2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-实数

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-实数，共13页。试卷主要包含了001），即_____．， 经研究发现等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．
(1)___________，___________，___________；
(2)求证：；
(3)过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系___________．
2. “说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
3. 下列关于数轴的叙述，正确的有（ ）个
（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
（2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1；
（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间；
4. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
5. 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
6. 对于实数，表示不小于的最小整数，例如：，，．点是轴右侧的点，已知点，，我们把（三角形）叫做点的取整三角形．
(1)已知点，直接写出点的坐标________；
(2)已知点，且点的取整三角形面积为5，直接写出的取值范围：________________；
(3)若点的取整三角形面积为2，请在下面的坐标系中画出所有满足条件的点的区域（用阴影表示，能取到的边界用实线表示，不能取到的边界用虚线表示）．
7. 经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
8. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点．
(1)若点，求点和点的“阶距离”；
(2)若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标；
(3)若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围．
9. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，．
(1)已知，，则_____，_____．
(2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件；
(3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围．
10. 对任意的非负实数m有如下规定：用表示不大于m的最大整数，称为m的整数部分，用表示的值，称为m的小数部分．例如：，，，．请回答下列问题：
(1)___________，___________；
(2)当时，以下四个命题中为真命题的是___________（填序号）；
①；
②；
③；
④若（a为整数），则．
(3)当时，解关于x的方程．
11. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么x ＝ ；
（3）如果，求x的值．
12. 对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．
例如，对于数组：1，2，3，因为，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．
已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．
(1)对数组：1，2，，在1，，这三个数中，可能是______；
(2)对数组：1，2，，若的最大值为，求的值；
(3)已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．
①当，且时，直接写出的最大值；
②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．
13. 阅读学习，解决问题：
小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)我们知道：；，……
由此可归纳出结论1：若，则
(2)
……
由此可归纳出结论2：______．
(3)根据上面的结论计算：
∵
∴
类似的：
∵
∴______
由此可归纳出结论3：______（n为正实数）
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小
14. 给定二元数对（p，q），其中或1，或1．三种转换器A，B，C对（p，q）的转换规则如下：
（1）在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入，则输出结果为________；
（2）在图2所示的“①—C—②”组合转换器中，若当输入和时，输出结果均为0，则该组合转换器为“____—C—____”（写出一种组合即可）．
15. 现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
(1)另写出“”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
(2)将4个自然数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为________；
(3)已知有理数满足，且将6个有理数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
16. 在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
17. 六张卡片的正面分别写有，，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是______．
18. 在平面直角坐标系中，如果点P（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点P为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
(1)判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称 ；
P1（1，0）P2（，）P3（﹣，）P4（﹣1，﹣）
(2)如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．
(3)如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），请直接写出当正方形成为“自大忘形”时，t的取值范围： ．
19. 下列事件中的随机事件是（ ）
20. 如图，平面直角坐标系中，A（a,0），B（0,b），C（0，c），， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上,将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
21. 数学解密：若第一个式子是 ， 第二个式子是， 第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是_________________．
22. 在等式中，（ ）内的数等于______．
23. 将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）．例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和， ，例如：对于3元完美数组和，有．
(1)在，，，中是3元完美数组的有：______；
(2)设，则______；
(3)已知完美数组求出所有4元完美数组，使得；
(4)现有个不同的元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，均有：；则的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
24. 对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如不等式和不等式是“互联”的．
(1)请判断不等式和是否是“互联”的，并说明理由；
(2)若和是“互联”的，求的最大值；
(3)若不等式和是“互联”的，直接写出的取值范围．
25. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
26. 在平面直角坐标系xOy中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．已知点，．

(1)已知点，，，其中满足的点有：_________；
(2)若点K在直线上，且满足，请直接写出K点横坐标的取值范围；
(3)在中，若三条边的“直角长度”都相等，则称该三角形为“等距三角形”．若点C是平面内一点，且为“等距三角形”，请直接写出点C的坐标：_______．
27. 在平面内，对点组，...，和点P给出如下定义：点P与点，...，的距离分别记作，...，数组，...，的中位数称为点P对点组，...，的中位距离．
例如，对点组和点，有，故点P对点组的中位距离为4．
(1)设，直接写出点Y对点组的中位距离；
(2)设，则点中，对点组的中位距离最小的点是 ，该点对点组的中位距离为 ；
(3)设，，，若线段上任意一点对点组的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．
28. 如果x是一个有理数，我们定义表示不小于x的最小整数，如，，．
(1)根据定义：______，______；
(2)若，直接写出a与1，2的大小关系为______；
(3)解决下列问题：
①求满足的m取值范围：
②直接写出方程的解为______．
29. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律
(1)图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：_____________，_____________，不难发现，结果都等于_____________．（请完成填空）
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数_____________．
30. 阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
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B．1
C．2
D．3
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
A．在数轴上任取一个点，它表示的数是实数
B．任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小