湖南省永州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（学生版+教师版）

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这是一份湖南省永州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（学生版+教师版），文件包含湖南省永州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷教师版docx、湖南省永州市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页，欢迎下载使用。

1.全卷满分150分，时量120分钟.
2.考生务必将选择题和填空题的答案填入答卷相应的答题栏内.
一、单项选择题:（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知为虚数单位，复数，则等于（）
A. B. C. D.
2. 若，且，则与夹角是（）
A. B. C. D.
3. 某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（）
A 21B. 19C. 16D. 18
4. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A. 20B. 26C. 17D. 03
5. 已知O为的外心，，则（）
A. 8B. 10C. 12D. 1
6. 在空间四边形ABCD中，分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学专著《九章算术》中介绍“堑堵”为：底面为直角三角形的直棱柱，如下图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面都为直角三角形的四面体），已知鳖臑体积为6，AB=3，AF=4，则阳马中AC与DF夹角的余弦值是（）
A. B. C. D.
8. 在中，，，，与方向相同的单位向量为，则向量在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题:（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. ，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
10. 设是复数，则下列命题中是真命题有（）
A. 若，则;B. 若，则；
C. 若，则;D. 若，则;
11. 如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）
A. 存在点，使面
B. 二面角的平面角大小为
C. 的最小值是
D. 到平面的距离最大值是
三、填空题:（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了100名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间（单位:h）在内的频率分布直方图，则锻炼时间在内的学生有___________人.
13. 一个圆锥的轴截面面积是其侧面面积的，则这个圆锥底面的半径与这个圆锥的高之比为__________（其中）.
14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________.
四、解答题:（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在长方体中，，
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
16. 如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．
（1）求三棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求；
（2）若，，求的面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝＝2，E为PB中点，F是PC上的点.
（1）若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；
（2）求点C到平面PBD的距离.
19. 已知在直三棱柱中，，
（1）为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请求出CN与的比值;若不存在，说明理由；
（2）将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如下图所示两种方案沿阴影面进行切割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料.根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并说明理由.