2024成都中考数学二轮B26复习专题 动点类专项训练 （含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮B26复习专题 动点类专项训练 （含答案），共73页。

课中讲解
一.存在性问题
例1.如图，菱形的边长为，．动点、同时从点出发，其中以的速度，沿的路线向点运动；先以的速度沿的路线向点运动，然后再以的速度沿的路线向点运动，当、到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为秒．
（1）在点在上运动时，判断与对角线的位置关系，并说明理由；
（2）若点关于菱形的对角线交点的对称点为，过点且垂直于的直线交菱形的边（或于点．
①直接写出当是直角三角形时的取值范围；
②是否存在这样的，使是以为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
例2. 如图，菱形中，，连接，点是射线上一点（不与点重合），与对角线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，当点在线段上时，若，求的面积；
（3）若，当点在线段的延长线上时，请求出是等腰三角形时的长．
过关检测
1. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点，的坐标分别是和，，点是对角线上一动点（不与，重合），连结，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）填空：点的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：；
②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最小值．
2.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
二.最值问题
例1．已知在四边形中，，，，，．
（1）如图1，为边上一点，以，为边作平行四边形，过点作，交的延长线于．求证：；
（2）若为边上任意一点，延长到，使，再以，为边作平行四边形．请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若为边上任意一点，延长到，使为常数），以，为边作平行四边形．请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
过关检测
1. 在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
三.条件类动点
例4. 已知，如图1，将绕点旋转得到，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是边上任意一点（点与点、不重合），连接交于点，连接，过点作，交于点．
①求证：；
②当点是边中点时，恰有为正整数），求的值．
过关检测
1. 如图，在中，，，，是上一动点，过作的垂线交于，将折叠得到，延长交于，连结，交于．
（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的长．
2. 已知，在和中，，点在内，且
（1）如图1，当和均为等腰直角三角形时，连接，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）如图2，当和均为一般直角三角形时，若，，，，求的值．
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例5. 如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
例6. 如图1，在矩形中，点是边上一点，连接交对角线于点，．作线段的中垂线分别交线段，，，于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值．
过关检测
1. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，过作于，交于．
（1）如图1，连接，当，时，求的长；
（2）如图2，对角线，交于点．连接，若，求的长；
（3）如图3，对角线，交于点．连接，，若，试探索与的数量关系，并说明理由．
学习任务
1. 如图1，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．
（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；
（2）在（1）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．
2.如图，在等边中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且始终保持，连接，相交于点．过点作直线，过点作直线，直线，相交于点，连接交于点．
（1）求的大小；
（2）求证：
（3）在点，的运动过程中，若，求的值．
3.在矩形中，，，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，如果，求的长；
（3）如图2，连接交于点，，求．
4. 如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，．
（1）求的长；
（2）点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即，交于点．
①当为的中点时，求的长；
②连接、，当的长度最小时，求的面积．
2024成都中考数学二轮B26复习专题 动点类专项训练 （解析版）
目标层级图
本节主要包含动点问题，题目主要是近三年的一二三诊及近五年的中考真题，难度较大，根据学生层次进行讲解。
例1 为单纯的动点问题，明确动点的起末，运动方向和运动速度
例2 为动点相关的存在性问题，分类讨论
例3 为动点涉及的最值问题
例4，5，6为条件类问题
讲解之前需要老师刷一下，为难度较大的题型，老师的讲法更加重要
课中讲解
一. 授课内容1
内容讲解
例1.如图，菱形的边长为，．动点、同时从点出发，其中以的速度，沿的路线向点运动；先以的速度沿的路线向点运动，然后再以的速度沿的路线向点运动，当、到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为秒．
（1）在点在上运动时，判断与对角线的位置关系，并说明理由；
（2）若点关于菱形的对角线交点的对称点为，过点且垂直于的直线交菱形的边（或于点．
①直接写出当是直角三角形时的取值范围；
②是否存在这样的，使是以为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．
（2）①分两种情形分别求解即可．．
②假设存在这样的，使得是以为一直角边的直角三角形，但是需分点在上时和点在上时两种情况分别讨论．
【解答】解：（1）由题意，．
则，
又，，
．
，
又，
．
，即．
（2）①由（1）可知，当时，如图1中，，是直角三角形，
当时，如图2中，当时，，此时，
综上所述，当或时，是直角三角形
②存在这样的，使是以为一直角边的直角三角形．
设交于．
如图1，当点在上时，若，则．
．得，解得．
如图3，当点在上时，若，
则，
，，
，
是等边三角形，
，
，
解得．
故当或时，存在以为一直角边的直角三角形．
过关检测
1. 如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【分析】（1）在图1中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）如图1，证明，可得，根据可得，可得，根据（1）中，即可解出；
（3）分两种情形：当时，当时，分别画出图形求解即可．
（4）求出的长度，以及的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点作于．
，，
，，
，
，．
当点在上时，时，点到的最短距离为3．
（2）如图1中，，
，
，
将的面积分成上下，
，
，
，
．
（3）当时，如图中，过点作交的延长线于．
，
，，
，
，
，
．
当时，如图2中，过点作于．
同法可得．
综上，；
（4）由题意点的运动速度单位长度秒．
当时，设点移动的路程为，．
，，
，
，
，
，
，
，
，
时，有最大值，最大值，
，
当时，，
解得，
点被扫描到的总时长（秒．
例2. 如图，菱形中，，连接，点是射线上一点（不与点重合），与对角线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，当点在线段上时，若，求的面积；条件
（3）若，当点在线段的延长线上时，请求出是等腰三角形时的长．
【分析】（1）由证得，即可得出结论；
（2）连接，交于，求出，，则，，，，，则，易证，得出，则，由，得出即可得出结果；
（3）①由（1）得，则，当时，得是等腰直角三角形，过点作交于，则为等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则，求出，即可得出结果；
②由（1）得，则，当时，，得出，，证明，得出是等腰三角形，过点作于，则是等腰直角三角形，得出，由，求出，即可得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，，
，
；
（2）解：连接，交于，如图1所示：
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
点到边、的距离相等，
，
，
，
；
（3）解：①由（1）得：，
，
当时，则，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
过点作交于，如图2所示：
则为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
；
②由（1）得：，
，
当时，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
过点作于，如图3所示：
则是等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
；
综上所述，是等腰三角形时的长为或．
过关检测
1. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点，的坐标分别是和，，点是对角线上一动点（不与，重合），连结，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形．
（1）填空：点的坐标为 ， ；
（2）是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：；
②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最小值．
【分析】（1）求出、的长即可解决问题；
（2）存在．先推出，由是等腰三角形，观察图象可知，只有，，推出，可得是等边三角形，推出，由此即可解决问题；
（3）①先表示出，，再判断出，即可得出结论；
②作于．想办法用表示、的长，构建二次函数即可解决问题；
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
，．
故答案为，．
（2）存在．理由如下：
，，
，
，
①如图1中，当在线段上时，是等腰三角形，观察图象可知，只有，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
．
当时，是等腰三角形．
②如图2中，当在的延长线上时，是等腰三角形，只有，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为2或．
（3）①如图1，
过点作交于，交于，
和，，
直线的解析式为，
设，
，
，
，，
，，
，
．
②如图2中，作于．
在中，，，
，，
，
在中，，
，
矩形的面积为，
即，
，
，
时，有最小值．
2. （10分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
【分析】（1）由AB＝AC，根据等边对等角，可得∠B＝∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM＝∠BAE，则可证得△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE＝EM与AM＝EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE＝x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM＝﹣+x＝﹣（x﹣3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF
∴AE≠AM；
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝，
∴BE＝6﹣＝；
∴BE＝1或．
（3）设BE＝x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，
即：，
∴CM＝﹣+x＝﹣（x﹣3）2+，
∴AM＝5﹣CM＝（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，AM最短为．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．
过关检测
1．已知在四边形中，，，，，．
（1）如图1，为边上一点，以，为边作平行四边形，过点作，交的延长线于．求证：；
（2）若为边上任意一点，延长到，使，再以，为边作平行四边形．请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若为边上任意一点，延长到，使为常数），以，为边作平行四边形．请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用定理证明；
（2）作，交的延长线于，设与相交于点，证明，得到，求出的长，得到答案；
（3）作，交的延长线于，作，交的延长线于，证明，得到，求出，根据等腰直角三角形的性质得到，得到答案．
【解答】解：（1），
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）存在最小值，最小值为10，
如图1，作，交的延长线于，设与相交于点，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
当时，的长最小，即为10；
（3）存在最小值，最小值为，
如图2，作，交的延长线于，作，交的延长线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
过点作于，又，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
当时，的长最小，最小值为．
2. 在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转可得：，进而得到，依据，可得，即可得到，；
（2）根据为的中点，即可得出，进而得到，依据，即可得到，进而得出；
（3）依据，即可得到最小，即最小，而，利用几何法或代数法即可得到的最小值，．
【解答】解：（1）由旋转可得：，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）为的中点，
，
由旋转可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
最小，即最小，
，
法一：（几何法）取的中点，
，
，即，
当最小时，最小，
，即与重合时，最小，
，，
的最小值，；
法二（代数法）设，，
由射影定理得：，
当最小时，最小，
，
当时，“”成立，
，
的最小值，．
例4. 已知，如图1，将绕点旋转得到，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，点是边上任意一点（点与点、不重合），连接交于点，连接，过点作，交于点．
①求证：；
②当点是边中点时，恰有为正整数），求的值．
【分析】（1）欲证明四边形是平行四边形，只要证明，即可．
（2）①想办法证明，推出可得结论．
②如图2中，过点作交于．由，推出，由，推出，推出，由，推出，可得解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
绕点旋转得到，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）①证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图2中，过点作交于．
是的中点，且，
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，即，
，，
，，
，
，即，
，即，
．
过关检测
1. 如图，在中，，，，是上一动点，过作的垂线交于，将折叠得到，延长交于，连结，交于．
（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的长．
【分析】（1）先求出，进而判断出点在的延长线上，进而判断出，，即可得出结论；
（2）先求出，，进而求出，，再判断出是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，再判断出，求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
点在的延长线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）过点作于，
，，
，，
，
，
，
由折叠知，，
由（1）知，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2. 已知，在和中，，点在内，且
（1）如图1，当和均为等腰直角三角形时，连接，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）如图2，当和均为一般直角三角形时，若，，，，求的值．
【分析】（1）①先判断出，再判断出，即可得出结论；
②先判断出，进而判断出，再求出，最后用勾股定理求解即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，进而判断出，进而表示出，再表示出，最后用勾股定理得，，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）①和都是等腰直角三角形，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
②由①知，，
，，
，
，
，
即：，
根据勾股定理得，；
（2）如图（2），连接，
在中，，
同理，，
，
，
，
在中，设，则，
根据勾股定理得，；
在中，设，则，同理，
，，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
或（舍，
即：的值为．
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例5. 如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
过关检测
1. 如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
【分析】（1）证明，则可得出结论；
（2）证明，可得出，设，则，则，得出，由二次函数的性质可得出答案；
（3）①如图1，过点作于点，证明是等边三角形，得出．
②过点作于点，则，证明，得出．
【解答】（1）证明：由题意知，
，
即，
在矩形中，，
，
又，
，
；
（2）解：在中，，，
是等边三角形，，
又，
，
在中，，，
是等边三角形，，
，
即，
又，
，
，
设，则，
，
，
的最大值为．
（3）解：①在矩形中，，，
，，
，
如图1，过点作于点，
设，则，，
又，
在中，，
，
，（舍去），
，
，
，且，
是等边三角形，
．
②如图2，过点作于点，则，
，，
，
，
，
又，
，
又，
，
．
综合以上可得，或．
例6. 如图1，在矩形中，点是边上一点，连接交对角线于点，．作线段的中垂线分别交线段，，，于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可．
（2）利用勾股定理求出，证明，推出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）如图3中，连接，．设．利用勾股定理求出，再证明，，，四点共圆，推出，推出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，连接，．设．
四边形是矩形，
，，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
．
过关检测
1. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，过作于，交于．
（1）如图1，连接，当，时，求的长；
（2）如图2，对角线，交于点．连接，若，求的长；
（3）如图3，对角线，交于点．连接，，若，试探索与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明，推出，求出利用勾股定理即可解决问题．
（2）证明，可得解决问题．
（3）证明，可得，再证明即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
正方形，
，
于，
，
又，
，
又，，
，
，
，
，
在中，．
（2）如图2中，
正方形对角线，相交于点，
，，
于，
，
，，，四点共圆，
（也可由相似证得），
，
又，
，可得，
又，可得，，，，
，
．
（3）结论：．
理由如下：如图3中，连接．
，由（2）问可知，
，，，四点共圆，
，
，
又，，，四点共圆有，
，
又，
，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，又，于是，，
，
．
学习任务
1. 如图1，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．
（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；
（2）在（1）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．
【分析】（1）先利用勾股定理求出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，，再用勾股定理得出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，，进而判断出，再判断出，得出，在中，，在中，，得出，，进而求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，
在中，，，根据勾股定理得，，
由运动知，，
，
，
，
，，
，
；
（2）结论：，
理由：如图2，
连接，由（1）知，，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
；
（3）如图3，
由运动知，，，
，
平分，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，过点作于，
，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
2. 如图，在等边中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且始终保持，连接，相交于点．过点作直线，过点作直线，直线，相交于点，连接交于点．
（1）求的大小；
（2）求证：；
（3）在点，的运动过程中，若，求的值．
【分析】（1）证明，推出，可得解决问题．
（2）首先证明，，，四点共圆，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可解决问题．
（3）作于．由，可以假设，，想办法求出，即可解决问题．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（2）证明：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
．
（3）解：作于．
，
可以假设，，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
当点在点下方时，根据对称性可得：．
综上所述，的值为或．

3. 在矩形中，，，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，如果，求的长；
（3）如图2，连接交于点，，求．
【分析】（1）由矩形的性质可得，由余角的性质和对顶角的性质可得，即可得结论；
（2）由题意可证△，可得，，即，由折叠的性质可得，，根据勾股定理可求的长．
（3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，设，，可得，，由勾股定理可得，由相似三角形的性质可得，，即可求．
【解答】证明：（1）四边形是矩形
，，
折叠
，
，
又，，
，且，
（2）
，，，
△，
，，
，
，
设，则，
折叠
，，
，
，
在中，，
，
即
（3）
折叠
，，，
垂直平分，
，
，
，且
，
四边形是矩形
，
，
，
设，，
，，
在△中，，
如图，过点作于点，
又，
△，
，
4.如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，．
（1）求的长；
（2）点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即，交于点．
①当为的中点时，求的长；
②连接、，当的长度最小时，求的面积．
【分析】（1）由菱形的性质得出，，，，由勾股定理求出，即可得出的长；
（2）①过点作于，由菱形的性质和三角函数得出，求出，由勾股定理求出，求出，再由勾股定理求出，证明，得出，即可得出结果；
②先证明，得出，当最小时，就最小，且时，最小，此时，，的面积的面积的面积，则四边形的面积的面积，过点作于，过点作于，则，证明，得出，求出，，即可得出的面积．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）①过点作于，如图1所示：
四边形是菱形，
，
，
，即，
，
，
为的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，，
，
，
，即，
解得：；
②如图2所示：
，
，即，
在和中，，
，
，
当最小时，就最小，且时，最小，
此时，，的面积的面积的面积，
则四边形的面积的面积，
过点作于，过点作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即当的长度最小时，的面积为14．