共轭复数，对应坐标为，
复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故答案为四.
3．不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】由,可得，即，
解得或．
故答案为：或．
4．已知，是两两垂直的单位向量，则 ．
【答案】
【解析】因为，是两两垂直的单位向量，
所以，则.
故答案为：.
5．已知函数，则的值为 .
【答案】
【解析】由函数，因为，所以.
故答案为：.
6．某班人参加暑期社会实践，结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在分以上的人数大约为 ．
【答案】5
【解析】由题意知，
所以，
所以（人），即分以上的人数大约为人．
故答案为：5
7．已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【解析】由已知可得，圆的半径.
所以，圆的面积为，
所以，，解得.
故答案为：.
8．二项式的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】15
【解析】因为二项式的展开式的通项为，
令得，
所以展开式中的系数为.
故答案为
9．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），
所以.
故答案为：.
10．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 .
【答案】3
【解析】由椭圆的定义知，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴.故答案为：3
11．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为
【答案】
【解析】由题意，圆锥的体积为
因为，可得，
所以，
可得，
令，可得；令，可得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，当处，函数取得极大值，也时最大值，
所以炸药包埋在深处.
故答案为：.
12．已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有 对.
【答案】
【解析】因为，所以，同理可得，
又，所以，
所以，，其中，
从而，即.
①若，
取，则即为方程的解，
此时共有种；
②若，
设取，则即为方程的解，
此时共有种；
③若模余，
则，从而，
由①②可知此时共有种；
④若模余，则，从而，
模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以，
故此时共有种；
综上所述符合条件的共有对.
故答案为：
二、选择题
13．“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵抛物线的标准方程为，其准线方程为
∴
∵双曲线的
∴焦点为
∵抛物线即为
∴抛物线的焦点为，则
∴
∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件
故选A
14．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【答案】D
【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A．甲与乙是对立事件B．甲与乙是互斥事件
C．丙与丁相互独立D．甲与丁相互独立
【答案】BD
【解析】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有，
则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；
对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确.
故选：BD.
16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（ ）．
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】如图所示，假设在长方形中必存在使得，
又易知平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
又，则平面，
因为平面，所以，即存在使得，
但若，如下图所示，不妨设，
过作交直线于P，过作，
易得，所以，
又，则，
则在延长线上，此时①不成立；
易知与不垂直，，所以与不垂直，
又平面，所以不垂直于平面，即②成立
故选：C
三、解答题
17．三棱柱中，平面，且，为中点．

(1)求四面体的体积：
(2)求平面与所成锐二面角的余弦值．
解：(1)因为平面，又面，所以，
又，，面，所以面，
因为面，所以到面的距离即,
又，，
所以.
(2)如图，建立空间直角坐标系，因为，，
则，
所以
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
设平面的一个法向量为，
则由，得到，取，则，所以，
设平面与所成锐二面角为，
则.

18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.
(1)若，求A和外接圆半径R的值；
(2)若三角形的面积，求c.
解：(1)因为，则，且.
由正弦定理，得，即，
即，，
因为，所以，
因此，；
(2)由得，
于是.
当时，由余弦定理，得.
当时，由余弦定理，得.
所以，或.
19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．
(1)解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．
(2)解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得：，，，
所以随机变量的分布为：
所以的数学期望．
20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．
（i）求证：点轨迹方程为；
（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
(1)解：因为椭圆的离心率为，所以，解得.
因为，，.
在中，由余弦定理得，
解得，则，故椭圆的方程为；
(2)证明：（i）当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为，
联立得.
因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交.
设，由韦达定理得，
所以.
因为为线段中点，
所以，此时，则.
要证，只需证明，
而，
所以点轨迹方程为；
（ii）联立得，则.
不妨设，所以，.
不妨设，由得
，
即.
因为，，
所以.
∵，所以，即，
则点在定直线上.
当直线斜率为0时，轴，此时,.
因为，所以，，
故点在定直线上；
当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴，
所以点在轴上，则.
∵，所以，即，则点在定直线上.
综上可得：点在定直线上.
21．对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.
(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
解：(1)，函数定义域为，
，，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，取，则，
设，，则恒成立，
且，故存在唯一的满足，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上所述：
时，在上单调递增；
时，存在唯一的满足，
时，函数单调递减，时，函数单调递增.
(2)①，则，，，，
，故，；
②存在，取，，则，则，
即，，
数列严格减数列且为无穷数列，满足条件.
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
5
0
1
2