云南省昆明市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（学生版+教师版）

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1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，即，
又由，所以.
故选：B.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案．
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
3. 在中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.
【详解】如下图所示：
易知；
即可得.
故选：C
4. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误．
故选：A
5. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，由面面平行的判定定理得；对于B，由线面平行的性质得；对于C，与相交或平行；对于D，与相交、平行或异面．
【详解】m，n是两条直线，，是两个平面，
对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误；
对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；
对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：B.
6. 对于任意的平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，且，则
C.
D. 在上的投影向量为
【答案】D
【解析】
【分析】选项A，时，不共线时，，得不出；
选项B，根据条件得出，不能得出；
选项C，根据数量积的定义判断即可；
选项D，根据投影向量的定义，判断即可．
【详解】对于A，时，不共线时，满足，不能得出，选项A错误；
对于B，因为，所以，且，
所以，不能得出，选项B错误；
对于C，根据向量数量积的定义知，与不一定相等，与不一定共线，所以不成立，选项C错误；
对于D，在上的投影向量为，选项D正确．
故选：D.
7. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.
【详解】连接，，如图，可知.

由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B.
8. 若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ）
A. 圆锥的母线长为1B. 圆锥的底面半径为2
C. 圆锥的体积为D. 圆锥的侧面积为
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，
由侧面展开图为一个半圆，则，所以，
圆锥的表面积为，则，，
圆锥的高，
圆锥的体积为，
圆锥的侧面积为，
故选：C
9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A. 对应的点位于第二象限B. 为纯虚数
C. 的模长等于D. 的共轭复数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，
在复平面内对应的点为位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，
所以，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：ABC.
10. 在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，底面是正方形，则（ ）
A. B. 与平面所成的角为
C. D. 平面
【答案】AB
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，运用向量法逐个分析即可.
【详解】
易知正四棱柱是长方体，故以为原点建立空间直角坐标系，
连接，设，，，与平面所成的角为，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化简得，结合底面是正方形，可得，故，，即，故A正确，
易知面法向量，，设与平面所成的角为，故，化简得，故，故B正确，
易知，，故，即不垂直，故C错误，
易知，，故，，，，，设面的法向量，故，，解得，，，即，则与不平行，故与面不垂直，故D错误，
故选：AB
11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切圆半径，从而求的面积.
【详解】解：对于A选项，因为，
所以由正弦定理，得,即 ，
因为，所以，且，所以，A选项正确；
对于B选项，由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,
故 ,解得，所以选项B错误；
对于C选项，由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，
所以 ，即，解得，
所以，故选项C正确；
对于D选项，因为，所以，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，
因为，所以，即，
又因为，
所以，， ，，即是直角三角形，
所以内切圆的半径满足，即，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.
②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;
若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得.
二、填空题
12. 平面向量的夹角为，若，，则______
【答案】
【解析】
【分析】先计算的值，由此得出的值.
【详解】由于，故.
【点睛】本小题主要考查向量的模的运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.
13. 棱长为的正四面体的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R，即可求出球的面积.
【详解】正四面体的棱长为：，
底面三角形的高：，
棱锥的高为：，
设外接球半径为R，
，解得，
所以外接球的表面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径．
14. 类比是研究数学问题的重要方法之一.数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设的两边，则.”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：，作连，则， ，再化简即得结论．
【详解】将线的关系类比到面的关系，猜测：
因为三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，
所以三条侧棱，，两两垂直，
作连，则，
故答案为：.
三、解答题
15. 已知一个平面内的三个向量，，，其中
（1）若向量为单位向量，且与共线，求向量坐标；
（2）若，且与垂直，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，结合题意建立方程求解即可；
（2）由与垂直计算可求得，再由夹角的计算公式计算即可．
【小问1详解】
设，因为，且向量为单位向量，且与共线，
所以，解得或，
所以向量的坐标为或；
【小问2详解】
设向量与的夹角为，
因为与垂直，所以，
即，
因为，，所以，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为
16. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数的一个零点为，且，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期求出，再由题意可得函数为奇函数，可得的值，可得函数的解析式；
（2）由题意可得，即可求出，再由及两角差的余弦公式计算可得．
【小问1详解】
由题意可得，可得，又，
而，可得，
此时，
由题意可得，
要使函数为奇函数，则，，
即，，而，
所以，
所以；
【小问2详解】
由题意令，
可得，即，
因为，
所以，所以，
所以
17. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小，
（2）若的角平分线交边于点，且，求边.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和公式的逆用可求得，结合其范围可得；
（2）在中利用正弦定理以及可求得，可知是等腰三角形，所以可求出.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
因为，所以，可得.
又，故.
【小问2详解】
如下图所示：

在中，，
所以，
结合，所以，
所以，
可得，
所以是等腰三角形，且，
所以.
18. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求

（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积；
（3）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；
（2）根据题意，结合分割补形法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解；
（3）根据题意，结合四棱锥的体积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：在正方体中，因为棱长为，可得，
所以截去的三棱锥的表面积为：
【小问2详解】
解：在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，
又因为平面，即为三棱锥的高，
可得，
所以几何体的体积为.
【小问3详解】
解：在正方体中，因为四边形为正方形，可得，
又因为平面且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
又因为矩形的体积为，
所以四棱锥的体积为.
19. 在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；
（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.
【解析】
【详解】
【分析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.
（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.
（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．
详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
,为中点
AE//BC，且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点
又F为AD中点
，
，
//平面
（Ⅱ）由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形可得//
为即
，
侧面底面侧面底面平面
，
，
.
（Ⅲ）取中点，连，
，，
平面，
的平面角，
又，
，
所以二面角的余弦值为．
点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．