2024成都中考数学二轮B26复习专题 定值类专项训练 （含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮B26复习专题 定值类专项训练 （含答案），共60页。

课中讲解
一. 比值定值
内容讲解
例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；
（2）如图2，当时，连接，．
求证：；
*若，当为直角三角形时，求的值．
例2.在四边形中，点，分别是边，上的点，连接，并延长，分别交，的延长线于点，．
（1）如图1，若四边形是菱形，，求证：；
（2）如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式；
*（3）如图3，若四边形是矩形，，，，请求的值．
过关检测
1.如图，在等边中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且始终保持，连接，相交于点．过点作直线，过点作直线，直线，相交于点，连接交于点．
（1）求的大小；
（2）求证：；
*（3）在点，的运动过程中，若，求的值．
2.如果，即，则叫和的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．
（1）已知是等比三角形，，．请直接写出所有满足条件的的长；
（2）如图，在四边形中，，对角线平分，，求证：是等比三角形；
*（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．
3.如图，已知一个三角形纸片，其中，，，、分别是、边上的点，连接．（1）如图1，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使，求的长；
（2）如图2，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．
①试判断四边形的形状，并证明你的结论；
②求的长；
（3）如图3，若的延长线与的延长线交于点，，，求的值．
二. 线段定值
内容讲解
例1.已知，在菱形中，，为对角线，，两点分别在，上，且满足．
（1）如图1，连接，过点作交于点，求证：；
（2）请求出线段，，之间的等量关系式；
*（3）如图2，延长交边于点，交延长线于点，作的平分线交于点．若，，求线段的长．
例2.正方形的边长为4，点在上，点在上，且，与交于点．
（1）如图1，求证：①，②．
*（2）连接并延长交于点，
①若点为的中点（如图，求的长；
②若点在的边上滑动（不与、重合），当取得最小值时，求的长．
过关检测
1.在中，为边上一点．
（1）如图1，若，求证：；
*（2）若为的中点，．
①如图2，若，，求的长；
②如图3，若，，求的长．
2.如图1，点为正方形的边上一点，于点，交于点，交于点，在上取一点，使，连接．
（1）求证：；
*（2）如图2，连接交于点，交于点，连接，交于点．
①试判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，求的长．
3.已知：如图1．正方形，过点作，两边分别交直线于点，交线段于点，为中点，连接
（1）求证：；
（2）如图2，过点作的垂线交对角线于点，求证：；
*（3）如图3，连接，若，，求线段的长．
学习任务
1.如图1，在矩形中，点是边上一点，连接交对角线于点，．作线段的中垂线分别交线段，，，于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值．
2.如图，已知正方形的顶点关于射线的对称点落在正方形内，连接并延长交边于点，交射线于点．连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）若，求的值．
3.如图，在正方形中，，点在对角线上，，连接，过点作，交线段于点
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接交于点．求的长．
4.在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点．
（1）如图1，若点是的中点，求证：；
（2）如图2，当，且时，求的值；
（3）如图3，当时，求的值．
2024成都中考数学二轮B26复习专题 定值类专项训练 （解析版）
目标层级图
【本节的主要内容是B卷27题求定值相关题目，主要分为求比值定值（如求三角函数值）以及求线段定值（求线段长），内容综合，难度较大，老师们酌情选择性给学生讲解。】
课中讲解
一. 比值定值
内容讲解
例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；
（2）如图2，当时，连接，．
求证：；
*若，当为直角三角形时，求的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，得到答案；
（2）作交于，交于，根据等腰三角形的性质得到，，根据正切的定义计算即可；
分、两种情况，根据（2）的结论计算．
【解答】解：（1），
理由如下：，，
，，
，
在中，，
，
；
（2）作交于，交于，
，，
，，
，，
，又，
，
；
如图2，当时，
，，
，
，，
，
，
设，，则，
，
由（2）得，，
，
解得，，（由（1）可知，此时，不合题意），
；
如图3，当时，
，，
、、在同一条直线上，
设，，则，
，
，
，
综上所述：的值为3或．
例2.在四边形中，点，分别是边，上的点，连接，并延长，分别交，的延长线于点，．
（1）如图1，若四边形是菱形，，求证：；
（2）如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式；
*（3）如图3，若四边形是矩形，，，，请求的值．
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）通过证明，可得，可得，通过证明，可得，即，即可求与的函数关系式；
（3）取中点，过点作，交于点，交于点，连接，可证四边形是正方形，由（2）可知，由相似三角形的性质可得，，可求，的长，即可求的值．
【解答】证明：（1）四边形是菱形
，，
，
，，
，
（2）连接
四边形是正方形
，，
，
，，
，
（3）如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，
，
，且是中点
，，
，
，
设，，
，且
四边形是平行四边形，且，
四边形是正方形，
四边形是正方形，且，由（2）可得：
，
，
，
，
过关检测
1.如图，在等边中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且始终保持，连接，相交于点．过点作直线，过点作直线，直线，相交于点，连接交于点．
（1）求的大小；
（2）求证：；
*（3）在点，的运动过程中，若，求的值．
【分析】（1）证明，推出，可得解决问题．
（2）首先证明，，，四点共圆，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可解决问题．
（3）作于．由，可以假设，，想办法求出，即可解决问题．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（2）证明：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
．
（3）解：作于．
，
可以假设，，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
当点在点下方时，根据对称性可得：．
综上所述，的值为或．
2.如果，即，则叫和的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．
（1）已知是等比三角形，，．请直接写出所有满足条件的的长；
（2）如图，在四边形中，，对角线平分，，求证：是等比三角形；
*（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．
【分析】（1）根据等比三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；
（2）先证得，再由知即可得；
（3）作，由知，再证得，即，结合推出，据此可得答案．
【解答】解：（1）是等比三角形，且、，
①当时，得：，解得：；
②当时，得：，解得：；
③当时，得：，解得：（负值舍去）；
所以当或或时，是比例三角形；
（2），
，
又，
，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
（3）如图，过点作于点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
．
方法二：利用勾股定理可得：，
．
3. 如图，已知一个三角形纸片，其中，，，、分别是、边上的点，连接．（1）如图1，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使，求的长；
（2）如图2，若将纸片的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，且使．
①试判断四边形的形状，并证明你的结论；
②求的长；
（3）如图3，若的延长线与的延长线交于点，，，求的值．
【分析】（1）先利用折叠的性质得到，，则，则易得，再证明，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和，的关系，再利用勾股定理求出即可得到的长；
（2）首先判断四边形为菱形；再连结交于点，设，则，，先证明得到关于的比例式，解出后计算出的值，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式计算；
（3）作于，先证明，利用相似比得到，设，，则，，再证明，利用相似比可计算出的值，则可计算出和，接着利用勾股定理计算出，从而得到的长，即可得出结论．
【解答】解：（1）的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，
，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，即，
，
由折叠知，
（2）连结交于点，如图2，
的一角沿折叠，折叠后点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
设，则，，
四边形为菱形，
，
，
，
即，
解得，，
在中，，
，
；
（3）如图③，作于，
，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
二. 线段定值
内容讲解
例1.已知，在菱形中，，为对角线，，两点分别在，上，且满足．
（1）如图1，连接，过点作交于点，求证：；
（2）请求出线段，，之间的等量关系式；
*（3）如图2，延长交边于点，交延长线于点，作的平分线交于点．若，，求线段的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得各角的度数，表示，，则；
（2）证明，得，则，根据的长列等式可得结论；
（3）先证明，得，设，则，作辅助线，构建直角三角形，表示和的长，根据平行线分线段成比例定理列比例式为：，得，由，得，表示的长，由，表示的长，结合（2）的结论代入可得结论．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，，
，，
，为菱形的对角线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，由（1）可得，过点作于，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图2，在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，过点作于，
则，，，
，
，
，
，
，
，
延长，交于点，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，则，
，
，
，
，
，
．
例2.正方形的边长为4，点在上，点在上，且，与交于点．
（1）如图1，求证：①，②．
*（2）连接并延长交于点，
①若点为的中点（如图，求的长；
②若点在的边上滑动（不与、重合），当取得最小值时，求的长．
【分析】（1）①由正方形的性质得出，，由证明，即可得出结论；
②由①得：，得出，证出，即可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，由（1）得：，则，证明，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，由平行线得出，即可得出的长；
②由（1）得：，得出点在以为直径的圆上，设的中点为，当、、在同一直线上时，为最小值，求出，由平行线得出，证出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：①四边形是正方形，
，，
在和中，，
，
；
②由①得：，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图2所示：
为的中点，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
，即，
解得：；
②由（1）得：，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
由图形可知：当、、在同一直线上时，为最小值，如图3所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即
当取得最小值时，的长为．
过关检测
1.在中，为边上一点．
（1）如图1，若，求证：；
*（2）若为的中点，．
①如图2，若，，求的长；
②如图3，若，，求的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①取在中点，连接，设，则，，根据三角形的中位线的性质得到，由平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到即，即可得到结论；
②过作于，延长到，使，解直角三角形得到，，根据勾股定理得出，相似三角形的性质得到列方程即可得到结论．
【解答】解：（1），，
，
，
；
（2）①如图2，取在中点，连接，设，则，，
是的中点，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
；
②如图3，过作于，延长到，使，
设．
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2.如图1，点为正方形的边上一点，于点，交于点，交于点，在上取一点，使，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，交于点，连接，交于点．
①试判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，求的长．
【分析】（1）如图1，根据同角的余角相等可得：，证明△，所以；
（2）①根据同位角相等，两直线平行，由，，则，则；
②如图2，先证明，则，可知、是的三等分点，则，根据勾股定理得：，由平行线分线段成比例线段可知：，计算和的长，由勾股定理可得的长，由，则△，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，，
△，
，
；
（2）①解：，理由是：
如图2，，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②解：，，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
△，
，
，，
．
【点评】本题考查了四边形综合题，其中涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理等知识，解答（3）时，注意分段计算和、的长，利用平行线的性质证得三角形相似是解题的关键．
3.已知：如图1．正方形，过点作，两边分别交直线于点，交线段于点，为中点，连接
（1）求证：；
（2）如图2，过点作的垂线交对角线于点，求证：；
（3）如图3，连接，若，，求线段的长．
【分析】（1）如图1中，由，推出，由，推出，推出，由，推出即可；
（2）如图2中，连接交于，连接、、取的中点，连接、．只要证明、、、四点共圆，由，．推出，推出，即可解决问题；
（3）如图3中，如图3中，设交于，交于．，作于．只要证明，推出，由，，推出，，在中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图2中，连接交于，连接、、取的中点，连接、．
，，
，
、、、四点共圆，
，．
，
，
，，
，
．
（3）解：如图3中，如图3中，设交于，交于．，作于．
，
，
，
易证，
，
，，
，
，
，
在中，易证，，
．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、三角形的中位线定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
学习任务
1.如图1，在矩形中，点是边上一点，连接交对角线于点，．作线段的中垂线分别交线段，，，于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，求的值．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可．
（2）利用勾股定理求出，证明，推出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）如图3中，连接，．设．利用勾股定理求出，再证明，，，四点共圆，推出，推出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，连接，．设．
四边形是矩形，
，，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2.如图，已知正方形的顶点关于射线的对称点落在正方形内，连接并延长交边于点，交射线于点．连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）若，求的值．
【分析】（1）由轴对称的性质可得，，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和四边形内角和定理可求，可得结论；
（2）过点作于，由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求解；
（3）连接，过点作于，作，交于，由题意可证点，点，点，点四点共圆，可得，，可求，，解直角三角形可求解．
【解答】解：（1），
理由如下：点关于射线的对称点，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（3）连接，过点作于，作，交于，
四边形是正方形，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，，
，，
，
，
又，
，，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
3.如图，在正方形中，，点在对角线上，，连接，过点作，交线段于点
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接交于点．求的长．
【分析】（1）过作于，于，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）过作于，设，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过作于，于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过作于，
，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4.在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点．
（1）如图1，若点是的中点，求证：；
（2）如图2，当，且时，求的值；
（3）如图3，当时，求的值．
【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）证明，得出比例式建立方程求解即可得出，，再判断出，即可得出结论；
（3）判断出，得出，即可得出结论．
【解答】解：（1）在矩形中，，，
是中点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
或，
，
，，
，，
由折叠得，，
在矩形，，
沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图，连接，
，
，
，
；
，
是菱形，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．