2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-方程与不等式-一元一次方程

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-方程与不等式-一元一次方程，共13页。试卷主要包含了 解下列方程或不等式等内容，欢迎下载使用。

1. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

2. 对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2．
(1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
(2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数；
(3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．
3. 如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当射线经过点时，直接写出此时的值；
(2)当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）
(3)当EM//FN时，求的值．
4. 解下列方程或不等式（组）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
5. 对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“倍分点”．
在数轴上，已知点A表示的数是，点B表示的数是2．
(1)若点C在线段上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是______；
(2)若点D在数轴上，，且点D是点B关于点A的“k倍分点”，求k的值；
(3)点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值．
6. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
7. 用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？
下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答．
8. 在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4．
(1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2．
①当时，点A与线段的“闭距离”为______；
②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值；
(2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．
9. 根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
10. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
11. 某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有______箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称______次就能把乙车上装错的货物区分出来．
12. 我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为．．
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝___；若点C是点A关于点B的“2星点”，则＝___：
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“－2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为，作点B关于点Q的“3星点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
13. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横纵坐标交换位置得到点．给出如下定义：对于平面上的点C，若满足，则称点C为点M的“对炫点”．

(1)已知点，
①下列各点：，，中为点A的“对炫点”的是______；
②点P是直线上一点，若点A是点P的对炫点，求出点P的坐标；
(2)设点是第一象限内一点，点P是直线上一点，至少存在一个点P，使得点A的对炫点也是点P的对炫点，求a、b的取值范围．
15. 定义：点C在线段AB上，若点C到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点C是线段AB的闭二倍关联点．
（1）如图，若点A表示数-1，点B表示的数5，下列各数-3，1，3所对应的点分别为，，，则其中是线段AB的闭二倍关联点的是 ；
（2）若点A表示的数为-1，线段AB的闭二倍关联点C表示的数为2，则点B表示的数为 ；
（3）点A表示的数为1，点C，D表示的数分别是4，7，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．设点M表示的数为m．若点M是线段AB的闭二倍关联点，求m的取值范围．
16. 目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
17. 如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
18. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
(2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
(3)记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．
19. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．

20. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，称点为点的关联点，为关联距离．
例如，点与，可以看作是将点N向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点为点的关联点，关联距离为5．已知点．
(1)在点，，中，是点的关联点有______，此时，关联距离为______
(2)点在线段上，其中，点，．若点是点的关联点，则点的坐标为______
(3)在中，点，，，若上有且只有一个点是点的关联点，求的取值范围．
21. 类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．
例如：与是“准同类项”
(1)给出下列三个单项式：
①，②，③．
其中与是“准同类项”的是______（填写序号）
(2)已知，，均为关于，的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值．
(3)已知，均为关于，的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______．
22. 如表是某次篮球联赛积分榜的一部分
(1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；
(2)设某队胜场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含的整式填空）；
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值．
23. 某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：
（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；
（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．
24. 在数轴上，点A表示－2，点B表示6．
（1）点A与B的距离为_______________；
（2）点C表示的数为c，设，若，则c的值为___________；
（3）点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t．
①点P表示的数为__________，点Q表示的数为___________（用含、、t的代数式表示）；
②点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，NP始终为定值，设，，若，探究、满足的等量关系．
25. 现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
(1)另写出“”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
(2)将4个自然数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为________；
(3)已知有理数满足，且将6个有理数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
26. 定义：数轴上，，，表示的数分别为，，，．若点到点，中一个点的距离与点到点，中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．
例如，如图，点，，，表示的数分别为，，，．

此时，，，因此，点，，，满足，称是的调和点对．
请根据上述材料解决下面问题：
在数轴上点，表示的数分别为，，且，满足，
(1)______，______；
(2)点，，，表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______；
(3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点，同时停止运动．设点的运动时间为秒．当为的调和点对时，直接写出的值．
27. 阅读理解：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似．
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为；
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为．
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示：
由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以；
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：
，由，可知．
问题解决：
(1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______．
(2)将十进制分数化成二进制小数：；．
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式．
设（A） 则（B）．
得：即，于是得到．
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．
请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程．
28. 已知关于的方程．
(1)当，时，方程的解为_______；
(2)若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系：_______；
(3)若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_______．
29. 某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
(1)仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
(2)仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
(3)根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
30. 如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点E在点P的右侧，，，设．
(1)填空：___________；
(2)若的平分线交直线于点H，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当___________秒时，有．方法一
分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程．
解：设每台型机器一天生产件产品．
答：
方法二
分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程．
解：设每箱装件产品．
答：
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？
小齐：还没，它的售价比我的预算多元呢！
栗栗：这台平板电脑现在正在打7折呢！
小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少元！
A．元
B．元
C．元
D．元
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
售价
m
n
p
球队
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
光明
远大
钢铁
备注：积分=胜场积分+负场积分
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
运输公司
起步价（单位：元）
里程价（单位：元/千米）
甲
1000
5
乙
500
10