2021-2022学年湖南省永州市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省永州市某校高一（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量OM→=−1,2，则点M对应的复数为（ ）
A.1+2iB.−1+2iC.2−iD.2+i

2. 下列向量关系式中，正确的是（ ）
A.MN→=NM→B.AB→+AC→=BC→
C.AB→−AC→=BC→D.MN→+NP→+PQ→=MQ→

3. 已知i为虚数单位，复数z满足1−2iz=3+2i，则z=（ ）
A.−15+85iB.75+85iC.15+85iD.−15+i

4. 设sin25∘=a，则cs115∘tan205∘=（ ）
A.a21−a2B.−a21−a2C.aD.11−a2

5. 在△ABC中，已知AB=2，BC=3，CA=4．则AB→⋅BC→=（ ）
A.−112B.−32C.32D.112

6. 函数fx=x+1−lg12x的零点所在的区间为（ ）
A.0,14B.14,13C.13,12D.12,1

7. 已知函数fx=2sinωx−π6ω>0，若∀x∈R，fx≤fπ3，则ω的最小值为（ ）
A.2B.4C.6D.8

8. 如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO，ON上分别设置两个出口A，B，若AB部分为直线段．且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）

A.202−1千米B.402−1千米C.202+1千米D.402+1千米
二、多选题

已知i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=−4+3i，z3=1+i3．则（ ）
A.|z1|=|z2|B.z1与z2互为共轭复数
C.z1+z2+z3为纯虚数D.z−z2z3=8−8i

下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A.0≤m<4B.0
已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（ ）
A.OA→+OB→=2OD→
B.若△ABC为正三角形，则OA→⋅OB→+OB→⋅OC→+OC→⋅OA→=0→
C.若AO→⋅AB→−AC→=0→，则OA⊥BC
D.OD→+OE→+OF→=0→

已知x>0，y>0，且x+y2=4，则（ ）
A.x⋅y的最大值为2B.14x+1y2的最小值为916
C.x+4y的最大值为8D.x2+y4的最小值为8
三、填空题

第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌．在冬奥会的比赛中有一位滑雪运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于________度（不考虑符号）.

已知平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=3，且a→+b→⊥b→，则向量a→与b→的夹角为________.

函数y=cs2x+sinx+1x∈0,π3的值域为________.

已知正方形ABCD的边长为2点M满足AM→=12AB→+AD→，则
(1)|MB→|=________；

(2)若E为正方形内一点（包括边界），则DE→⋅AM→的最大值为________.
四、解答题

已知i为虚数单位，复数z1=1−2i，z2=a+bia,b∈R对应的复平面上的点分别为M，N，若M，N关于实轴对称．
(1)求a，b的值；

(2)若角α的终边经过点N，求sin2α−π3的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m→=7,1，n→=csC,1，p→=b,2csB，且m→⋅n→=0.
(1)求sinC的值；

(2)若c=8，m→//p→，求B的大小．

设向量OA→=−2,3，OB→=2,1，OC→=x,5.
(1)当x=1时，以OA→，OB→为基底表示OC→；

(2)若OB→，OC→的夹角为锐角，求实数x的取值范围．

已知函数fx=2sin2x−π3，将y=fx图象上的所有点向左平移π12个单位长度，得到函数y=gx的图象．
(1)求函数y=gx的单调递增区间；

(2)设直线x=tt∈R与y=fx和y=gx的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．

已知函数f(x)=3x−(m−1)⋅3−x是定义域为R的奇函数．
(1)若集合A=x|fx≥0，B=x|x−mx+m<0，求A∩B；

(2)设gx=32x−3−2x−2afx，且gx在[1,+∞) 上的最小值为−7．求实数a的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+3asinC=b+c.
(1)求A的值；

(2)若a+1=c，b>2．当△ABC的周长最小时，求b的值；

(3)若BD→=3DA→，csB=1114，且△ABC的面积为203．求CD的长度．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省永州市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
2.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
3.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由z(1−2i)=3+2i，得z=3+2i1−2i=(3+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+85i，
故选A.
4.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为cs115∘=cs90∘+25∘=−sin25∘，
tan205∘=tan180∘+25∘=tan25∘=sin25∘cs25∘=sin25∘1−sin225∘，
所以cs115∘tan205∘=−a21−a2．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理，可得csB=22+32−422×2×3=−14，
所以AB→⋅BC→=|AB→|×|BC→|csπ−B=2×3×14=32．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f14=14+1−lg1214=−34，
f13=13+1−lg1213=43−lg1213=lg2243−lg23=lg2 162713＜0，
f12=12+1−lg1212=12．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的定义域和值域
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由∀x∈R，fx≤fπ3，可知fπ3=2，所以ωπ3−π6=π2+2kπk∈Z，
即ω=2+6kk∈Z，又ω>0，所以ωmin=2．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
函数模型的选择与应用
余弦定理
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，∠AOB=135∘，
设AO=a，BO=b，
则AB2=a2+b2−2abcs135∘=a2+b2+2ab≥2+2ab，
当且仅当a=b时取等号，
设∠BAO=α，则∠ABO=45∘−α，
又O到AB的距离为20千米，所以a=20sinα，b=20sin45∘−α，
故ab=400sinαsin(45∘−α)=16002sin(2α+45∘)−2≥16002−2(α=22.5∘时取等号），
所以AB2≥16002+22−2=16002+12，
得AB≥402+1．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为|z1|=32+42=5，|z2|=−42+32=5，所以A正确；
因为z=a+bi的共轭复数为z=a−bi，所以B不正确；
因为z1+z2+z3=3+4i−4+3i+1−i=6i，所以C正确；
因为z1−z2=7+i，z3=1−i，所以z1−z2z3=7+i1−i=8−6i，所以D不故选；
故选AC．
【答案】
B,C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，
则−m>0,(−m)2−4m<0或m=0，解得0≤m<4，
所以A为充要条件，D为必要不充分条件，BC为充分不必要条件．
故选BC．
【答案】
A,C,D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，因为D为△OAB中AB的中点，所以A正确；
对于B，因为△ABC为正三角形，所以OA→⋅OB→=|OA→|2cs120∘=−12|OA|2，
所以OA→⋅OB→+OB→⋅OC→+OC→⋅OA→=−32|OA|→2，所以B不正确；
对于C，因为AO→⋅AB→−AC→=AO→⋅CB→=0→，所以OA⊥BC，所以C正确；
对于D，因为O为△ABC的重心，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，所以O也是△DEF的重心，所以D正确．
故选ACD．
【答案】
A,B,D
【考点】
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由4=x+y2≥2xy，所以xy≤2，所以A正确；
因为14x+1y2=1414x+1y2x+y2=1454+y24x+xy2≥1454+1=916，所以B正确；
因为x+4y=4−y2+4y=8−y−22，且0因为x2+y42≥x+y22=2，所以x2+y4≥8，所以D正确．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
1800
【考点】
任意角的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：“空中翻腾五周”等于5×360∘=1800∘，
故答案为：1800.
【答案】
150∘
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题得a→+b→⋅b→=0，即a→⋅b→+b→2=0
因为|a→|=2，|b→|=3，所以a→⋅b→=−3，
所以cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a|×|b|=−323=−32，
所以向量a→与b→的夹角为150∘.
故答案为：150∘.
【答案】
2,94
【考点】
同角三角函数间的基本关系
三角函数的定义域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为y=−sin2x+sinx+2=−(sinx−12)2+94，
又x∈0,π3，所以0≤sinx≤32，所以2≤y≤94，
故答案为：2,94.
【答案】
2
2
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为AM→=12AB→+AD→，所以M为AC的中点，
所以|MB|→=2.
(2)以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，设Ex,y，
则0≤x≤2，0≤y≤2，又D0,2，所以AM→=1,1，DE→=x,y−2，
所以DE→⋅AM→=x+y−2≤2(x=y=2时取等号），所以DE→⋅AM→的最大值为2.
四、解答题
【答案】
解：(1)由已知，有M1,−2，Na,b，
又M，N关于实轴对称，所以a=1，b=2；
(2)因为点N的坐标为1,2，所以sinα=255，csα=55，
从而sin2α=45，cs2α=−35 ，
所以sin2α−π3=12sin2α−32cs2α=4+3310 .
【考点】
复数的基本概念
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知，有M1,−2，Na,b，
又M，N关于实轴对称，所以a=1，b=2；
(2)因为点N的坐标为1,2，所以sinα=255，csα=55，
从而sin2α=45，cs2α=−35 ，
所以sin2α−π3=12sin2α−32cs2α=4+3310 .
【答案】
解：(1)因为m→=7,1，n→=csC,1，且m→⋅n→=0，
所以7csC+1=0，即csC=−17，
因为0(2)因为m→//p→，
所以7b=12csB，即b=14csB．
在△ABC中，由正弦定理，得b=csinBsinC，又c=8，sinC=437，
所以b=1433sinB．
所以1433sinB=14csB，即tanB=3，
因为0【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
数量积判断两个平面向量的垂直关系
同角三角函数间的基本关系
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为m→=7,1，n→=csC,1，且m→⋅n→=0，
所以7csC+1=0，即csC=−17，
因为0(2)因为m→//p→，
所以7b=12csB，即b=14csB．
在△ABC中，由正弦定理，得b=csinBsinC，又c=8，sinC=437，
所以b=1433sinB．
所以1433sinB=14csB，即tanB=3，
因为0【答案】
解：(1)当x=1时，OC→=1,5，设OC→=λOA→+μOB→，
则1,5=λ−2,3+μ2,1，所以−2λ+2μ=13λ+μ=5,解得 λ=98μ=138
所以OC→=98OA→+138OB→；
(2)因为OB→，OC→的夹角为锐角，所以OB→⋅OC→>0，且OB→,OC→不同向，
又OB→=2,1,OC→=x,5，所以OB→⋅OC→=2x+5，
故2x+5>0，且x2≠51，所以实数x的取值范围为x>−52且x≠10.
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量的坐标运算
平面向量坐标表示的应用
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当x=1时，OC→=1,5，设OC→=λOA→+μOB→，
则1,5=λ−2,3+μ2,1，所以−2λ+2μ=13λ+μ=5,解得 λ=98μ=138
所以OC→=98OA→+138OB→；
(2)因为OB→，OC→的夹角为锐角，所以OB→⋅OC→>0，且OB→,OC→不同向，
又OB→=2,1,OC→=x,5，所以OB→⋅OC→=2x+5，
故2x+5>0，且x2≠51，所以实数x的取值范围为x>−52且x≠10.
【答案】
解：(1)因为fx=2sin2x−π3，
所以gx=2sin2x+π12−π3=2sin2x−π6 ，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z，
所以gx的增区间为kπ−π6,kπ+π3k∈Z；
(2)因为fx=2sin2x−π3，所以gx=2sin2x−π6，
所以|MN|=|ft−gt|=|2sin2t−π3−2sin2t−π6| =3−1|sin2t+cs2t|=6−2|sin2t+π4|，因为t∈R，
所以|MN|的最大值为6−2.
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=2sin2x−π3，
所以gx=2sin2x+π12−π3=2sin2x−π6 ，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，得kπ−π6≤x≤kπ+π3k∈Z，
所以gx的增区间为kπ−π6,kπ+π3k∈Z；
(2)因为fx=2sin2x−π3，所以gx=2sin2x−π6，
所以|MN|=|ft−gt|=|2sin2t−π3−2sin2t−π6| =3−1|sin2t+cs2t|=6−2|sin2t+π4|，因为t∈R，
所以|MN|的最大值为6−2.
【答案】
解：(1)因为fx是定义域为R的奇函数，所以f0=0，可得m=2，
当m=2时，fx=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x，f−x=−fx，
所以fx=3x−3−x为奇函数，所以m=2；
由fx≥0，得3x−13x≥0，即32x−13x≥0，因为3x>0，所以32x−1≥0,
所以x≥0，即A=x|x≥0；
由x−mx+m<0，且m=2，得x−2x+2<0，即−2所以B=x|−2所以A∩B=x|0≤x<2 ；
(2)因为gx=32x+3−2x−2a3x−3−x=3x−3−x2−2a3x−3−x+2 ，
令t=3x−3−x，因为x≥1，所以t≥83，
所以gx=φt=t2−2at+2=t−a2+2−a2t≥83，
当a≥83时，φt在83,a上为减函数，在[a,+∞）上为增函数，
所以φtmin=φa=2−a2，即gxmin=2−a2，所以2−a2=−7，
解得a=3，或a=−3（舍去）；
当a<83时，φt在[83,+∞）上为增函数，所以φtmin=φ83=829−16a3,
即gxmin=829−16a3，所以829−16a3=−7，解得a=14548>83（舍去），
所以a=3 .
【考点】
交集及其运算
函数奇偶性的性质
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx是定义域为R的奇函数，所以f0=0，可得m=2，
当m=2时，fx=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x，f−x=−fx，
所以fx=3x−3−x为奇函数，所以m=2；
由fx≥0，得3x−13x≥0，即32x−13x≥0，因为3x>0，所以32x−1≥0,
所以x≥0，即A=x|x≥0；
由x−mx+m<0，且m=2，得x−2x+2<0，即−2所以B=x|−2所以A∩B=x|0≤x<2 ；
(2)因为gx=32x+3−2x−2a3x−3−x=3x−3−x2−2a3x−3−x+2 ，
令t=3x−3−x，因为x≥1，所以t≥83，
所以gx=φt=t2−2at+2=t−a2+2−a2t≥83，
当a≥83时，φt在83,a上为减函数，在[a,+∞）上为增函数，
所以φtmin=φa=2−a2，即gxmin=2−a2，所以2−a2=−7，
解得a=3，或a=−3（舍去）；
当a<83时，φt在[83,+∞）上为增函数，所以φtmin=φ83=829−16a3,
即gxmin=829−16a3，所以829−16a3=−7，解得a=14548>83（舍去），
所以a=3 .
【答案】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由余弦定理，得a2=b2+c2−bc，
将c=a+1代入，整理，得a=b2−b+1b−2，
因为b>2，所以△ABC的周长为
l=a+b+c=2b2−2b+2b−2+b+1=3b−2+6b−2+9≥62+9，
当且仅当3b−2=6b−2，即b=2+2时取等号，
所以当△ABC的周长最小时，b=2+2；
(3)由△ABC的面积为203，得12bcsinA=203，
所以bc=80 ①，
又csB=1114，所以sinB=5314,sinC=sinA+B=437，
由正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:8．
由①②可得a=72,b=52,c=82，
因为BD→=3DA→，所以AD=c4=22，
在△ACD中，由余弦定理，得CD2=522+222−2×52×22csπ3=38，
所以CD=38 ．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
基本不等式
三角形的面积公式
【解析】
(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，整理可求A．

【解答】
解：(1)∵ acsC+3asinC−b−c=0，
∴ sinAcsC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又∵ sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，
∴ sinAcsC+3sinAsinC
=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∵ sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
∴ sin(A−π6)=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A−π6∈(−π6,5π6)，
∴ A−π6=π6，
∴ A=π3.
(2)由余弦定理，得a2=b2+c2−bc，
将c=a+1代入，整理，得a=b2−b+1b−2，
因为b>2，所以△ABC的周长为
l=a+b+c=2b2−2b+2b−2+b+1=3b−2+6b−2+9≥62+9，
当且仅当3b−2=6b−2，即b=2+2时取等号，
所以当△ABC的周长最小时，b=2+2；
(3)由△ABC的面积为203，得12bcsinA=203，
所以bc=80 ①，
又csB=1114，所以sinB=5314,sinC=sinA+B=437，
由正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:8．
由①②可得a=72,b=52,c=82，
因为BD→=3DA→，所以AD=c4=22，
在△ACD中，由余弦定理，得CD2=522+222−2×52×22csπ3=38，
所以CD=38 ．