数学：上海市2024届高考模拟测试卷07（考前手感卷）（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷07（考前手感卷）（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，全集，则 ．
【答案】
【解析】集合，全集，
所以，
故答案为：
2．已知，则在上的数量投影为 ．
【答案】
【解析】因为，设与的夹角为，
则在上的数量投影为
故答案为:
3．过点与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，
故所求直线方程为.
故答案为：.
4．若函数是偶函数，则的单调递增区间是
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，
若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，
即，
由于为开口向上的二次函数，对称轴为，
故函数的单调递增区间为：.
故答案为：
5．若且满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
则，
当，即或时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
6．已知，且有，则 .
【答案】
【解析】由二倍角公式可知：，
化简得,
可得
又，， ，故答案为：
7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【答案】
【解析】由条件可得，，
，
一定在回归方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案为：
8．设等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】24
【解析】是等差数列，∴，，
．故答案为：24.
9．分别掷3枚质地均匀的硬币，设事件A为“第1枚为正面”，事件B为“第2枚为反面”，事件C为“3枚结果相同”，则下列说法中正确的序号有 ．
①事件AB与事件C互斥；②事件A与事件C相互独立；③；
④，事件AB与事件对立
【答案】①②
【解析】对于①：互斥事件指不可能同时发生，因此事件AB指“第1枚为正面同时第2枚为反面”，很明显与事件C“3枚结果相同”不同时发生，所以该选项正确；
对于②： ，， ，所以，故事件A与事件C相互独立该选项正确；
对于③：，故该选项错误；
对于④：，但事件与事件也可能同时发生，比如事件：“第1枚为正面，第2枚为反面，第3枚是正面”，对立事件必须前提是不能同时发生，因此本选项错误.
故答案为：①②.
10．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
【答案】4
【解析】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，
由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，
令，则，由双曲线定义可知，
故有，即，即，，
中，由余弦定理，，
即，得，
.
故答案为：4.
11．在中，，，，为线段上的一点（不与端点重合），交线段于（不与端点重合），将沿向上折起，使得平面垂直于平面，则四棱锥的体积的最大值为 .
【答案】
【解析】∵在△ABC中，EF⊥AB,
∴EF⊥AE,EF⊥EB,△ABC∽△FBE.
设,则EF=.
折叠后平面垂直于平面，
∵BE⊂平面BEF,平面BEF∩平面ACFE=EF, EF⊥EB,
由两个平面垂直的性质定理可得BE⊥平面ACFE,
,
四棱锥的体积
,
,
令,,在内>0,单调递增；在内，<0，单调递减.
∴
故答案为：
12．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：
①若为递增数列，则存在最大值；
②若为递增数列，则存在最小值；
③若，且存在最小值，则存在最小值；
④若，且存在最大值，则存在最大值.
其中所有错误结论的序号有 ．
【答案】①③④
【解析】①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，
则函数不存在最大值，故①错误；
②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，
所以函数在区间的最小值是，故②正确；
③若，取,,
则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，
函数单调递减，无最小值，故③错误；
④若，取，则恒成立，
则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，
故④错误.
故答案为：①③④
二、单选题
13．已知三个社区的居民人数分别为，现从中采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（ ）
A．33B．18C．27D．21
【答案】A
【解析】三个社区的居民人数分别为，
从中抽取一个容量为的样本，从社区抽取了15人，
则，解得.
故选：A
14．在空间四边形中，，那么必有（ ）
A．平面⊥平面
B．平面⊥平面
C．平面⊥平面
D．平面⊥平面
【答案】C
【解析】在空间四边形中，,
又由,且面，平面，平面，
所以平面，
又因为平面,
所以平面⊥平面，
故选：C.
15．已知函数，，则“”是“的值域为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；
必要性：函数的最小正周期为，
因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.
因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故选：B.
16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确B．①②均错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【解析】设，，，则.
对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；
对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，
两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上故选：C.
三、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若平分交于且，求面积的最小值.
解：(1)依题意，，则，
故，则，
，
，
由于，所以，所以，则为锐角，且.
(2)依题意平分，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由正弦定理得，
所以，由正弦定理得.
在三角形中，由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，整理得，
所以或.
当时，三角形是等边三角形，，，
，所以.
当时，，
当且仅当时等号成立，
所以三角形.
综上所述，三角形面积的最小值为.
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.
(1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)证明：如图，取的中点，连接，，
由题意，点，分别为，的中点，
∴，，
又∵底面矩形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵平面，平面，
∴直线平面.
(2)解：∵平面，平面，平面，
∴，，又知在矩形中，
∴以，，为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，
即，取，解得：，，
∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
解：(1)设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，
则，
，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，
第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)记取出的一次性筷子的双数为X，则，
则，
，
，
则，
则X的分布列为
数学期望.
20．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．
(1)若，求线段中点的轨迹方程；
(2)若直线的方向向量，当焦点为时，求的面积；
(3)若是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项．
解：(1)设，焦点，
则由题意，即，
故，将其代入抛物线中得：
，即，
所求的轨迹方程，
(2)设，，，
由于直线的方向向量，所以直线的斜率为2，
故直线，即，
由得，，，
到直线的距离为，
(3)点的坐标为、
设直线，代入抛物线得，
所以，
因而，，
因而，
而，故，
当直线轴时，，
，，
故，综上可知：命题得证．
21．设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.
(1)若和是关于的“对称函数”，求；
(2)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围；
(3)证明：对任意，存在唯一的，使得和是关于的“对称函数”.
(1)解：由题意，和是关于的“对称函数”，
∴，∴.
(2)解：由题意及(1)得，
是关于的“对称函数”，
∴，
设，则，
∴.
另一方面，由于，
∴函数在上恰有一个驻点，
从而当时，比较和处的函数值得，.
因此，，故，即.
(3)证明：由题意，(1)及(2)得
原命题等价于证明：对任意，关于的方程有唯一解
考虑，则
当时，由知.
而当时，由于，
∴函数在区间上唯一极小值点，
∴
从而.
令，则.
∴函数在区间上有唯一的极小值点.而，
∴.
综上，当时，，函数严格增.
从而对任意，关于的方程，也即至多有一解.
由知，当时，
∴当且时，；
而当时，.
从而由零点存在定理，关于的方程，也即一定有解.
综上，对任意，关于的方程有唯一解.X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1