2022-2023学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列生活现象中不是平移现象的是(    )

A. 站在运行的电梯上的人 B. 坐在直线行驶的列车上的乘客
C. 拉开抽屉 D. 时钟上分针的运动

4.  等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是(    )

A. 或 B.  C. 或 D.

5.  若不等式组的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  下列说法，错误的是(    )

A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B. “若，则”的逆命题是假命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于

9.  如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(    )

A. 点
B. 格点
C. 格点
D. 格点

10.  如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：；平分；；其中，正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.  若代数式的值不大于，则可列不等式为：______ ．

12.  已知点，将它向上平移个单位后得到点，则点的坐标是______ ．

13.  如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，，则的面积等于        ．

14.  已知关于，的方程组的解满足，则的取值范围是        ．

15.  如图所示，已知中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为，若是以为腰的等腰三角形，则运动时间        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

16.  解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

四、解答题（本大题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
小颖准备用元钱买笔和笔记本已知每支笔元，每个笔记本元，她买了个笔记本，则她最多还可以买多少支笔？

18.  本小题分
在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的；
将向右平移个单位，作出平移后的．

20.  本小题分
已知，如图，为等边三角形，，、相交于点．
求证：≌；
求的度数；
若于，，，求的长．

21.  本小题分
如图，点是中一点，于点，于点，连接，．
求证：平分；
若，，求的面积．

22.  本小题分
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．
求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？
该小区计划用不多于元的资金购买、两种型号的垃圾箱共个，且型号垃圾箱个数不多于型垃圾箱个数的倍，则该小区购买、两种型号垃圾箱的方案有哪些？

23.  本小题分
已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．
如图，求证：；
当 ______ 时，；直接写出结果
点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

解：如果，那么，根据等式性质得出，若小于等于不成立，故此选项错误；
B.如果，那么，根据等式性质得出，故此选项错误；
C.如果，那么，根据等式性质得出，故此选项正确；
D.如果，那么，根据等式性质得出，不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．故此选项错误；
故选：．
根据不等式的基本性质分别进行分析即可．
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

解：根据平移的性质，钟摆的运动过程中，方向不断的发生变化，不是平移运动．
故选：．
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻折．
 

4.【答案】 

解：分两种情况讨论：当的角为顶角时，底角为；
当角为底角时，另一底角也为，顶角为；
综上所述：等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是或；
故选：．
分两种情况讨论：当的角为顶角时；当角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
 

5.【答案】 

解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

解：把代入得，解得，
所以点坐标为，
当时，．
故选A．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图得到当时，的图象都在直线的上方，由此得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平移的基本性质，属于中档题．
根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到，
，，；
又，
四边形的周长．
故选：．  

8.【答案】 

解：、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，符合题意；
故选：．
根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答．
本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】
解：如图，

连接和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点的距离相等，因此格点就是所求的旋转中心；
故选B．  

10.【答案】 

解：和都是等腰直角三角形，
，
，
，
和不一定相等，
与不确定相等；
故错误，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
过点作于，于，如图，
≌，
，
平分，所以正确．
，
而，，
，
，所以正确；
故正确的结论为．
故选：．
由等腰直角三角形的性质得出，由和不一定相等，则可得出错误；先证明≌得到，则可对进行判断；过点作于，于，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断．利用三角形内角和证明，则可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明≌是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

11.【答案】 

解：代数式的值不大于，可列不等式为：．
故答案为：．
根据不大于用“”表示解答即可．
本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
 

12.【答案】 

解：将点它向上平移个单位后得到点，
将点它向下平移个单位后得到点，
，
，
即．
故答案为：．
根据纵坐标上移加求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
 

13.【答案】 

解：过点作于点，如图所示，
平分，，，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积，
故答案为：．
过点作于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，然后根据可以得到的长，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

解：，
得：，
即：；
，
，解得：；
故答案为：．
将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式及二元一次方程组的解，求参数的取值范围，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键．
 

15.【答案】或或 

解：，，，
，
，
如图，，

；
如图，，

，
；
如图，，

过点作于，则，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
综上所述，的值是或或．
故答案为：或或．
分情况讨论：，，画出图形分别求解即可．
本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并得，，
系数化得，；
不等式的解集在数轴上表示如下：
 

【解析】根据一元一次不等式的解法，将不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，解出不等式的值即可．
本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质．不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

17.【答案】解：设小颖买了支笔，
，
，
，
取，
小颖最多还可以买支笔． 

【解析】设小颖买了支笔，根据题意，列出不等式，解出即可．
本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是理解题意，找到关系式．
 

18.【答案】解：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂直平分，可得，再由，可求出的度数，再根据即可求解．
本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到线段垂直平分线的性质，正确进行角度的计算是关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据旋转的性质即可作关于点成中心对称的；
根据平移的性质即可将向右平移个单位，作出平移后的．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
 

20.【答案】解：证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
即；
，
，
，
，
，
≌，
． 

【解析】根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论；
利用中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得；
利用的结果求得，所以由“度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求，进而得出的长．
本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为的性质，本题中求证≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
于点，于点，
，
，，
，
，
于点，于点，
平分，
即是的平分线；
解：如图，连接交于，，，，
，
是等边三角形，
，
由可知平分，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
． 

【解析】根据等角对等边得，再由角平分线的性质的逆定理可得结论；
根据题意先证明是等边三角形，再根据角平分线性质，勾股定理求出，利用含角的直角三角形性质求出，再用三角形面积即可得出最后结果．
此题考查角平分线的定义，勾股定理，含角的直角三角形性质，三角形面积，关键是掌握角平分线的判定定理．
 

22.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元．
依题意，得：，
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：．
又为整数，可以为，，，
有种购买方案：方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；
方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱；
方案：购买个型垃圾箱，购买个型垃圾箱． 

【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型垃圾箱个，则购买型垃圾箱个，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”列出不等式组，求出的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
 

23.【答案】或 

【解析】证明：如图中，

由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，

为或时，，
当点在线段上，时，如图中，

≌，
，
，
，
，
，
．
当点在线段的延长线上，时，如图中，

，
，
，
，
，
，
，
为或时，．
故答案为：或．

点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由如下：≌，
，
则的周长，
当点在线段上时，的周长，
当点在线段的延长线上时，的周长，
的周长，
当在线段上，且最小时，的周长最小，
为等边三角形，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
证明≌，根据全等三角形的性质得到．
分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；
根据≌得到，根据垂线段最短解答．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．