2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-图形-图形的变化

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1. 矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点．
(1)如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；
(2)过点作于点，连接．
①如图2，当F落在线段上时．求的度数；
如图3，当落在线段的延长线上且时，求．
2. 在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”．
(1)如图，点，，，．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____；
②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．
3. 在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”．
(1)已知如图1点．
①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________；
②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________；
(2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围．
4. 在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段．
(1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点；
(2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围；
(3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围．
5. 在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点；
Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
(1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．
①若，请你在下图中画出点，的位置；
②若，求m的值．
(2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）．
6. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d．
(1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______；
(2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______；
(3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
7. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义：
如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．

(1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d．
(2)若点都在直线上，求d的值；
(3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围．
8. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：
若图形上存在点，满足，则称图形是点的“关联图形”．

(1)已知原点是点的“关联图形”，则点的坐标是_______；
(2)如图1，已知点，，当线段是点的“关联图形”时，在图1中画出所有满足条件的点所形成的图形，并指出线段可以通过怎样的几何变换得到该图形；
(3)如图2，已知是点的“关联图形"，其中点，，．
①当点在第一、三象限角平分线上时，的取值范围是_______；
②当时，请在图3中画出所有满足条件的点所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
9. 在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”．
(1)如图、正方形的顶点分别为点，，，．
①在点，，中，正方形的“伴随切点”是 ；
②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围；
(2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围．
10. 如图，点在等边三角形的边的延长线上．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．作点关于点的对称点，连接，，．

(1)①补全图形；
②证明：；
(2)的度数是_______，请说明理由．
11. 设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
(1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______；
(2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______；
(3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______．
12. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”．

(1)已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
(2)点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围．
13. 对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有 ．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围
14. 在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．

(1)①在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
②连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(2)直线（）上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出k的取值范围．
15. 正比例函数图象直线和一次函数图象直线都过点，，与轴围成的三角形面积为15，而，与轴围成的三角形面积为．

(1)求直线与的函数表达式；
(2)求与相交所成的锐角的度数．
16. 在平面直角坐标系中，对于，其中，，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，与的过点A的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点．

(1)若，，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；
(2)已知，，若线段上存在的留缘点，求的取值范围．
17. 在平面直角坐标系中，对于点（不与点重合）和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段，则称点为线段的“中移点”．已知的半径为1．

(1)如图，点，点，
点为与轴正半轴的交点，，求的值；
点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围；
(2)点是上一点，点在线段上，且．若是外一点，点为线段的“中移点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
18. 在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点，点是直线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“双垂点”.

(1)若，点中是点关于轴和点的“双垂点”的是___________；
(2)若点，点是直线上的点，点是点关于轴和点的“双垂点”，求点的坐标；
(3)点在以为圆心，1为半径的圆上，直线，若圆上存在点是点关于直线和点的“双垂点”，直接写出的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，对于和点(不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．
(1)已知，．
①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；
②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；
(2)直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．
20. 在平面直角坐标系中，对于点P和直线l，过点P作于H，若点C与点D关于点H对称，则称点C与点D“关于P（直线l）垂足对称”．特别地，若点P在直线l上，则点H与点P重合．
(1)如图1，点，．

①若点C与点D“关于P（x轴）垂足对称”，则点D的坐标为 ；
②若点C与点“关于P（直线）垂足对称”，求k的值；
(2)如图2，⊙O的半径为2，直线l的解析式为．

①若点，⊙O上存在点E与点F“关于Q（直线l）垂足对称”，则EF的最大值为 ，此时直线l的解析式为 ；
②若点，在⊙O上存在点M与x轴上一点N“关于G（直线）垂足对称”，直接写出符合题意的g的取值范围： ．
21. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点P关于直线对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点，．
①若点M的坐标为，画出点，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若，直线上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的上有不重合的两点M，P，若半径为1的上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．
22. 如图，在中，点D在边上，连接．设．过点A作于点H，．．所以，．特别地，当时，
根据上述知识解决问题．
在中，E为的中点，点F在上，与交于点P．设，．
(1)如图1，若，则m与n的大小关系为：m______n（填“＞”，“＝”或“＜”）；
(2)如图2，若，则m、n之间满足的等量关系为______
(3)如图3，若，，求n的值．
23. 在平面直角坐标系中，直线在x轴及其上方的部分记为射线．对于定点和直线，给出如下定义：同时将射线和直线分别绕点和原点顺时针旋转得到和，与的交点为点，我们称点为射线的“”双旋点．如图，点为的“”双旋点．
(1)若
①在给定的平面直角坐标系中，画出“”的双旋点；
②直接写出的双旋点的坐标 ；
③点、、是的“”双旋点的是 ；
(2)直线分别交轴、轴于点、，若存在，使直线的“”双旋点在线段上，求的取值范围；
(3)当时，对于任意的，若存在某个三角形上的所有点都是射线的“”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值．
24. 给出如下定义：如图1，已知，，直线l垂直平分线段，若关于直线的轴对称图形完全落在内部（G的两边不与的边重合），则称是的内含对称半角．
在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为，，，，为轴负半轴上一点，射线绕点逆时针旋转到达的位置，形成．
(1)如图2，直线垂直平分线段，，其中 是的内含对称半角．
(2)若是的内含对称半角，请在图中画出符合题意的一个．
(3)如图，若直线l经过原点，设，当为何值时是的内含对称半角？请直接写出的范围： ；
(4)当为何值时，的内含对称半角（点除外）位于轴下方？请直接写出的范围： ．
25. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，作点B关于AE的对称点，连接并延长，交DC于点F．
(1)求证：CF=BE；
(2)若与以CD为直径的圆相切，求证：点为切点；
(3)在（2）的条件下若交圆于点G，求的值．
26. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，直线l和矩形w，定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线1的“对矩点”．已知矩形ABCD的顶点A（1，0），B（8，0），C（8，4），D（1，4）．
例如，图中的点F和点G都不是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”，点H是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”．
(1)在点，，，中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是______；
(2)若在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，求t的取值范围；
(3)若抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，请直接写出t的取值范围．
27. 我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．
在平面直角坐标系中，
(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为 ；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线．
①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；
②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．
(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．
29. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
30. 在平面直角坐标系xOy中，点P为一定点，点P和图形W的“旋转中点”定义如下：点Q是图形W上任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转90°，得到点，点M为线段P的中点，则称点M为点P关于图形W的“旋转中点”．
（1）如图1，已知点A，B，C，
①在点，，中，点_______是点A关于线段的“旋转中点”；
②求点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m的取值范围；
（2）已知点D，E，F，⊙O的半径为2．若⊙O的内部（不包括边界）存在点F关于线段DE的“旋转中点”，求出t的取值范围．