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2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-因式分解
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这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-因式分解，共5页。试卷主要包含了 阅读下面材料， 阅读， 分解因式， 阅读材料并回答问题， 阅读下列材料， 阅读材料等内容，欢迎下载使用。
1. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题．
(1)若计算的结果为，则_________；
(2)若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________；
(3)若计算的结果为，求m的值．
2. 阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
3. 阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设表示一个三位数，
则
因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则______；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
4. 分解因式：
5. 阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法：
∴．
填空：
(1)分解因式：______；
(2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式．
分解因式：______．
(3)已知：，其中为整式，则分解因式：______．
6. 阅读材料并回答问题
肖博睿同学发现如下正确结论：
材料一：
若，则；若，则；若，则；
材料二：
完全平方公式：（1）；（2）．
(1)比较大小：___________；
(2)___________；
(3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）．
7. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断：___________（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________．
8. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
9. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
(1)的0值为____________，轴值为____________；
(2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等；
(3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________．
10. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
(1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
11. 学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
_____ ③
回答下面的问题：
(1)①完成了上面流程图的第______步；
(2)②完成了上面流程图的第______步；
(3)将③的结果写在横线上_____________．
1. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题．
(1)若计算的结果为，则_________；
(2)若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________；
(3)若计算的结果为，求m的值．
2. 阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
3. 阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
设表示一个三位数，
则
因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则______；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；
(3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．
4. 分解因式：
5. 阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法：
∴．
填空：
(1)分解因式：______；
(2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式．
分解因式：______．
(3)已知：，其中为整式，则分解因式：______．
6. 阅读材料并回答问题
肖博睿同学发现如下正确结论：
材料一：
若，则；若，则；若，则；
材料二：
完全平方公式：（1）；（2）．
(1)比较大小：___________；
(2)___________；
(3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）．
7. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断：___________（填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”_____________．
8. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
9. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
(1)的0值为____________，轴值为____________；
(2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等；
(3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________．
10. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，
∴，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
(1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．
11. 学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
_____ ③
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(1)①完成了上面流程图的第______步；
(2)②完成了上面流程图的第______步；
(3)将③的结果写在横线上_____________．
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