初中数学中考复习 2020中考数学-动点问题专题训练（含答案）

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如图， 在中，，于点，，． 点从点出发， 在线段上以每秒的速度向点匀速运动， 与此同时， 垂直于的直线从底边出发， 以每秒的速度沿方向匀速平移， 分别交、、于、、，当点到达点时， 点与直线同时停止运动， 设运动时间为秒．
（1） 当时， 连接、，求证： 四边形为菱形；
（2） 在整个运动过程中， 所形成的的面积存在最大值， 当的面积最大时， 求线段的长；
（3） 是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在， 请求出此时刻的值；若不存在， 请说明理由 ．
【解答】（1） 证明： 当时，，则为的中点， 如答图 1 所示 ．
又，
为的垂直平分线，
，．
，于点，
，．
，
，，
，
，
，即四边形为菱形 ．
（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知，
，
，即，解得：．
，
当秒时，存在最大值， 最大值为，此时．
（3） 解： 存在 ． 理由如下：
①若点为直角顶点， 如答图 3①所示，
此时，，．
，，即，此比例式不成立， 故此种情形不存在；
②若点为直角顶点如答图 3②所示，
此时，，，．
，，即，解得；
③若点为直角顶点，如答图③所示 ．
过点作于点，过点作于点，则，．
，，即，解得，
．
在中， 由勾股定理得：．
，，即，解得，
．
在中， 由勾股定理得：．
在中， 由勾股定理得：，
即：
化简得：，
解得：或（舍 去）
．
综上所述， 当秒或秒时，为直角三角形 ．
如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板和拼在一起， 使斜边完全重合， 且顶点，分别在的两旁，，，
（1） 填空： ，
（2） 点，分别从点，点同时以每秒的速度等速出发， 且分别在，上沿，方向运动， 当点运动到点时，、两点同时停止运动， 连接，求当、点运动了秒时， 点到的距离 （用 含的式子表示）
（3） 在 （2） 的条件下， 取中点，连接，，设的面积为，在整个运动过程中，的面积存在最大值， 请求出的最大值 ．
（参考数据，
【解答】解： （1），，
，
，，
，
；
故答案为：，；
（2） 过点作于，作，交的延长线于，如图所示：
则，
，，，
，，
，，
，，
，
，
点到的距离为；
（3），
，
为的中点，
，
，
的面积梯形的面积的面积的面积
，
即是的二次函数，
，
有最大值，
当时，
有最大值为．
如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、．
（1） 请直接写出线段在平移过程中， 四边形是什么四边形？
（2） 请判断、之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；
（3） 在平移变换过程中， 设，，求与之间的函数关系式， 并求出的最大值 ．
【解答】（1） 四边形为平行四边形；
（2），，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
（3） 如图， 过作于．
①如图 1 ，当点在点右侧时，
则，，
，即，
又，
当时，有最大值为 2 ；
②如图 2 ，当点在点左侧时，
则，，
，即，
又，
当时，有最大值为；
综上所述，当时，有最大值为 2 ．
如图， 在平面直角坐标系中，为原点， 四边形是矩形， 点，的坐标分别是和，，点是对角线上一动点 （不 与，重合） ，连结，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形．
（1） 填空： 点的坐标为 ， ；
（2） 是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在， 请求出的长度；若不存在， 请说明理由；
（3）①求证：；
②设，矩形的面积为，求关于的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出的最小值 ．
【解答】解： （1）四边形是矩形，
，，，
，．
故答案为，．
（2） 存在 ． 理由如下：
，，
，
，
①如图 1 中， 当在线段上时，是等腰三角形， 观察图象可知， 只有，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
．
当时，是等腰三角形 ．
②如图 2 中， 当在的延长线上时，是等腰三角形， 只有，，
，
，
综上所述， 满足条件的的值为 2 或．
（3）①如图 1 ，
过点作交于，交于，
和，，
直线的解析式为，
设，
，
，
，，
，，
，
．
②如图 2 中， 作于．
在中，，，
，，
，
在中，，
，
矩形的面积为，
即，
，
，
时，有最小值．
已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图 1 ，连接．
（1） 填空： 60 ；
（2） 如图 1 ，连接，作，垂足为，求的长度；
（3） 如图 2 ，点，同时从点出发， 在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点的运动速度为 1.5 单位秒， 点的运动速度为 1 单位秒， 设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？
【解答】解： （1） 由旋转性质可知：，，
是等边三角形，
．
故答案为 60 ．
（2） 如图 1 中，
，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
．
（3）①当时，在上运动，在上运动， 此时过点作且交于点．
则，
，
．
时，有最大值， 最大值．
②当时，在上运动，在上运动 ．
作于． 则，，
．
当时，取最大值，，
③当时，、都在上运动， 作于．
，，
，
当时，有最大值， 最大值，
综上所述，有最大值， 最大值为．