山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛市四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．存在函数满足：对任意都有( )
A.B.
C.D.
3．已知是奇函数,则( )
A.2B.-1C.1D.-2
4．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
5．下列命题为真命题的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
6．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．已知函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．定义表示不超过x的最大整数.例如: ,,则( )
A.B.,
C.是偶函数D.是增函数
二、多项选择题
9．已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且，在单调递减，则( )
A.B.
C.D.
10．已知,,且,则( )
A.B.
C.D.
11．已知函数的定义域为R,且,,为偶函数,则( )
A.B.为偶函数
C.D.
三、填空题
12．已知函数的定义域为则的定义域为_________.
13．已知函数,若,则实数a的取值范围为______________.
14．设，函数.若恰有两个零点，则a的取值范围为__________.
四、解答题
15．求值：
(1);
(2).
16．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.
17．已知集合,其中是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)若,求出实数m的值;
(2)若,求实数m的取值范围.
18．已知函数是偶函数.
(1)求a的值;
(2)设 ,,若对任意的 ,存在,使得,求m的取值范围.
19．离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合，若，，记为除以p的余数，为除以p的余数；设，1，a，，…，两两不同，若，则称n是以a为底b的离散对数，记为.
（1）若，，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）.证明：，其中；
（3）已知.对，，令，.证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,全集,则,,
得,,所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：对于A：函数的定义域为,故A错误;
对于B：令,解得或,所以的值不唯一,故B错误;
对于C：令,解得或,所以的值不唯一,故C错误;
对于D：,
令,则,
所以,故D正确;
故选：D
3．答案：A
解析：因为函数是奇函数,所以满足,
即,化简为,得,,
此时,函数的定义域为,成立.
故选：A
4．答案：B
解析：由题意得,,,
易知,,
故,则,可得,故B正确.
故选：B.
5．答案：B
解析：对于A：当时,显然不成立,故A错误;
对于B：因为,所以,故B正确;
对于C：因为,所以,故C错误;
对于D：因为,所以,故D错误.
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意可得：的定义域为R,
因为,
所以为奇函数,排除B,D.
当时,则,,可得,
所以,排除A.
故选：C.
7．答案：D
解析：由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D.
8．答案：B
解析：A选项,取,,则,,显然,所以A不正确;
B选项,设表示不超过的最大整数,所以,
所以,所以,所以,即,
所以,所以,故B正确;
C选项,,因为,
所以,所以不是偶函数,故C错误;
D选项,所以,所以不是增函数,故D错误.
故选：B.
9．答案：BD
解析：因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：对于A,,
当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,所以,故B正确;
对于C,,
当且仅当时,等号成立,故C不正确;
对于D,因为,
所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A,因为,
令,则,故,则,故A正确;
对于B,因为的定义域为R,关于原点对称,
令,则,又不恒为0,故,
所以为奇函数,故B错误;
对于C,因为为偶函数,所以,
令,则,故,
令,则,故,
又为奇函数,故,
所以,即,故C正确;
对于D,由选项C可知,
所以,故的一个周期为6,
因为,所以,
对于,
令,得,则,
令,得,则,
令,得,
令,得,
令,得,
所以,
又,
所以由的周期性可得：
,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由已知,的定义域为,所以对于
x需满足,解得
故答案为：.
13．答案：
解析：由题设,定义域为R,
,即为偶函数,
在上,令,且,
则,
由,故,即函数在上递增,
而在定义域上递增,故在上递增,
所以,可得,
故,可得.
故答案为：.
14．答案：
解析：令，则，当时，，恒成立，此时.
当时，令，则，当时，，有且仅有两个零点；
当时，，有且仅有一个零点，不符合题意，
所以或或.
当或时，，方程有两个不等实根，设为，，，
所以
设，令，解得或；设，令，解得或.
当时，，，所以有且仅有两个零点，符合题意.
当时，因为，且，
所以有且仅有两个零点，符合题意.
综上所述，a的取值范围为.
15．答案：(1)3
(2)10
解析：(1)
;
(2)原式;
16．答案：等腰梯形的腰长为时,所用篱笆长度最小,其最小值为
解析：设,上底,
分别过点B,C作下底的垂线,垂足分别为E,F,
则,,
则下底,
该等腰梯形的面积,
所以,则,
所用篱笆长为
,
当且仅当,即,时取等号.
所以,当等腰梯形的腰长为时,所用篱笆长度最小,其最小值为.
17．答案：(1)2
(2)
解析：(1)因为,故,,
又的两根分别为,
故,
故;
(2)因为,故,,
又的两根分别为,,
故,解得,
故实数m的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是偶函数,
所以,
即,
,
,
,
,
,
,
,
所以,即.
(2),
因为对任意的 ,存在,使得,
所以在上的最小值不小于在上的最小值,
因为在上单调递增,
所以,
因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,解得,
所以m的取值范围为.
19．答案：（1）1
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1），所以.
（2）记，，，
其中，，k是整数，则，可知.
因为1，a，，…，两两不同，所以存在，
使得，即可以被p整除，
于是可以被p整除，即.
若，则，，因此，.
记，，，
其中l是整数，则，
即.
（3）由题设和（2）的证明知
，
.
故
由（2）的证明知，所以.