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2024成都中考数学二轮B26复习专题 模型类专项训练 （含答案）
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这是一份2024成都中考数学二轮B26复习专题 模型类专项训练 （含答案），共28页。试卷主要包含了问题背景等内容，欢迎下载使用。
课中讲解
一．模型类
点拨：此类题型模型主要包含一线三等角模型（K型）、手拉手模型、子母型、射影定理、A型、X型等等。
例1．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
例2．问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
求证：；
请直接写出线段，，之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
证明是等边三角形；
若，，求的长．
过关检测
1．如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
2．（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．
学习任务
1．已知，点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求与的比值；
（3）若，，射线交于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．
2．等腰中，，于点，点是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转一定的角度，使得点落在了点处，且满足，连接
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为 ；
（2）如图2，若，求证：（写出证明过程）
（3）如图3．在（2）的条件下，连接并延长分别交、于点，，，，求的面积。
2024成都中考数学二轮B26复习专题 模型类专项训练 （解析版）
目标层级图
说明：本节内容主要是120+的学生，在春季中考前用于解决B27直线几何综合题中的模型类图形问题，熟练回忆和关联相关模型，掌握对应题型的思维方法。
主要从以下三类入手进行讲解，涉及到思维的转换，知识的储备，对应解决。
旋转的手拉手模型，结合全等三角形与相似三角形的知识。
K型以及一线三等角的模型，同侧和异侧。
角平分线模型、子母型的识别与应用。
课中讲解
一．模型类
点拨：此类题型模型主要包含一线三等角模型（K型）、手拉手模型、子母型、射影定理、A型、X型等等。
例1．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；模型
（2）当时（如图，求的长；条件
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．条件
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
例2．问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
求证：； 模型
请直接写出线段，，之间的等量关系式；模型
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
证明是等边三角形；
若，，求的长．条件
【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
，
，
在和中，
，
，
②解：结论：．
理由：如图中，作于．
，
，
在中，，
，，
，
．
拓展延伸：①证明：如图3中，作于，连接．
四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，
、关于对称，
，，
、、、四点共圆，
，
，
是等边三角形，
②解：，，
，，
在中，，
，
．
5．在平面直角坐标系中，已知点，点，点．绕着顺时针旋转，得△，点、旋转后的对应点为，，记旋转角为．
（Ⅰ）如图1，恰好经过点时，求此时旋转角的度数，并求出点的坐标；模型
（Ⅱ）如图2，若，设直线和直线交于点，求证：；模型
（Ⅲ）若，求（Ⅱ）中的点纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．最值
【分析】（Ⅰ）作辅助线，先根据点，点，确定，证明是等边三角形，得旋转角，证明是的直角三角形，可得的坐标；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得，，，即可得出，再根据，四边形的内角和为，即可得到，即；
（Ⅲ）作的中点，连接，依据点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，即可得到当轴时，点纵坐标的最小值为．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过作轴于，
，，，
，，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（Ⅱ）证明：如图2，，，，
，
，四边形的内角和为，
，
即；
（Ⅲ）点纵坐标的最小值为．理由是：
如图，作的中点，连接，
，
点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，除去点，．
当轴时，点纵坐标的最小值为．
过关检测
1．如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；条件，模型
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．旋转
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，，然后根据，得到，，，最后用勾股定理即可；
②方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
方法2、取的中点，连接，，先证明，再证明是等边三角形即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
在和中，
，
，
，
（2）①如图，
在中，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
由旋转知，，，，
，
，，
，
，
，
过点作，
，，
在中，，
，
，
；
②方法1、如图1，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
，
由①有，和都为等腰三角形，
，
，
点，，，四点共圆，
，
设与交于点，
，
，
，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
由（1）知，，
．
即：．
方法2、如图③，取的中点，连接，，
由旋转知，，
，
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
2．（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；模型
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；翻折
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．翻折
【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1），
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（2）①设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
；
②设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
，
与的周长之比为．
学习任务
1．已知，点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：；角平分线模型
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求与的比值；
模型+条件
（3）若，，射线交于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．条件
【分析】（1）作，，垂足为、，由四边形内角和定理可知，已知，则，可证，由角平分线的性质，得，可证，得出结论；
（2）由（1）可知为等腰三角形，则，可证，由可知，，再利用相似比求解；
（3）作，垂足为，当时，，由得，又，，可求度数为，从而，在中，，则，分别解，即可求．
【解答】解：（1）作，，垂足为、
四边形中，，
，已知，
，即，
，
由角平分线的性质，得，
，即；
（2），
，
由（1）可知为等腰三角形，则，
又（公共角），
，
，
即，
（3）作，垂足为，
当时，，
由，得，
又，，
，则，
在中，，，
在中，，，
在中，，
．
2．等腰中，，于点，点是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转一定的角度，使得点落在了点处，且满足，连接
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为 ；模型
（2）如图2，若，求证：（写出证明过程）模型
（3）如图3．在（2）的条件下，连接并延长分别交、于点，，，，求的面积。条件
【分析】（1）连接，通过判定，利用全等三角形的性质可得出结论；
（2）连接，通过判定，利用相似三角形的性质可得出结论；
（3）先过点作于，连接，过作，根据已知条件推导出与的数量关系，在直角三角形中运用勾股定理求得的长，进而得到、、、的长，即可求的面积．
【解答】解：（1）连接，
当时，由，可得是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中
，
；
（2）连接，
当时，由，可得是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，且，
，，
，
，
即；
（3）过点作于，连接，
由（2）可得，
是等腰直角三角形，
，且，
又，
，
等腰直角三角形中，，
，
，
，
设，则，，
中，，
解得，（舍去），
，
，
，
由，，，可得，
，
中，，
，
的面积的面积，
课中讲解
一．模型类
点拨：此类题型模型主要包含一线三等角模型（K型）、手拉手模型、子母型、射影定理、A型、X型等等。
例1．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
例2．问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
求证：；
请直接写出线段，，之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
证明是等边三角形；
若，，求的长．
过关检测
1．如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
2．（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．
学习任务
1．已知，点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求与的比值；
（3）若，，射线交于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．
2．等腰中，，于点，点是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转一定的角度，使得点落在了点处，且满足，连接
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为 ；
（2）如图2，若，求证：（写出证明过程）
（3）如图3．在（2）的条件下，连接并延长分别交、于点，，，，求的面积。
2024成都中考数学二轮B26复习专题 模型类专项训练 （解析版）
目标层级图
说明：本节内容主要是120+的学生，在春季中考前用于解决B27直线几何综合题中的模型类图形问题，熟练回忆和关联相关模型，掌握对应题型的思维方法。
主要从以下三类入手进行讲解，涉及到思维的转换，知识的储备，对应解决。
旋转的手拉手模型，结合全等三角形与相似三角形的知识。
K型以及一线三等角的模型，同侧和异侧。
角平分线模型、子母型的识别与应用。
课中讲解
一．模型类
点拨：此类题型模型主要包含一线三等角模型（K型）、手拉手模型、子母型、射影定理、A型、X型等等。
例1．如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；模型
（2）当时（如图，求的长；条件
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．条件
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
例2．问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
求证：； 模型
请直接写出线段，，之间的等量关系式；模型
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
证明是等边三角形；
若，，求的长．条件
【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
，
，
在和中，
，
，
②解：结论：．
理由：如图中，作于．
，
，
在中，，
，，
，
．
拓展延伸：①证明：如图3中，作于，连接．
四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，
、关于对称，
，，
、、、四点共圆，
，
，
是等边三角形，
②解：，，
，，
在中，，
，
．
5．在平面直角坐标系中，已知点，点，点．绕着顺时针旋转，得△，点、旋转后的对应点为，，记旋转角为．
（Ⅰ）如图1，恰好经过点时，求此时旋转角的度数，并求出点的坐标；模型
（Ⅱ）如图2，若，设直线和直线交于点，求证：；模型
（Ⅲ）若，求（Ⅱ）中的点纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．最值
【分析】（Ⅰ）作辅助线，先根据点，点，确定，证明是等边三角形，得旋转角，证明是的直角三角形，可得的坐标；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得，，，即可得出，再根据，四边形的内角和为，即可得到，即；
（Ⅲ）作的中点，连接，依据点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，即可得到当轴时，点纵坐标的最小值为．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过作轴于，
，，，
，，
由旋转得：，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（Ⅱ）证明：如图2，，，，
，
，四边形的内角和为，
，
即；
（Ⅲ）点纵坐标的最小值为．理由是：
如图，作的中点，连接，
，
点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，除去点，．
当轴时，点纵坐标的最小值为．
过关检测
1．如图①，中，，于点，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；条件，模型
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．旋转
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，，然后根据，得到，，，最后用勾股定理即可；
②方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
方法2、取的中点，连接，，先证明，再证明是等边三角形即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
在和中，
，
，
，
（2）①如图，
在中，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
由旋转知，，，，
，
，，
，
，
，
过点作，
，，
在中，，
，
，
；
②方法1、如图1，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
，
由①有，和都为等腰三角形，
，
，
点，，，四点共圆，
，
设与交于点，
，
，
，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
由（1）知，，
．
即：．
方法2、如图③，取的中点，连接，，
由旋转知，，
，
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
2．（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且．与相似吗？请说明理由；模型
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；翻折
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比．翻折
【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1），
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（2）①设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
；
②设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
，
与的周长之比为．
学习任务
1．已知，点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：；角平分线模型
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求与的比值；
模型+条件
（3）若，，射线交于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．条件
【分析】（1）作，，垂足为、，由四边形内角和定理可知，已知，则，可证，由角平分线的性质，得，可证，得出结论；
（2）由（1）可知为等腰三角形，则，可证，由可知，，再利用相似比求解；
（3）作，垂足为，当时，，由得，又，，可求度数为，从而，在中，，则，分别解，即可求．
【解答】解：（1）作，，垂足为、
四边形中，，
，已知，
，即，
，
由角平分线的性质，得，
，即；
（2），
，
由（1）可知为等腰三角形，则，
又（公共角），
，
，
即，
（3）作，垂足为，
当时，，
由，得，
又，，
，则，
在中，，，
在中，，，
在中，，
．
2．等腰中，，于点，点是上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转一定的角度，使得点落在了点处，且满足，连接
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为 ；模型
（2）如图2，若，求证：（写出证明过程）模型
（3）如图3．在（2）的条件下，连接并延长分别交、于点，，，，求的面积。条件
【分析】（1）连接，通过判定，利用全等三角形的性质可得出结论；
（2）连接，通过判定，利用相似三角形的性质可得出结论；
（3）先过点作于，连接，过作，根据已知条件推导出与的数量关系，在直角三角形中运用勾股定理求得的长，进而得到、、、的长，即可求的面积．
【解答】解：（1）连接，
当时，由，可得是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中
，
；
（2）连接，
当时，由，可得是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，且，
，，
，
，
即；
（3）过点作于，连接，
由（2）可得，
是等腰直角三角形，
，且，
又，
，
等腰直角三角形中，，
，
，
，
设，则，，
中，，
解得，（舍去），
，
，
，
由，，，可得，
，
中，，
，
的面积的面积，
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