山东省青岛市海尔学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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满分：150分 考试时间：120分钟
团队：______ 姓名：______ 考号：______
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的规定区域内，写在试卷上无效．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数满足，则（ ）
A 1B. C. D.
2. 若，是第三象限的角，则
A. B. C. D.
3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
4. 如果，，，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. D.
5. 在中，，，则角A的大小为（ ）
A. B. 或C. D. 或
6. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和B. 和2C. 和D. 和2
7. 在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ）
A ，，，有两解B. ，，，有一解
C. ，，，有一解D. ，，，无解
8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 欧拉公式（其中为虚数单位）被誉为最美数学公式．依据欧拉公式，下列选项正确的有（ ）
A. 复数对应的点位于第三象限B. 为纯虚数
C. 复数的模等于D. 的共轭复数为
10. 已知是单位向量，且，则（ ）
A.
B. 与垂直
C. 与的夹角为
D.
11. 如图，三个内角对应的三条边分别是，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上）
12. 已知向量，，若，则______．
13. 记的内角的对边分别为，且．角的大小为______．
14. 设函数的部分图象如图所示，且满足．则的最小正周期为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递增区间；
（2）用“五点法”，列表画出函数在一个周期上的图象；
（3）函数图象经过怎样的变换，可以得到的图象．
17. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于，求的长.
18. 如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，．
（1）求观光车路线的长；
（2）若甲速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？
19. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）求的取值范围；
（3）在中，，其外接圆直径为（如图），，求和．
五、附加题（本小题5分）
20. 法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．在中，内角的对边分别为，且，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．若，的面积为，求的面积．