永州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份永州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．是复数(a,)为纯虚数的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知集合,,则C中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3．已知在上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对于任意,存在,使得,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．的展开式中x的系数是( )
A.8B.-8C.32D.-32
6．人工智能领域让贝叶斯公式:站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”,则该视频是“AI”合成的可能性为( )
A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%
7．已知,,则( )
A.B.C.D.
8．设正实数x,y,z满足,则当取最大值时,的最大值为( )
A.0B.3C.-1D.1
二、多项选择题
9．已知实数a,b满足,,则( )
A.B.C.D.
10．已知函数,则下列说法中正确的是( )
A.的最小值为1B.,
C.D.
11．已知函数,e是自然对数的底数，则( )
A.
B.若，则
C.的最大值为
D.“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
12．若函数在区间上有最大值,则实数a的取值范围是__________.
13．春暖花开季节,小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青,现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山,假设每人随机选择一处景点,在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.
四、双空题
14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足（c，k为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则k的值为______；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______.（参考公式：决定系数）
五、解答题
15．为了研究某种疾病的治愈率,某医院从过往病例中随机抽取了100名患者,其中一部分患者采用了外科疗法,另一部分患者采用了化学疗法,并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图,如图.
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表：
（2）依据小概率值的独立性检验,分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关.
附：
16．投掷一枚均匀的骰子,每次掷得的点数为5或6时得2分,掷得的点数为1,2,3,4时得1分,独立地重复掷一枚骰子,将每次得分相加的结果作为最终得分.
（1）设投掷2次骰子,最终得分为X,求随机变量X的分布列与期望;
（2）记n次抛掷得分恰为分的概率为,求的前n项和;
（3）投掷骰子100次,记得分恰为n分的概率为,当b,取最大值时,求n的值.
17．如图,在四棱锥中,,,E为的中点.
（1）证明：直线平面;
（2）若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆过点,离心率为.不过原点的直线交椭圆C于A,B两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,且.
（1）证明：直线l的斜率k为定值;
（2）求面积的最大值.
19．已知曲线在点处的切线为l.
(1)求直线l的方程；
(2)证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
(3)设，，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：当复数为纯虚数时且.所以是复数为纯虚数的必要不充分条件,故选B.
2．答案：C
解析：当,时,;
当,时,;
当, 时,;
当 时,.
由集合中元素的互异性知,集合C中有3个元素,
故选：C.
3．答案：B
解析：令,由题意可得,在上,,且函数t为增函数,
故有,且,求得,所以B选项是正确的.
4．答案：B
解析：当时,,
因为是定义在上的奇函数,
所以,当 时,,记,
,对称轴为,函数 在 上单调递减,在上单调递增,
所以,,
即当时,,记,
对于任意,存在,使得等价于,
所以 ,解得.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题意得, 其展开式为,
则对于的展开式为 ,,
令,则当,时符合题意, 此时系数为,故C正确.
故选：C.
6．答案：C
解析：记“视频是AI合成”为事件,记“鉴定结果为AI”为事件B,
则,,,,
由贝叶斯公式得:
,故选C.
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：AC
解析：
10．答案：ACD
解析：,当且仅当时,取得最小值1,故选项A正确.
因为当且仅当时,取得最小值,且最小值为1,所以,所以,故选项B错误.
因为,所以,又,且在上单调递减,在上单调递增,所以,故选项C正确.
因为,所以,故选项D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：，
当 时, ，单调递增,
当 时, ，单调递减,
，，
，
故A正确；
若, 则, 即
由 可知, , 故B 错误;
由以上证明可知, 当 时, 函数取得最大值, 故C 正确；
不等式
,
当 时, , 若不等式存在整数解，
则, 得,
当 时, 时, 必有,
所以不存在整数解, 故不成立, 故 D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：令,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,作出函数的大致图象,
由于函数在区间上有最大值,
结合图象,由题意可得
解得,
所以实数a的取值范围是,
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意, 至少有两人去南湖的概率为,
至少两人去南湖且有人去净月的概率为,
在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为.
14．答案：；
解析：因为，两边取对数可得，
又，，
依题意回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，所以，
又.
故答案为：；.
15．答案：（1）见解析
（2）犯错误的概率不大于0.05
解析：（1）
（2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关,则根据列联表中的数据计算,所以依据小概率值的独立性检验,认为此种疾病治愈与治疗方法有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.
16．答案：（1）
（2）
（3）133
解析：（1）X的可能取值为2,3,4,
,,
X的分布列为
数学期望.
（2）因为n次抛掷得分恰为分,则只有1次抛掷得2分,
于是,
则,
于是,
两式相减,得
,
所以.
（3）设得1分的次数为x,则得2分的次数为,
因此抛掷100次所得总分为,
此时,
假定取最大值,必有,于是,
即整理得
解得,而,则,则,
所以当取最大值时,.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图1,取的中点M,连接,,
图1
因为,所以.
因为,,
所以,,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
因为为的中点,为的中点,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
又因为,,
所以平面平面.
而平面,故平面.
（2）连接交于点O,连接,
由对称性知,O为中点,且.
如图2,以O为坐标原点,为x轴正方向,为y轴正方向,过点O作平面的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
图2
则,,,.
因为平面平面,设,
则,,
解得,,即.
设平面的一个法向量为,
因为,,
则
令,得,,故,
设直线与平面所成角为,
由于,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意椭圆的标准方程为.
设直线l方程为,,,
由得,
,,
,解得.
（2）由（2）得,,,
,,,,
的面积,,
,
令,解得,即在上单调递增,
令,解得或,即在和上单调递减,
所以当时,取到最大值,的面积.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
解析：（1）因为，
所以，，，
所以直线l的方程为：，即
（2）令，则，
令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线C在直线l的下方.
（3）由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
当时，.
因为，，则，不妨令，.
因为曲线C在点的切线方程为，
设点在切线上，有，故，
由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立.
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
外科疗法
化学疗法
18
合计
100
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
外科疗法
20
20
40
化学疗法
42
18
60
合计
62
38
100
X
2
3
4
P