2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知向量AB→=7,6,BC→=−3,m,AD→=−1,2m，若A，C，D三点共线，则实数m=（ ）
A.32B.23C.−32D.−23

2. 复数z满足|z+1+i|=|z|，若z在复平面内对应的点为x,y，则（ ）
A.x−y+1=0B.x−y−1=0C.x+y+1=0D.x+y−1=0

3. 已知单位向量OA→，OB→，满足OA→⋅OB→=0．若点C在∠AOB内，且∠AOC=60∘，OC→=mOA→+nOB→(m, n∈R)，则下列式子一定成立的是( )
A.m+n=1B.mn=1C.m2+n2=1D.mn=33

4. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1+z1z2的虚部为( )

A.1B.3C.−1D.2

5. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsA=bcsB ，a2+b2−ab=c2，a=2，则△ABC的面积为（ ）
A.32B.1C.3D.2

6. 已知a→，b→是单位向量，a→⋅b→=0，若向量c→满足|c→−b→−a→|=1，则|c→|的取值范围为( )
A.[2−1,2+1]B.[2−1,2+2]C.[1,2+1]D.[1,2+2]

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

8. 如图，在Rt△ABC中， ∠A=90∘,AC=1,AB=2，点P在以B为圆心，以1为半径的圆上，则PA→⋅PC→的最大值为（ ）

A.517+117B.5+17C.165D.565
二、多选题

下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ）
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.棱柱的侧面都是平行四边形
C.直平行六面体是长方体
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥

下列关于平面向量的说法中不正确的是( )
A.a→=−1,1，b→=2,λ，若λ<2，则a→与b→的夹角为钝角
B.若平面上四个点P，A，B，C满足PA→=3PB→−2PC→，则A，B，C三点共线
C.向量e1→=2,−3，e2→=12,−34不能作为平面内所有向量的一组基底
D.若a→⋅c→=b→⋅c→且c→≠0→，则a→=b→

设z1，z2为复数，z1≠z2且z1≠0，下列命题中正确的是（ ）
A.若|z1|=|z2|，则z1=z2
B.若z1z2=i，则z1的实部与z2的虚部互为相反数
C.若z1z2=|z1|2，则z2=z1
D.若z1z2∈R，则z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限

已知D，E分别是△ABC的边BC，AB的中点，且AD，CE交于点O，则下列结论一定成立的是（ ）
A.|OA→|=|OB→|=|OC→|B.OA→+OB→+OC→=0→
C.CO→=13CA→+23CD→D.BO→=13BA→+23BD→
三、填空题

用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图为△O′A′B′（如图），且O′A′=O′B′=1，则原三角形的面积为________.


已知z=1−i1+i（i是虚数单位）是方程x2−ax+1=0a∈R 的一个根，|z−a|=_________.

已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1=AC=2，AB⊥BC，则此球的体积为________.

已知圆O的半径为1，圆心为(2, 3)，P为x轴上的动点，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则PA→⋅PB→的最小值为________．
四、解答题

已知平行四边形ABCD，顶点A1,1,B4,3,C1,−1.
(1)求D点的坐标；

(2)若AB→=a→,AC→=b→，且λa→+b→与a→−2b→垂直，求实数λ的值．

已知复数z=bib∈R，z+31−i是实数．
(1)求复数z；

(2)若复数m−z2−8m在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围．

已知 |a→|=4，|b→|=3 ，(2a→−3b→)⋅(2a→+b→)=61.
(1)求a→⋅b→的值；

(2)求a→与 b→ 的夹角θ；

(2)求 |a→+b→| .

已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，b−22c=acsC，AB→⋅AC→=4.
(1)求4；

(2)求△ABC的面积．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=3，且a−sinCcsB=sinBcsC
(1)求角B的大小；

(2)求△ABC周长的取值范围．

在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulln，于1996年列入世界文化遗产名景（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（如图2），C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）．

(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3.14，结果精确到个位）；

(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度（结果可以保留根号）.
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省永州市某校部高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的共线定理
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】AC→=AB→+BC→=4,m+6，因为A，C，D三点共线，所以AC→与AD→共线，所以4×2m=−m+6，解得m=−23 ．故选：D．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】设z=x+y，
∵ |z+1+i|=|z|，∴ x+12+y+12=x2+y2，即x+y+1=0．故选：C．
3.
【答案】
D
【考点】
单位向量
向量的几何表示
【解析】
根据题意得OA→⋅OB→=0．因此建立如图所示直角坐标系，可得A、B、C点的坐标，再利用正切的定义结合∠AOC＝
60∘建立关于m、n的等式，即可解出mn的值．
【解答】
解：∵ OA→⋅OB→=0．可得OA→⊥OB→
∴ 建立直角坐标系，如图所示，
则OA→=(1, 0)，OB→=(0, 1)，
∴ OC→=mOA→+nOB→=(m, n)，
∵ tan60∘=nm=3，
解得n=3m，
所以mn=33．
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．
【解答】
解：由图知，z1=1+2i，z2=2−i，
则z1+z1z2=1+2i+1+2i2−i=1+3i，
所以复数z1+z1z2的虚部为3．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a2+b2−ab=c2，又c2=a2+b2−2abcsC，所以csC=12,
因为C∈0,π，所以C=π3，所以sinC=1−cs2C=32，
因为acsA=bcsB，
所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A=π−2B，
即A=B或A+B=π2 （舍去），所以A=B，因为a=2，所以b=a=2，
所以S△ABC=12absinC=12×2×2×32=3；故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量数量积
【解析】
令OA→=a→,OB→=b→，OD→=a→+b→，OC→=c→，作出图象，根据图象可求出|c→|的最大值、最小值．
【解答】
解：令OA→=a→,OB→=b→，OD→=a→+b→，OC→=c→，
如图所示：
则|OD→|=2，
又|c→−b→−a→|=1，
所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，
易知点C与O、D共线时|OC→|达到最值，最大值为2+1，最小值为2−1，
所以|c→|的取值范围为[2−1, 2+1]．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，则14×2×3r=8，
解得r=163，
故米堆的体积为14×13×3×(163)2×5=3209，
∵ 1斛米的体积约为1.62立方尺，
∴ 3209÷1.62≈22（斛）.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
象限角、轴线角
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】以点B为圆心，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则
A−2,0,C−2,1，设P(csα,sinα),α∈[0,2π），因此， PA→=−2−csα,−sinα，
PC→=−2−csα,1−sinα，
于是PA→⋅PC→=−2−csα2−sinα+sin2α=5+4csα−sinα=5−17sinα−φ，
其中锐角φ由 sinφ=417csφ=117 确定，而−φ≤α−φ<2π−φ，
则当α−φ=3π2，即α=3π2+φ，sinα=−117csα=417时， sinα−φ取最小值−1，
所以PA→⋅PC→的最大值为5+17．故选：B
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
棱锥的结构特征
棱柱的结构特征
【解析】
利用棱，锥的定义判断即可.
【解答】
解：A，正棱柱的侧棱要垂直底面，故A不正确；
B，棱柱的侧面均是平行四边形，故B正确；
C，直平行六面体是底面是平行四边形的直四棱柱，故不一定是长方体，故C不正确；
D，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，故D不正确.
故选ACD.
【答案】
A,D
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的共线定理
【解析】
由题意，结合向量的数量积、三点共线的充要条件、基底的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解.
【解答】
解：A，已知a→=−1,1，b→=2,λ，
则a→⋅b→=−2+λ，若λ<2，可得a→⋅b→<0，
但a→与b→的夹角不一定为钝角，两者也可能反向，故A错误；
B，已知平面上四个点为P，A，B，C，若A，B，C三点共线，
则其满足PA→=λPB→+μPC→（λ+μ=1）,
因为3−2=1满足条件，此时A，B，C三点共线，故B正确；
C，向量e1→，e2→能做为一组基底，则e1→，e2→不能共线，
已知e1→=2,−3，e2→=12,−34，
e1→=4e2→，则e1→与e2→共线，其不满足条件，故C正确；
D，若a→⋅c→=b→⋅c→，且c→≠0→，
即|a→|⋅|c→|cs=|b→|⋅|c→|cs,
无法确定a→=b→，故D错误.
故选AD.
【答案】
B,C,D
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
命题的真假判断与应用
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若|z1|=|z2|，则z1，z2不一定共轭；故A错误；
令z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
若z1z2=i，则z1=a+bi=z2i=c+dii=ci−d，所以a=−d，故B正确；
对于C选项， ∵ z1z2=|z1|2=z1⋅z1且z1≠0，所以z2=z1，C正确；
若z1z2=a+bic+di=ac−bd+bc+adi为实数，则bc+ad=0．
如果z1,z2在复平面内对应的点在同一象限，那么bc，ad同号，不可能使bc+ad=0.故D正确．
故选BCD.
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】由题知，点O是△ABC的重心．如图，连接BO．
对于A，当且仅当△ABC是等边三角形时，△ABC的重心与外心重合，
此时满足|OA→|=OB→=OC→，故A不一定成立；
对于B，因为E为边AB的中点，且CO→=2OE→，
所以OA→+OB→+OC→=2OE→+OC→=CO→−CO→=0→，故B成立；
对于C， CO→=CA→+AO→=CA→+23AD→=CA→+23CD→−CA→=13CA→+23CD→，故C成立；
对于D， BO→=BA→+AO→=BA→+23AD→=BA→+23BD→−BA→=13BA→+23BD→，故D成立．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
1
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
根据斜二侧画法法则，把直观图还原为原图形，再计算原三角形的面积．
【解答】
解：根据斜二测画法，原三角形为直角三角形，OA⊥OB，
在原图中OA=1，OB=2，
所以原三角形的面积为12×1×2=1．
故答案为：1.
【答案】
1
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】 z=1−i1+i=1−i1−i1+i1−i=−2i2=−i，
∴ i2+ai+1=0，解得a=0，∴ |z−a|=|z|=|i|=1．
故答案为：1．
【答案】
823π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解：设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边中点处，则r=1，
又OD=12AA1=1，在Rt△OCD中， R=r2+12=2，V球=43πR3=823π.
故答案为： 823π.
【答案】
−27+182
【考点】
直线与圆的位置关系
向量在几何中的应用
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
根据题意可得，当点P的坐标为(2, 0)时，PA→⋅PB→最小，利用两个向量的数量积的定义求得其最小值．
【解答】
【详解】如图所示，
设PA=PB=xx>0，∠APO=α，
则∠APB=2a，PO=9+x2，sinα=39+x2，
PA→⋅PB→=|PA→||PB→|cs2α=x21−2sin2α=x2x2−9x2+9
=x2+9−9x2+9−18x2+9=x2+9+2×92x2+9−27≥2x2+1⋅2×92x2+1−27=−27+182，
当且仅当x2+9=2×92x3+9即x=32−1时等号成立，
∴ PA→⋅PB→的最小值是−27+182.
故答案为：−27+182.
四、解答题
【答案】
解：（1）令Dx,y,AB→=3,2,DC→=1−x,−1−y
由题意得， AB→=DC→，解之得x=−2,y=−3，即D−2,−3.
（2）由题意得， a→=3,2,b→=0,−2，λa→+b→=3λ,2λ−2,a→−2b→=3,6，
由向量垂直得9λ+6×2λ−2=0解得λ=47.
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）令Dx,y,AB→=3,2,DC→=1−x,−1−y
由题意得， AB→=DC→，解之得x=−2,y=−3，即D−2,−3.
（2）由题意得， a→=3,2,b→=0,−2，λa→+b→=3λ,2λ−2,a→−2b→=3,6，
由向量垂直得9λ+6×2λ−2=0解得λ=47.
【答案】
解：（1）因为z=bi，所以z+31−i=3+bi1−i=3+bi1+i2=3−b+b+3i2，
因为z+31−i是实数，所以b+3=0，解得b=−3 故z=−3i.
(2)因为z=−3i，所以(m−z)2−8m=(m+3i)2−8m=(m2−8m−9)+6m.
因为复数m−z2−8m所表示的点在第二象限，所以m2−8m−9<0,6m>0,
解得0【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为z=bi，所以z+31−i=3+bi1−i=3+bi1+i2=3−b+b+3i2，
因为z+31−i是实数，所以b+3=0，解得b=−3 故z=−3i.
(2)因为z=−3i，所以(m−z)2−8m=(m+3i)2−8m=(m2−8m−9)+6m.
因为复数m−z2−8m所表示的点在第二象限，所以m2−8m−9<0,6m>0,
解得0【答案】
解：(1)由2a→−3b⋅2a→+b→=61得a→⋅b→=144a→2−3b→2−61=14（4×16−3×9−61)=−6.
(2)由已知得：4a→2−3b→2−4a→⋅b→=61，
即4×16−3×9−4×4×3csθ=61，
解得csθ=−12，
又∵ θ∈[0, π]，
∴ a→与b→的夹角是2π3.
(3)|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=13，
∴ |a→+b→|=13.
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由2a→−3b⋅2a→+b→=61得a→⋅b→=144a→2−3b→2−61=14（4×16−3×9−61)=−6.
(2)由已知得：4a→2−3b→2−4a→⋅b→=61，
即4×16−3×9−4×4×3csθ=61，
解得csθ=−12，
又∵ θ∈[0, π]，
∴ a→与b→的夹角是2π3.
(3)|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=13，
∴ |a→+b→|=13.
【答案】
解：（1）由b=22c=acsC可得sinB−22sinC=sinAcsC，
即sinA+C−22sinC=sinAcsC，即csAsinC=22sinC，
即csA=22，而0（2）由AB→⋅AC→=4可得bccsA=4，由（1）知 A=π4，则bc=42，所以S△ABC=12bcsinA=2.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由b=22c=acsC可得sinB−22sinC=sinAcsC，
即sinA+C−22sinC=sinAcsC，即csAsinC=22sinC，
即csA=22，而0（2）由AB→⋅AC→=4可得bccsA=4，由（1）知 A=π4，则bc=42，所以S△ABC=12bcsinA=2.
【答案】
解：（1）∵ a−sinCcsB=sinB⋅csC
∴ acsB=sinBcsC+csBsinC=sinB+C=sinA
即acsB=sinA
∴ asinA=1csB
∵ asinA=bsinB, b=3 ，
∴ 1csB=bsinB=3sinB
∴ sinB−3csB=0，即tanB=3．
∵ B∈0,π
∴ B=π3．
（2）由asinA=csinC=bsinB=2
得a=2sinA，c=2sinC．
△ABC的周长=3+2sinA+2sinC=3+2sinA+2sin2π3−A
=3+2sinA+232csA+12sinA=3+3sinA+3csA
=3+2332sinA+12csA=3+23sinA+π6．
：A∈0,π，∴ A+π6∈π6,5π6，
∴ sinA+π6∈(12，1]
∴ △ABC的周长的取值范围为(23,33]
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）∵ a−sinCcsB=sinB⋅csC
∴ acsB=sinBcsC+csBsinC=sinB+C=sinA
即acsB=sinA
∴ asinA=1csB
∵ asinA=bsinB, b=3 ，
∴ 1csB=bsinB=3sinB
∴ sinB−3csB=0，即tanB=3．
∵ B∈0,π
∴ B=π3．
（2）由asinA=csinC=bsinB=2
得a=2sinA，c=2sinC．
△ABC的周长=3+2sinA+2sinC=3+2sinA+2sin2π3−A
=3+2sinA+232csA+12sinA=3+3sinA+3csA
=3+2332sinA+12csA=3+23sinA+π6．
：A∈0,π，∴ A+π6∈π6,5π6，
∴ sinA+π6∈(12，1]
∴ △ABC的周长的取值范围为(23,33]
【答案】
解：（1）因圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m，则此圆锥的侧面积为S=π⋅AB2⋅SA≈3.14×6×18=339.12m2，
又每平方米大约需要鲜花60朵，
于是得339.12×60≈20347（朵），所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．
（2）将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA′，点A到点A′，连接A′C,
则A′C为最小长度，
扇形弧AA′长等于圆锥SO底面圆周长π⋅AB=12π，于是得扇形圆心角∠ASA′=12π18=2π3,
在△A′SC中， SA′=18,SC=13SA=6，由余弦定理得A′C2=SA′2+SC2−2SA′⋅SCcs∠A′SC，
即A′C2=182+62−2×18×6cs2π3=468，解得A′C=613，
所以灯光带的最小长度为613m.
【考点】
函数模型的选择与应用
根据实际问题选择函数类型
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m，则此圆锥的侧面积为S=π⋅AB2⋅SA≈3.14×6×18=339.12m2，
又每平方米大约需要鲜花60朵，
于是得339.12×60≈20347（朵），所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．
（2）将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA′，点A到点A′，连接A′C,
则A′C为最小长度，
扇形弧AA′长等于圆锥SO底面圆周长π⋅AB=12π，于是得扇形圆心角∠ASA′=12π18=2π3,
在△A′SC中， SA′=18,SC=13SA=6，由余弦定理得A′C2=SA′2+SC2−2SA′⋅SCcs∠A′SC，
即A′C2=182+62−2×18×6cs2π3=468，解得A′C=613，
所以灯光带的最小长度为613m.