2024成都中考数学二轮B26复习专题 图形变化类 （含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮B26复习专题 图形变化类 （含答案），共51页。试卷主要包含了模型探究等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
一. 翻折
例1.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，，点D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①求AC的长；
②试猜想四边形BCPD的形状，并加以证明；
（3）如图2，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求CH的长．
例2.如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝
6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折
叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝4S△EDF，求ED的长；
（2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝2，，求值．
例3如图，点，分别在矩形的边，上，连接，将沿直线翻折得到，，，．
（1）如图1，当时，的延长线交于点，求的长；
（2）如图2，当的延长线经过点时，求的值；
（3）如图3，连接，，当点在线段上运动时，试探究四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形的面积的最小值；若不存在，请说明理由．
例4.在矩形中，，，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，如果，求的长；
（3）如图2，连接交于点，，求．
例5.如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接，求的大小；
（3）作点关于直线的对称点，连接，．猜想线段，，之间的数量关系并加以证明．
例6.如图，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当时，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ；
（2）请写出使四边形为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；
（3）令，当点在、点在上时，写出与的函数关系式．当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！
例7.将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且，如图1．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，点在上，且不与、两点重合，连接并延长到点，使得，连接、，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，如图2．当时，求的长．
例8.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
例9.（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．
二. 旋转
例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；
（2）如图2，当时，连接，．
求证：；
若，当为直角三角形时，求的值．
例2.（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中
，连结、，求证：．
（2）和是两个含的直角三角形，其中，，，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度；
①如图2，与交于点，与交于点，连结，若四边形为平行四边形，求的值；
②若，，连结、，当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求的长．
例3.如图，已知为正方形的对角线，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
（1）求证：；
（2）当线段与相交时，设交点为，求的值以及的度数；
（3）若正方形的边长为3，，当点，，在同一直线上时，求线段的长．
例4.如图，在与中，，，，，，射线与直线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
**（3）若绕点逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值．
例5.如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
（1）证明：四边形是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形绕点顺时针方向旋转角，如图3所示，当，，三点在一条直线上时，延长交于点，若，，求的长．
例6.在中，，平分交边于点，分别过作交边于点，交边于点．
（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，点，分别在线段，上，且，连接交于点，连接交于点．
求的值；
**将线段绕点顺时针旋转得到线段，求证：，，三点在同一条直线上
例7.如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
例8.在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
例9.如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
例10.如图1，已知是边长为8的等边三角形，，，连接，点为的中点，连接．将绕点顺时针旋转．
（1）如图2，当点位于边上时，延长交于点．
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，连接，在旋转过程中试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
2024成都中考数学二轮B26复习专题 图形变化类 （学生版）
目标层级图
一. 翻折
例1.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，，点D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①求AC的长；
②试猜想四边形BCPD的形状，并加以证明；
（3）如图2，若BD＝AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求CH的长．
【分析】（1）①根据勾股定理求出AC即可；②想办法证明DP∥BC，DP＝BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD＝AD＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△BDC中，可得x2＝（8﹣x）2+42，推出x＝5，由△ADN∽△ABC，可得＝，可得＝推出BN＝AN＝2，在Rt△BDN中，DN＝＝，由△BDN∽△BAM，可得＝，可得 ＝，推出AM＝4，推出AP＝2AM＝8，由△ADM∽△APE，可得＝，可得＝，推出AE＝，推出PE＝＝，即可解决问题；
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC＝4，AB＝4 ∴AC＝＝8，
②如图1中，四边形BCPD是平行四边形．
理由：∵AC＝8，AD＝DC， ∴DC＝AD＝4，
∵BC＝4，∴BC＝CD＝4，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝∠BDP＝135°，∴∠PDC＝135°﹣45°＝90°，∴∠BCD＝∠PDC＝90°，
∴DP∥BC，∵PD＝AD＝BC＝2，∴四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD＝AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD2＝CD2+BC2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，
∵DB＝DA，DN⊥AB，
由△ADN∽△ABC，可得＝，∴＝∴BN＝AN＝2，
在Rt△BDN中，DN＝＝，
由△BDN∽△BAM，可得＝，∴＝，∴AM＝4，∴AP＝2AM＝8，
由△ADM∽△APE，可得＝，∴＝，∴AE＝，
∴PE＝＝ 易证四边形PECH是矩形， ∴CH＝PE＝．
【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例2.如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝
6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折
叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝4S△EDF，求ED的长；
（2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
（条件类，先判断菱形，再利用性质进行列式）
②求EF的长；
（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝2，，求值．
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF＝S△DEF，则易得S△ABC＝5S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）首先判断四边形AEMF为菱形；再连结AM交EF于点O，设AE＝x，则EM＝x，CE＝8﹣x，先证明△CME∽△CBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到，设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣2，BH＝6﹣（7x﹣2）＝8﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x的值，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四边形ECBF＝4S△EDF，∴S△ABC＝5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，
∵∠EAF＝∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴＝（）2，即（）2＝，
∴AE＝2，由折叠知，DE＝AE＝2
（2）连结AM交EF于点O，如图2，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵MF∥AC，∴∠AEF＝∠MFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，
∴AE＝EM＝MF＝AF，∴四边形AEMF为菱形，
设AE＝x，则EM＝x，CE＝8﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，∴＝＝，即，
解得x＝，CM＝，
在Rt△ACM中，AM＝＝，
∵S菱形AEMF＝EF•AM＝AE•CM，∴EF＝2×＝；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴，∴ ∴
设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣2，BH＝6﹣（7x﹣2）＝8﹣7x，
∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴，∴，∴x＝
∴FH＝4x＝，BH＝8﹣7x＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6，∴＝＝．
【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
例3如图，点，分别在矩形的边，上，连接，将沿直线翻折得到，，，．
（1）如图1，当时，的延长线交于点，求的长；
（2）如图2，当的延长线经过点时，求的值；
（3）如图3，连接，，当点在线段上运动时，试探究四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形的面积的最小值；若不存在，请说明理由．
[解答：]
例4.在矩形中，，，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，如果，求的长；
（3）如图2，连接交于点，，求．
[解答：]
例5.如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接，求的大小；
（3）作点关于直线的对称点，连接，．猜想线段，，之间的数量关系并加以证明．
【分析】（2）连接，证明，根据相似三角形的性质得到，根据正方形的性质解答；
（3）在线段上截取，使得，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，证明结论．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，，
，，，；
（2）解：如图1，连接，，，，
，，，
四边形是正方形，是对角线，，；
（3）解：，
理由如下：如图2，在线段上截取，使得，连接，
，，，
，，
，，，，
，，，
点关于直线的对称点，，，
，，，．
例6.如图，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当时，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ；
（2）请写出使四边形为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；
（3）令，当点在、点在上时，写出与的函数关系式．当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！
【解答】解：（1）当时，折痕，当点与点重合时，折痕．
（2）． 当时，如图，连接、．为折痕，，
令为，则，，在中，
，解得； 此时菱形边长为．
（3）如图2，过作；，，；
；
当与点重合时，如图3，连接；
，，；
函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值，
此时，．
综上所述，当取最大值时，．
例7.将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且，如图1．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，点在上，且不与、两点重合，连接并延长到点，使得，连接、，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，如图2．当时，求的长．
【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形；
（2）如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，，由勾股定理得，，设，根据三角函数定义可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论；
（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论．
【解答】解：（1）是等腰三角形，
理由是：如图1，四边形是矩形，，，
由折叠得：，，，是等腰三角形；
（2）如图1，过点作于，
，，四边形是矩形，，
，
设，，，，，，
，
设，，，
，，即，
解得：或（舍，；
（3）如图2，过点作，
由折叠得：，，，
，，，，
，
，，，，
，，，，
由（2）知：，则，，
，，，
，．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
例8.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，可求出，求出，由勾股定理求出，则可求出，即可求出的长；
（3）过点作于点，证明，，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
【解答】解：（1）四边形是矩形，，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，，，
四边形是矩形，，，；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，，，
，，，，
，，，，，
，，
．
（3）过点作于点，
，，
，，
，，，，
设，
平分，，，，，
设，则，
，，解得．
．．
例9.（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．
【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1），
理由：，在中，，
，
，，
，，；
（2）①设，，
是等边三角形，，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，
，，，
，，，
，，，；
②设，，
是等边三角形，，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，
，
，，，
，，，
，，．
，与的周长之比为．
二. 旋转
例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；
（2）如图2，当时，连接，．
求证：；
若，当为直角三角形时，求的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，得到答案；
（2）作交于，交于，根据等腰三角形的性质得到，，根据正切的定义计算即可；
分、两种情况，根据（2）的结论计算．
【解答】解：（1），
理由如下：，，，，，
在中，，，；
（2）作交于，交于，
，，，，
，，，又，，
；
如图2，当时，
，，，
，，，，
设，，则，
，
由（2）得，，，
解得，，（由（1）可知，此时，不合题意），
；
如图3，当时，
，，
、、在同一条直线上，
设，，则，
，
，
，
综上所述：的值为3或．
例2.（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中
，连结、，求证：．
（2）和是两个含的直角三角形，其中，，，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度；
①如图2，与交于点，与交于点，连结，若四边形为平行四边形，求的值； （图形变化：旋转类，定值类）
②若，，连结、，当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． （动点类：条件类）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，证出，由得出即可；
（2）①连接，由平行四边形的性质得出，证出，、、、四点共圆，由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，，，即可得出结果；
②分三种情况：
当时，证明，得出，得出，证出、、共线，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
当时，作于，由勾股定理得出，得出，即可得出的长；
当时，作于，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
当时，如图6中，作于．利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：和是两个等腰直角三角形，
，，，，
在和中，，；
（2）解：①连接，如图2所示：
四边形为平行四边形，，，
，，
，
，、、、四点共圆，，
，，，，
，即，；
②分三种情况：
当时，如图3所示：
和是两个含的直角三角形，，，
，，，，，
，
，，、、共线，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：（负值舍去），；
当时，如图4所示：
作于，则，，
，，，，
，，，，
，，；
当时，如图5所示：
作于，则，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
整理得：，△，此方程无解；
当时，如图6中，作于．
易知：，，，，
，
由可得：，
，
综上所述，当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为或或．
例3.如图，已知为正方形的对角线，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
（1）求证：；
（2）当线段与相交时，设交点为，求的值以及的度数；
（3）若正方形的边长为3，，当点，，在同一直线上时，求线段的长．
【解答】解：（1）是正方形的对角线，，，
由旋转知，，，
，；
（2）在中，，，由（1）知，，，
，，，，
，，
；
（3）如图，在中，，，
点，，在同一条线上，且，，
或，
由（2）知，，或；
即：的长为或．
例4.如图，在与中，，，，，，射线与直线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值； （条件性 四点共圆）
**（3）若绕点逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值．
【解答】（1）证明：，，，
，，，，，．（2）解：如图，设交于．
，，，
在中，，，，
，，
，
，，，
，，，，
，，
，，，
，
．
（3）由（2）可知当点与重合时，的值最大，最大值，
如图，当在的下方且与相切时，的值最大，此时的值最小，
，四边形是矩形，，
，
的最小值为。
例5.如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
（1）证明：四边形是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形绕点顺时针方向旋转角，如图3所示，当，，三点在一条直线上时，延长交于点，若，，求的长．
【分析】（1）如图1中，在上取一点，使得，连接．想办法证明，即可解决问题．
（2）如图2中，将绕点逆时针旋转得到，连接．想办法证明，可得结论．
（3）如图3中，连接．证明，推出，如图中，当时，的值最小，作于，于．解直角三角形求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，在上取一点，使得，连接．
四边形是矩形，，，
，，是等边三角形，
，
，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，将绕点逆时针旋转得到，连接．
，，，
，
，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，
，．
（3）解：如图3中，连接．
由翻折可知：，，，
，
，，
，，
，，
如图中，当时，的值最小，作于，于．
在中，，，，
，
在中，则有，，
，
，
，，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
例6.在中，，平分交边于点，分别过作交边于点，交边于点．
（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，点，分别在线段，上，且，连接交于点，连接交于点．
求的值；
**将线段绕点顺时针旋转得到线段，求证：，，三点在同一条直线上
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出四边形是菱形；
（2）连接交于点，证，得出，证，证明，得出，即可得出结论；
连接，证，得出，由知，，得出，证出，即可得出结论．
【解答】（1）解：四边形的形状是菱形；理由如下：
，，四边形是平行四边形，
平分，，
，，，，四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图2所示：
，四边形是菱形，
，、相互垂直平分，是等边三角形，
，，，
在中，，即，
，，
在和中，，，
，，
，
，，，
；
证明：如图3，连接，
，，
由（1）得：是等边三角形，，，
由旋转的性质得：，，，
在和中，，，，
由知，，，
，
，，三点在同一条直线上．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
例7.如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）连接交于点，求的最大值；
（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长．
【分析】（1）证明，则可得出结论；
（2）证明，可得出，设，则，则，得出，由二次函数的性质可得出答案；
（3）①如图1，过点作于点，证明是等边三角形，得出．
②过点作于点，则，证明，得出．
【解答】（1）证明：由题意知，，
即，在矩形中，，，
又，，；
（2）解：在中，，，
是等边三角形，，又，，
在中，，，是等边三角形，，
，
即，又，，，
设，则，，
，的最大值为．
（3）解：①在矩形中，，，
，，，
如图1，过点作于点，
设，则，，
又，
在中，，，，（舍去），
，，
，且，是等边三角形，．
②如图2，过点作于点，则，
，，，
，，
又，，
又，，．
综合以上可得，或．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，注意方程思想和分类讨论思想的理解与运用．
例8.在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转可得：，进而得到，依据，可得，即可得到，；
（2）根据为的中点，即可得出，进而得到，依据，即可得到，进而得出；
（3）依据，即可得到最小，即最小，而，利用几何法或代数法即可得到的最小值，．
【解答】解：（1）由旋转可得：，
，，，，
，，，，
，；
（2）为的中点，，
由旋转可得，，，
，，
，，
，，
，；
（3），最小，即最小，
，
法一：（几何法）取的中点，
，，即，
当最小时，最小，，即与重合时，最小，
，，的最小值，；
法二（代数法）设，，由射影定理得：，
当最小时，最小，
， （均值不等式）
当时，“”成立，，
的最小值，．
例9.如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，，然后根据，得到，，，最后用勾股定理即可；
②方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
方法2、取的中点，连接，，先证明，再证明是等边三角形即可．
【解答】解：（1）在中，，，
在和中，，，，
（2）①如图，
在中，，，
设，，
，，，，，
由旋转知，，，，
，
，，，，，
过点作，
，，
在中，，，，；
②方法1、如图1，
是由绕点逆时针旋转得到，，
，
由①有，和都为等腰三角形，，，
点，，，四点共圆，，
设与交于点，
，，，
是由绕点逆时针旋转得到，，
由（1）知，，
．即：．
方法2、如图③，取的中点，连接，，
由旋转知，，，
由旋转知，，，，
，，
，，
由旋转知，，，
由（1）知，，，，，
，
是等边三角形，，，
即：．
例10.如图1，已知是边长为8的等边三角形，，，连接，点为的中点，连接．将绕点顺时针旋转．
（1）如图2，当点位于边上时，延长交于点．
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，连接，在旋转过程中试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①想办法证明是等边三角形即可解决问题．
②利用三角形的中位线定理求出，再求出即可解决问题．
（2）结论：，．延长交的延长线于，延长到，使得，连接，，，在上截取，连接．证明图中，红色三角形全等，推出是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）①证明：如图2中，
是等边三角形，，
，，，
，是等边三角形，，．
②解：由①可知，，，，
，，．
（2）结论：，．
理由：如图2中，延长交的延长线于，延长到，使得，连接，，，在上截取，连接．
，，，，
是等边三角形，，
，，
，，，
，，，，
，，，四边形是平行四边形，
，，，
，，，，
，，，，
是等边三角形，
，，，，
，．