数学：上海市2024届高考模拟测试卷02（解析版）

这是一份数学：上海市2024届高考模拟测试卷02（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，全集，则 ．
【答案】
【解析】集合，全集，
所以，
故答案为：
2．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为 ．
【答案】
【解析】由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，
所以该组数的第25百分位数为第三个数.
故答案为：
3．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则 ．
【答案】
【解析】由题设，即，
所以.
故答案为：
4．已知函数为偶函数，则函数的值域为 .
【答案】
【解析】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为：，
∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴圆的方程为；，
故答案为：.
6．已知x，y的对应值如下表所示：
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则 ．
【答案】1
【解析】根据表格可知，，
，
因为y与x线性相关，且回归直线方程为，
所以，得，解得.
故答案为：1
7．已知，且，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
即，
解得或，
因为，，
所以.
故答案为：
8．已知m是与4的等差中项，且，则的值为 ．
【答案】40
【解析】由题意得，解得，
则二项式的通项为，
令则有，故，
故答案为：.
9．若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是 .
【答案】
【解析】从正方体的12条面对角线中，随机选取两条的试验有个基本事件，
由于任意两个面的4条对角线中有2对异面直线，因此能成异面直线的对数是，
所以它们成异面直线的概率是.
故答案为：.
10．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
（i）当时，在上单调递增，
所以，则，
，
所以，，，，，
，
或或
；
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
；综上，的取值范围为.故答案为：
11．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 .

【答案】2
【解析】过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，

由条件可知，为底面正方形的对角线，所以，
所以,
长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以，
长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以，
由可得，解得，
由可得，所以，故答案为：2
12．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：
设，则，
则有，，，，，，，
设，
所以，，
又因为，所以，所以或，
又因为，
所以直线的方程为：，即，
同理可得直线的方程为：，即，
由，可得，
即，
因为，，，
,
即有，，
所以点所在双曲线方程为：，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
二、选择题
13．若：，：，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得：：，
显然可以推出，但不能推出，
所以是的必要非充分条件.故选：B.
14．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．350B．400C．450D．500
【答案】B
【解析】依题意，，而服从正态分布，
因此，
所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：B
15．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
【答案】B
【解析】，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
在上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
【答案】C
【解析】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，故C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，故D为真命题；故选：C.
三、解答题
17．在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求角，并计算的值；
(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．
解：(1)由，得，则，
又，所以或.
当时，；
当时，.
(2)若为锐角三角形，则，
有，解得.
由正弦定理，得，则，
所以
，
其中，又，所以，
则，故当时，取到最大值1，
所以的最大值为.
18．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
(1)证明：连接，
因为、分别为、的中点，
所以且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
(2)解：因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，
又平面平面,平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，如图所示
则，，,．
所以，，
由题意知，平面的法向量，
设平面的法向量，则
，即，
令，则，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．
(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
解：(1)从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，
将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则
，
(2)情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，
设该代表队必答环节的得分为，，
，，，
，，
则的分布为：
此时得分期望
情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，
设该代表队必答环节的得分为，,
，，，
，，
则的分布为：
此时得分期望
由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．
20．已知椭圆.
(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
解：(1)由题意得，，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
(2)设右焦点，左焦点，
因为四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
所以，
由，得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为；
（3）设直线的倾斜角为，斜率为，
则直线的斜率为，
设，则，
联立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
只需要，解得，
所以b的最大值为.
21．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.
(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；
(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.
解：(1)是函数，理由如下，
对任意，，
，故
(2)（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，
由，即，得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，由，同理可得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
综上所述：所求取值范围为；
（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，
此时，由为函数，得恒成立，即
恒成立，
设，则为上的减函数，，得对恒成立，
易知上述不等号右边的函数为上的减函数，
所以，所以的取值范围为，
此时，
法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，
法2：，
因为，当，，所以为上的增函数，
由题意得，，.0
2
4
6
8
1
13