2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-有理数

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1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
2. 已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
3. 已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________．
4. 对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2．
(1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
(2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数；
(3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．
5. 下列关于数轴的叙述，正确的有（ ）个
（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
（2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1；
（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间；
6. 对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“倍分点”．
在数轴上，已知点A表示的数是，点B表示的数是2．
(1)若点C在线段上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是______；
(2)若点D在数轴上，，且点D是点B关于点A的“k倍分点”，求k的值；
(3)点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值．
7. 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（ ）
8. 在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4．
(1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2．
①当时，点A与线段的“闭距离”为______；
②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值；
(2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．
9. 如图，数轴上有M，N两点和一条线段，我们规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段 “中线对称”．
已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段 “中线对称”，则x的最大值为______．
10. 已知点在数轴上，它们表示的数分别是，且，，，（其中）．
(1)若，为任意的整数．
用含的式子表示；
试说明一定能被4整除；
(2)若，且中有两个数的和与相等．
有如下四个结论：
A．原点可能与点重合； B．原点不可能在点的右侧；
C．原点可能是线段的中点； D．原点可能是线段的中点；
其中所有正确的结论是______．（填选项字母即可）
用含的式子表示，并直接写出结果．
11. 四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，．
（1）若，则，，中与距离最小的点为_________；
（2）若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有_________个．
12. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点．
(1)若点，求点和点的“阶距离”；
(2)若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标；
(3)若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围．
13. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，．
(1)已知，，则_____，_____．
(2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件；
(3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围．
14. 我们将数轴上点P表示的数记为．对于数轴上不同的三个点M，N，T，若有，其中k为有理数，则称点N是点M关于点T的“k星点”．已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为．．
（1）若点B是点A关于原点O的“k星点”，则k＝___；若点C是点A关于点B的“2星点”，则＝___：
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D．是否存在某一时刻，使得点D是点A关于点O的“－2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在数轴上运动（点Q不与A，B两点重合），作点A关于点Q的“3星点”，记为，作点B关于点Q的“3星点”，记为．当点Q运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点Q的位置；若不存在，请说明理由．
15. 在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
(1)，，
①的值是 ；
②点在轴上，若，则点的坐标是 ．
(2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
16. 在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作．即．例如：当点P是线段的中点时，因为，所以．
（1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称．
①______；
②比较，，的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
17. 定义：点C在线段AB上，若点C到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点C是线段AB的闭二倍关联点．
（1）如图，若点A表示数-1，点B表示的数5，下列各数-3，1，3所对应的点分别为，，，则其中是线段AB的闭二倍关联点的是 ；
（2）若点A表示的数为-1，线段AB的闭二倍关联点C表示的数为2，则点B表示的数为 ；
（3）点A表示的数为1，点C，D表示的数分别是4，7，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．设点M表示的数为m．若点M是线段AB的闭二倍关联点，求m的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I类中任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．
(1)若将点分为第I类，点，，分为第Ⅱ类，则________，________，因此，这种分类方式的分类系数为________；
(2)将点，，，，分为两类，求分类系数的最小值：
(3)点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围．
19. 对平面直角坐标系中的任意两点和，我们定义为点和点的“绝对和距离”，记作，即

(1)若点，点，则____________．
(2)在点，，，中，与原点“绝对和距离”为6的点是____________
(3)已知点，，，，若以点、、、为顶点的四边形上存在一点，使得，则的最小值为_________，最大值为_________．
20. 如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
21. 对于数轴上给定两点M、N以及一条线段PQ，给出如下定义：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中位对称”．如图为点M与点N关于线段PQ“中位对称”的示意图．
已知：点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2
(1)若点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4，则在C、D、E三点中， 与点A关于线段OB“中位对称”；点F表示的数为t，若点A与点F关于线段OB“中位对称”，则t的最大值是 ；
(2)点H是数轴上一个动点，点A与点B关于线段OH“中位对称”，则线段OH的最小值是 ；
(3)在数轴上沿水平方向平移线段OB，得到线段O'B'，设平移距离为d，若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”，请你直接写出d的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：．
(1)已知点．
①若点Q与点P重合，则______；
②若点，则______；
(2)正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
(3)若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围．
23. 在数轴上，点A表示－2，点B表示6．
（1）点A与B的距离为_______________；
（2）点C表示的数为c，设，若，则c的值为___________；
（3）点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t．
①点P表示的数为__________，点Q表示的数为___________（用含、、t的代数式表示）；
②点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，NP始终为定值，设，，若，探究、满足的等量关系．
24. 现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
(1)另写出“”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
(2)将4个自然数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为________；
(3)已知有理数满足，且将6个有理数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
25. 定义：数轴上，，，表示的数分别为，，，．若点到点，中一个点的距离与点到点，中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．
例如，如图，点，，，表示的数分别为，，，．

此时，，，因此，点，，，满足，称是的调和点对．
请根据上述材料解决下面问题：
在数轴上点，表示的数分别为，，且，满足，
(1)______，______；
(2)点，，，表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______；
(3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点，同时停止运动．设点的运动时间为秒．当为的调和点对时，直接写出的值．
26. 对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”．已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）．
（1）当点A表示1时，
①若点C表示－2，点D表示－1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 ；
②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 ．
（2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB，EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．设运动时间为t秒．
①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 ；
②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值．
27. 如图，平面直角坐标系中，A（a,0），B（0,b），C（0，c），， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A'，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q'，3秒后，A'、C、Q' 在同一直线上，求 m的值；
（3）如图3，点D在线段AB上,将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
28. 如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司，，，，，，分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）

29. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（ ）
30. 在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为．
(1)在图中画出当时，点A关于点B的“联动点”P；
(2)点A从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．
①点B表示的数为___________（用含t的式子表示）；
②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．A．10℃
B．0℃
C．-10 ℃
D．-20℃
A．
B．
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．原点O在点M左侧
B．原点O在点N的右侧
C．原点O在点M、N之间，且
D．原点O在点M、N之间，且
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
A．路口C
B．路口D
C．路口E
D．路口F
A．高于海平面15250米
B．低于海平面15250米
C．比“拉索”高15250米
D．比“拉索”低15250米