广东省佛山市南海区大沥镇初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁、考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后直接选取答案．
【详解】解：（-x2）•x3=-x2+3=-x5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加．熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下面每组数分别是三根小木棒的长度, 它们能摆成三角形的是（ ）
A. 5, 1, 3B. 2, 4, 2C. 3, 3, 7D. 2, 3, 4
【答案】D
【解析】
【详解】A、3+1＜5，不能构成三角形，故本选项错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故本选项错误；
C、3+3＜7，不能构成三角形，故本选项错误；
D、2+3＞4，能构成三角形，故本选项正确，
故选D．
3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】，
则，
故选：D．
4. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得出答案．
【详解】，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟知两直线平行同位角相等，对顶角相等是解题的关键．
5. 若，，则的值是（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，将变形为，代入数值计算即可，掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
6. 大伯出去散步，从家走了分钟，到一个离家米的阅报亭，看了分钟报纸后，用了分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，从总共用的时间，和停留10分钟采用排除法选择即可．
【详解】根据题意，总时间为分钟，所以排除A,B选项，根据题意看了10分钟报纸，所以停留了10分钟，离家里的距离有10分钟没有发生变化，所以排除C，A、B、C选项被排除，所以选D．
故选D．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，看懂函数图像是解题的关键．
7. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）

A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边高的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点．
故选：．
【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C. 两点之间的线段就是这两点间的距离D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质、两点间的距离、平行公理，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，不符合题意；
C、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故原说法错误，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是平行公理，说法正确，符合题意；
故选：D．
9. 已知是完全平方式，则的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
即
故选：D．
10. 如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．
详解】解：∵AB⊥AC．
∴∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB=90°
∴∠FBC+∠FCB=45°
∴∠BFC=135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG=∠ABC
∵∠ABC=2∠ABF
∴∠BAG=2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB=90°
∵∠BAG=∠ABC，
∴∠ABG=∠ACB 故③正确．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的综合性．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【解析】
【分析】先计算，，然后比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式为_____．
【答案】y＝3x﹣5
【解析】
【分析】根据运算程序，可得函数关系式．
【详解】解：由运算程序，得y＝3x﹣5，
故答案为：y＝3x﹣5．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用运算程序得出y与x的关系是解题关键.
13 如图，于点，经过点，，________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，以及平角等于．根据垂直的定义求出，然后根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
14. 若的余角是，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角之和为，计算的度数即可，掌握“余角之和为”是解题的关键．
【详解】解：∵的余角是，
∴，
故答案为：．
15. 已知中，，，过点A作的高，则____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查锐角三角形和钝角三角形高的画法，尤其注意钝角三角形在钝角的两条边用虚线作延长线，过顶点作垂直高线，根据已知三角形内角度数，结合正确画出三角形高是本题的解题关键．根据题意画出，分别讨论三角形为锐角和钝角三角形时的角，根据，可得答案．
【详解】解：∵中，，，
如图1，当是锐角三角形时，
；
如图2，当是钝角三角形时，
，
故答案为：或．
三、解答题（一）：本大题共5小题，每题5分，共25分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，按运算顺序正确计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据整式的混合运算进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：原式
；
把，代入得：原式．
18. 如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB∥FC，AB＝FC，BC＝DE．求证：AD＝FE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断，所以．
【详解】证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案是：见解析
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及线段的和差，难度不大较为容易，证出 是解题的关键．
19. 如图，已知、，利用直尺和圆规画，使的大小为．（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，根据尺规作图的方法先作，再以为角的一边作，则，即为所求，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
【详解】解：如图，即为所求，
．
20. 请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
已知：如图，，且，求证：．
解：∵，，
∴（ ）
∴，，
又∵（已知）
∴______＝______（ ）
∴（ ）
【答案】垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了垂线的定义、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
根据垂线的定义可得，得出，，结合已知，根据“等角的余角相等”，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴（垂直的定义），
∴，，
又∵（已知），
∴（等角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
四、解答题（二）：本大题共3小题，21，22每题8分，23题10分，共26分．
21. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题：
（1）图中的自变量是______，因变量是______．
（2）小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为_____．
（3）图中点表示____________．
（4）小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，_____．
【答案】（1）时间，距离
（2），
（3）小南出发后，离家的距离为
（4）
【解析】
【分析】本题考查了自变量与因变量的定义、从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据自变量与因变量的定义即可得出答案；
（2）由图象可得小南出发小时后爸爸驾车出发，根据平均速度路程时间即可得出答案；
（3）由图象即可得出答案；
（4）先求出小南的平均速度，再由图象并结合题意建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可得：图中的自变量是时间，因变量是距离；
【小问2详解】
解：由图可得：
小南出发小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为；
【小问3详解】
解：由图象可得：图中点表示小南出发后，离家距离为；
小问4详解】
解：由题意得：小南的平均速度为，
由图象可得：，
解得：，
故小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，．
22. 如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
（1）试说明；
（2）判断与的关系，并加以说明．
【答案】（1）见解析 （2），，说明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键．
（1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可；
（2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：，，说明如下，
∵由（1）得，
∴，
∵于点，于点，
∴．
23. 在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动．
（1）如图①，若直角三角尺的角的顶点G放在CD上，，求的度数；
（2）如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系；
（3）如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E放在AB上．若，，则与的数量关系是什么（用含，的式子表示）？请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）．理由见解析
【解析】
【详解】解：（1）因为，
所以．
因为，，
所以，解得．
（2）如图，过点F作．
因为，
所以，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（3）．理由如下：
因为，
所以，
即，
整理可得．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分．
24. 乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：______；方法2：______．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．______；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知（x-2016）2+（x-2018）2=34，求（x-2017）2的值．
【答案】(1) （a+b）2；a2+b2+2ab；(2)（a+b）2=a2+2ab+b2；(3)见解析;(4)①7；②16.
【解析】
【分析】（1）第一种方法：直接用正方形面积公式求解；第二种方法将其看做是一个两个正方形和两个长方形，分别求出面积再求和即可.
（2）依据（1）中的代数式，即可得到所求的关系；
（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可完成验证；
（4）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再将a2+b2=11，即可得到ab=7；②设x-2017=a，则x-2016=a+1，x-2018=a-1，依据（x-2016）2+（x-2018）2=34，即可得到∴（a+1）2+（a-1）2=34，然后化简得a2=16，即可完成解答.
【详解】解：（1）图2大正方形的面积=（a+b）2；图2大正方形的面积=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为（a+b）2=a2+2ab+b2；
（3）如图所示，
（4）①∵a+b=5，
∴（a+b）2=25，即a2+b2+2ab=25，
又∵a2+b2=11，
∴ab=7；
②设x-2017=a，则x-2016=a+1，x-2018=a-1，
∵（x-2016）2+（x-2018）2=34，
∴（a+1）2+（a-1）2=34，
∴a2+2a+1+a2-2a+1=34，
∴2a2+2=34，
∴2a2=32，
∴a2=16，
即（x-2017）2=16．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式推导，熟练掌握完全平方公式和已学知识以及整体思想的运用是解本题的关键.
25. 已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
（3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可；
（2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立；
（3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
【小问3详解】
当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，
同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．