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    上海民办南模中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(原卷版+解析版)
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    上海民办南模中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(原卷版+解析版)

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    1. 已知,则_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用余弦函数二倍角公式,将被开方数化为完全平方数,结合的范围即可得解.
    【详解】因为,所以,
    所以 .
    故答案为:.
    2. 函数值域是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用辅助角公式化简函数,再利用整体法求值域.
    【详解】

    又,
    .
    的值域为.
    故答案为:
    3. 已知,则_______________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据二倍角的正切公式即可得到答案.
    【详解】由,可得,
    故.
    故答案为:.
    4. 若在中,,则______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用数量积的定义和余弦定理可求的值.
    【详解】
    ,
    故答案为:.
    5. 函数的部分图象如图所示,则______.

    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据图象求得,进而可得,再代入最大值点即可求得的值,进而可求得.
    【详解】由已知可得,,所以,所以,
    所以.
    又因为在处取得最大值,
    所以有,
    所以.
    又因为,所以,
    所以,
    所以.
    故答案为:.
    6. 已知a,b,c为的三个内角A,B,C所对的边,若,则______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解.
    【详解】因为,由正弦定理可得,
    则,
    所以.
    故答案为:.
    7. 将函数的图象向左平移个单位长度后,所得函数在内不是单调函数,则的取值范围是__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先求出平移后图象对应的解析式,根据单调性可求参数的取值范围.
    【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为,
    因为,故,
    因为在不单调,故或,
    即或,
    所以或,故.
    故答案为:.
    8. 已知为不共线的平面向量,,若,则在方向上的投影向量为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出,结合投影向量的公式即可求得答案.
    【详解】由题意知平面向量满足,,
    则,即,
    可得,整理得,
    所以在方向上的投影向量为.
    故答案为:.
    9. 已知函数,若在上恒成立,则的取值范围为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据解析式作出函数图象,根据性质找出的值,结合图象即可得解.
    【详解】大致图象如图:
    ,,.
    当时,或.
    如上图所示,当时,恒成立.
    所以的取值范围为.
    故答案为:
    10. 函数,关于函数的零点情况有下列说法:
    ①当取某些值时,无零点; ②当取某些值时,恰有1个零点;
    ③当取某些值时,恰有2个不同的零点; ④当取某些值时,恰有3个不同的零点.
    则正确说法的全部序号为______.
    【答案】①②③
    【解析】
    【分析】画出函数的图象,结合与的交点的横坐标,结合图象和三角函数的性质,逐项判定,即可求解.
    【详解】画出函数的图象,如图所示,
    因为,令,即,
    则函数的零点,即为与的交点的横坐标,
    对于①中,当时,在上与无公共点,所以①正确;
    对于②中,当时,在上与只有1个公共点,所以②正确;
    对于③中,当时,在上与有2个公共点,所以③正确;
    对于④中,由图象可得,函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍,即,
    因为,可得,所以不存在的值,使得有3个零点,所以④不正确.
    故答案为:①②③
    11. 在中,已知A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,若O为的外心,,则实数______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】结合余弦定理可从得到,再借助,结合向量数量积公式、二倍角公式与正弦定理,可得,即可得解.
    【详解】,
    又,故有,
    化简得,故有,
    由,则有,
    即有,



    由,故,
    故.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:本题关键点在对所给条件的变形转化上,对,结合降幂公式与余弦定理,可得,对,左右同乘,可借助数量积公式将左边化为,借助向量的线性运算与正弦定理及二倍角公式可将右边化为,即可得解.
    12. 如图,已知,,为边上的两点,且满足,,则当取最大值时,的面积等于______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】由题设足,考虑三角形的面积之比,将其化简得,借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长,由面积公式即可求得.
    【详解】
    如图,不妨设,分别记的面积为,
    则①②
    由①,②两式左右分别相乘,可得:,故得:.
    设,在中,由余弦定理,,因,则,当且仅当时,等号成立,
    此时,因,故,取得最大值,此时面积等于.
    故答案为:.
    【点睛】思路点睛:对条件等式的转化,本题中,注意到有角的相等和边长乘积的比,结合图形容易看出几个等高的三角形,故考虑从面积的比入手探究,即得关键性结论,之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
    13. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法,其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝)书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则“该环田”的面积为( )

    A. 600平方步B. 640平方步
    C. 660平方步D. 700平方步
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设中周的半径是,外周的半径是,圆心角为,根据中周九十五步,外周一百二十五步,列关系式即可.
    【详解】设中周的半径是,外周的半径是,圆心角为,,解得:,
    则“该环田”的面积为平方步.
    故选:C
    14. 已知函数,若在区间上是单调函数,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据已知条件化为,利用换元法化为,结合正弦函数的单调性即可确定实数的取值范围.
    【详解】
    ,令,
    则,因为,所以;
    又因为在区间上是单调函数,
    则在区间上是单调函数,
    所以,即,解得.
    故选:C
    15. 在中,角所对的边分别为,且,设的面积为,若,则此三角形的形状为( )
    A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
    【答案】C
    【解析】
    【分析】首先由三角形面积公式数量积定义得,结合化简得,即,由此即可判断.
    【详解】因为,所以,解得,
    又,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以,
    所以,即,
    又,
    所以此三角形的形状为等边三角形.
    故选:C.
    16. 已知向量满足:为单位向量,且和相互垂直,又对任意不等式恒成立,若,则的最小值为( )
    A. 1B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据已知由向量垂直可得的模,再由不等式恒成立,结合图象可得,从而可得,接下来方法一,直接对进行平方化简,由二次函数最值可解;方法二,由三点共线基本定理,结合三角形面积公式和余弦定理可解.
    【详解】和相互垂直,
    则,则,
    结合图象,,
    则 ,
    因为恒成立,则,
    即,则,
    法(一):
    对称轴时:
    ,即
    法(二):,因为,
    所以向量的终点共线(起点重合),
    则的面积,
    ,所以.
    故选:.
    【点睛】关键点点睛:数形结合发现,,则 ,因为恒成立,则.
    三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
    17. 已知角的终边经过点.
    (1)求的值;
    (2)求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由三角函数定义得,进一步结合诱导公式化简求值即可;
    (2)由商数关系化成关于的齐次式即可求解.
    【小问1详解】
    由条件知,

    【小问2详解】
    .
    18. 已知向量满足.
    (1)求的值;
    (2)求向量与的夹角的余弦值.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据平面向量数量积的定义求解即可;
    (2)根据平面向量的夹角和模长公式求解即可.
    【小问1详解】
    因为,,
    所以
    .
    【小问2详解】
    所以.
    19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色如图,某摩天轮最高点距离地面高度为100m,转盘直径为90m,均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,转一周需要30min.
    (1)求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式;
    (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值.
    【答案】(1),.
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心Q为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系,座舱转动的角速度约为,计算得到答案.
    (2)计算,,相减得到
    ,计算最值得到答案.
    【小问1详解】
    如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心Q为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系,
    设时,游客甲位于点,以OP为终边的角为;
    根据摩天轮转一周大约需要30min,可知座舱转动的角速度约为,
    由题意可得,.
    【小问2详解】
    如图,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示,则.
    经过后甲距离地面的高度为,
    点B相对于点A始终落后,
    此时乙距离地面的高度为.
    则甲、乙距离地面的高度差,
    利用,
    可得,.
    当或,
    即或(舍去)时,h的最大值为
    所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
    20. 将函数的图像进行如下变换:先向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度,得到函数的图像
    (1)求的最小正周期及单调增区间
    (2)当时,方程有两个不等的实根,求实数的取值范围
    (3)若函数在区间内恰有2022个零点,求的所有可能取值
    【答案】(1),;
    (2)
    (3)2022或2023或1348
    【解析】
    【分析】(1)由三角恒等变换化简即可得到函数解析式,再由正弦型函数的单调性,即可得到结果;
    (2)根据题意,结合正弦型函数的图像,即可得到结果;
    (3)根据题意,由换元法可得,转化为二次函数零点问题,即可求解.
    【小问1详解】

    则由题意可得函数的解析式为,
    令,,
    则最小正周期为,单调递增区间为,.
    【小问2详解】
    ,则,
    若方程有两个不等的实根,结合函数图像可得
    小问3详解】
    设,则函数等价为
    由,得
    有两个不等的实数根
    当时,,此时在上恰有3个零点
    当时,
    此时在上恰有2个零点

    或2023
    综上所述,的所有可能取值为2022或2023或1348
    21. 对于集合和常数,定义:为集合相对的“余弦方差”.
    (1)若集合,,求集合相对的“余弦方差”;
    (2)求证:集合,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值,并求此定值;
    (3)若集合,,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值,求出、.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析,
    (3),或,
    【解析】
    【分析】(1)根据余弦方差的定义代入即可求解,
    (2)根据余弦差定义可得化简分子,根据和差角公式以及同角平方关系即可求解,
    (3)根据余弦差定义列出关系式,利用和差角公式以及二倍角公式化简,根据题意可得,即可结合三角函数的性质求解.
    【小问1详解】
    依题意得,;
    【小问2详解】
    证明:由“余弦方差”定义得:

    则分子

    为定值,与的取值无关.
    【小问3详解】
    分子

    要使是一个与无关的定值,
    则,

    与终边关于轴对称或关于原点对称,
    又,得与终边只能关于轴对称,

    则当时,
    当时,.
    故,或,
    故,或,时,相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值.
    【点睛】关键点点睛:利用公式将所给的集合代入运算,利用和差角公式,二倍角公式化简.
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