山东省济南市天桥区部分学校2023届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市天桥区部分学校2023届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -14的相反数是( )
A. -14B. 14C. -4D. 4
2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为( )
A. 277×106B. 2.77×107C. 2.77×108D. 0.277×109
4. 下列计算中，正确的是( )
A. (a3)4=a7B. a2⋅a4=a6C. a3+a3=a6D. a8÷a4=a2
5. 观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m,n)在反比例函数y=6x图象上的概率为( )
A. 12B. 13C. 49D. 29
7. 若一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0,-1)，B(1,1)，则不等式kx+b>1的解集为( )
A. x<1B. x>1C. x>0D. x<0
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E，若AE=5，BE=1，则EC的长度为( )
A. 3B. 10C. 11D. 23
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为(0,23)，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则图中阴影部分的面积为( )
A. 8π-23
B. 8π-3
C. 2π-23
D. 2π-3
10. 已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m≠0)，点P(xp,yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤-3，则m的取值范围是( )
A. m≥1或m<0B. m≥1
C. m≤-1或m>0D. m≤-1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2-9= ．
12. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1～15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是______．
13. 若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根，则实数m取值范围是______．
14. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y=kx(k>0)的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连接CD，若S△BCD=52，则k的值为 ．
15. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的为4.若AA'=1，则A'D=______．
16. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的，其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…，弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是 (结果保留π)．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：25-4sin30°-(12)-1+(2023+6.12)0．
18. (本小题6.0分)
解不等式组x-3x+6≤8①12x<4-32x②，并写出它的所有整数解．
19. (本小题6.0分)
矩形ABCD和矩形AECF有公共顶点A和C，AE、BC相交于点G，AD、CF相交于点H.求证：△ABG≌△CDH．
20. (本小题8.0分)
为进一步开展“睡眠管理”工作，某小学对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x<7.5
B组：7.5≤x<8
C组：8≤x<8.5
D组：8.5≤x<9
E组：x≥9

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
21. (本小题8.0分)
某数学小组测量古塔DC的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得古塔顶端D的仰角为45°，已知测角仪高度AE=BF=1.5m，测量点A，B与古塔DC的底部C在同一水平线上，延长EF交CD于点G，求古塔DC的高度(精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
22. (本小题8.0分)
如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
(1)求证：AB=CB；
(2)若AB=18，sinA=13，求BF的长．
23. (本小题10.0分)
某校计划购买A，B两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的1.5倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台．
(1)求A，B型仪器单价分别是多少元；
(2)该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的14，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用．
24. (本小题10.0分)
如图1，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1,3)，点B(n,1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
25. (本小题12.0分)
如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．
(1)如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE= ；直线AD与直线EC的位置关系是 ；
(2)如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD、EC，其所在直线相交于点F，
①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②当DF的长度最大时，求线段EC的长度．
26. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-12x2+bx+c经过A(-2,0)，B(0,4)两点，直线x=3与x轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)正比例函数y=kx的图象分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，当△BDO与△OCE相似时，求线段OD的长度；
(3)如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.答案：B
解析：解：-14的相反数是14，
故选：B．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2.答案：D
解析：解：从上面看，可得如下图形：

故选：D．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3.答案：C
解析：解：277000000=2.77×108．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法—表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
4.答案：B
解析：解：A、(a3)4=a12，故A不符合题意；
B、a2⋅a4=a6，故B符合题意；
C、a3+a3=2a3，故C不符合题意；
D、a8÷a4=a4，故D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的法则是解题的关键．
5.答案：D
解析：解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.答案：B
解析：解：画树状图如下，

2×3=6，3×2=6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函数y=6x的图象上的有2种情况，
∴点(m,n)在反比例函数y=6x图象上的概率为26=13，
故选：B．
画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点(m,n)在反比例函数y=6x图象上可得mn=6，进而求解．
本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
7.答案：B
解析：解：如图所示：不等式kx+b>1的解为：x>1．
故选：B．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
8.答案：C
解析：解：根据作图可知CE⊥AB，
∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∵AB=AC，
∴AC=6，
根据勾股定理，得EC=AC2-AE2=11．
故选：C．
根据作图可知CE⊥AB，由已知条件可知AC=6，根据勾股定理，可得EC的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9.答案：C
解析：解：如图，连接AB，

∵∠AOB=90°，
∴AB是直径
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
∵OB=23，
∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=23×33=2，AB=2AO=4，即圆的半径为2，
∴S阴影=S半圆-S△ABO=π×222-12×2×23=2π-23．
故选：C．
连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10.答案：A
解析：解：∵二次函数y=mx2-4m2x-3，
∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,-3)，
∵点P(xp,yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤-3，
∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，
此时，当x=4时，y≤-3，即m⋅42-4m2⋅4-3≤-3，
解得m≥1；
②当m<0时，对称轴x=2m<0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤xp≤4时，yp≤-3恒成立；
综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．
故选：A．
先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
11.答案：(x+3)(x-3)
解析：解：x2-9=(x+3)(x-3)．
故答案为：(x+3)(x-3)．
12.答案：715
解析：解：由题意可得，
从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，
故摸出的球编号为偶数的概率是715，
故答案为：715．
13.答案：m>1
解析：解：根据方程没有实数根，得到△=b2-4ac=4-4m<0，
解得：m>1．
故答案为：m>1．
14.答案：5
解析：解：连接OB，
∵BD⊥y轴，
∴S△BOD=12|k|，
∵BD//x轴，
∴S△BCD=S△BOD=12|k|，
∵S△BCD=52，
∴12|k|=52，
∵k>0，
解得：k=5，
故答案为：5．
根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
15.答案：2
解析：解：如图，
∵S△ABC=9、S△A'EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A'DE=12S△A'EF=2，S△ABD=12S△ABC=92，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'E//AB，
∴△DA'E∽△DAB，
则(A'DAD)2=S△DA'ES△DAB，即(A'DA'D+1)2=292=49，
解得A'D=2或A'D=-25(舍)，
故答案为：2．
由S△ABC=9，S△A'EF=4且AD为BC边的中线知S△A'DE=12S△A'EF=2，S△ABD=12S△ABC=92，根据△DA'E∽△DAB，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得．
本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明△DA'E∽△DAB，利用相似三角形的性质列方程．
16.答案：4046π
解析：解：弧DA1的半径是1，
弧A1B1的半径是2，
弧B1C1的半径是3，
弧C1D1的半径是4；
弧D1A2的半径是5，
弧A2B2的半径是6，
……
弧C2D2的半径是8=4×2，
……
弧C3D3的半径是12=4×3，
……
∴弧CnDn的半径是4n．
即弧C2023D2023的半径为DD2023=4n=4×2023=8092，
∴弧C2023D2023的长是=nπr180=90×π×8092180=4046π．
故答案为：4046π．
根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长1，又因为AA1的半径为1，可知任何一段弧的弧长都是1的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得弧CnDn的半径为1×4×n，再根据弧长公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．
17.答案：解：25-4sin30°-(12)-1+(2023+6.12)0
=5-4×12-2+1
=5-2-2+1
=2．
解析：首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.答案：解：x-3x+6≤8①12x<4-32x②，
由①得x≥-1，
由②得x<2，
∴不等式组的解集为：-1≤x<2，
∴不等式组的整数解为-1、0、1．
解析：分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.答案：证明：∵四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，
∴AH//GC，AG//CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴∠GAH=∠GCH，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，
∴∠B=∠D=90°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，
∴∠BAG=90°-∠GAH，∠DCH=90°-∠GCH，
∴∠BAG=∠DCH，
在△ABG与△CDH中，
∠BAG=∠DCHAB=CD∠B=∠D=90°，
∴△ABG≌△CDH(SAS)．
解析：先证得四边形AGCH是平行四边形，然后利用ASA即可证明△ABG≌△CDH．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，通过推理得出∠BAG=∠DCH是解题的关键．
20.答案：100
解析：解：(1)本次调查学生总人数为20÷20%=100(名)，
故答案为：100；
(2)E组人数为100×15%=15(人)，
则A组人数为100-(20+40+20+15)=5(人)，

(3)360°×20100=72°，
答：D组所对应的扇形圆心角的度数为72°；
(4)1500×100-15100=1275(人)，
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生约有1275人．
(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数；
(2)总人数乘以E组人数所占百分比求出其人数，继而求出A组人数即可补全图形；
(3)用360°乘以D组人数所占比例即可；
(4)总人数乘以A、B、C、D组人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.答案：解：由题意得：
GC=AE=BF=1.5m，AB=EF=15米，∠DGE=∠DCA=90°，
设DG=x m，
在Rt△DGF中，∠DFG=45°，
∴FG=DGtan45∘=x(m)，
∴EG=EF+FG=(x+15)m，
在Rt△DGE中，∠DEG=34°，
∴tan34°=DGEG=xx+15≈0.67，
解得：x≈30.5，
经检验：x=30.5是原方程的根，
∴DG=30.5m，
∴DC=DG+CG=30.5+1.5=32(m)，
∴古塔DC的高度约为32m．
解析：根据题意可得：GC=AE=BF=1.5m，AB=EF=15米，∠DGE=∠DCA=90°，然后设DG=x m，在Rt△DGF中，利用锐角三角函数的定义求出FG=x m，从而可得EG=(x+15)m，再在Rt△DGE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.答案：(1)证明：连接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，
∵BC⊥DE，
∴OD//BC，
∴∠C=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠A=∠C，
∴AB=CB；
(2)解：连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，
∵sinA=BDAB=13，AB=18，
∴BD=6，
∵∠BDF+∠CDF=∠C+∠CDF=90°，
∴∠BDF=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠BDF=∠A，
∴sin∠BDF=sinA=13，
∴BFBD=13，
∴BF=6×13=2．
解析：(1)连接OD，由切线的性质得到OD⊥DE，而BC⊥DE，推出OD//BC，得到∠C=∠ODA，由OD=OA，得到∠A=∠ODA，因此∠A=∠C，即可证明AB=CB；
(2)连接BD，由圆周角定理得到∠BDC=∠ADB=90°，由锐角的正弦求出BD的长，由余角的性质得到∠BDF=∠A，因此sin∠BDF=sinA=13，即可求出BF的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线综合应用以上知识点．
23.答案：解：(1)设B型仪器的单价是x元，则A型仪器的单价是1.5x元，
根据题意得：4501.5x-240x=2，
解得：x=30，
经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×30=45．
答：A型仪器的单价是45元，B型仪器的单价是30元；
(2)设购买m台A型仪器，则购买(100-m)台B型仪器，
根据题意得：m≥14(100-m)，
解得：m≥20，
∴m的最小值为20，
当m=20时，45m+30(100-m)=45×20+30×(100-20)=3300．
答：A型仪器最少需要购买20台，A型仪器执行最少购买量时购买两种仪器的总费用为3300元．
解析：(1)设B型仪器的单价是x元，则A型仪器的单价是1.5x元，利用数量=总价÷单价，结合用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型仪器的单价，再将其代入1.5x中，即可求出A型仪器的单价；
(2)设购买m台A型仪器，则购买(100-m)台B型仪器，根据购买A型仪器数量不少于B型仪器数量的14，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，将其中的最小值代入45m+30(100-m)中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.答案：解：(1)∵点A(1,3)，点B(n,1)在反比例函数y=mx(m≠0)上，
∴m=1×3=n×1，
∴m=3，n=3，
∴反比例函数为y=3x，点B(3,1)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得k+b=33k+b=1，
解得k=-1b=4，
∴一次函数为：y=-x+4；
(2)令x=0，则y=-x+4=4，
∴C(0,4)，
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC=12×4×(3-1)=4；
(3)如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E(a,3a)(a>1)，
∵A(1,3)，
∴AD=a-1，DE=3-3a，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠EAD+∠CAF=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CAF=∠AED，
在△ACF和△EDA中，
∠CAF=∠AED∠ACF=∠EDA=90°AF=EA，
∴△ACF≌△EDA(AAS)，
∴CF=AD=a-1，AC=DE=3-3a，
∴F(3a-2,4-a)，
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴(3a-2)(4-a)=3，
解得a=6或a=1(舍去)，
∴E(6,12).
解析：(1)用待定系数法即可求解；
(2)求得点C的坐标，然后根据S△AOB=S△BOC-S△AOC求得即可；
(3)过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E(a,3a)(a>1)，通过证得△ACF≌△EDA(AAS)，得到F(3a-2,4-a)，代入y=3x，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
25.答案：3 垂直
解析：解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，∠A=30°，
∴AB=3BC=33，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，BE=2，
∴BD=3BE=23，
∴EC=1，AD=3，
∴ADEC=3，此时AD⊥EC，
故答案为：3，垂直；
(2)结论成立．
理由：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=3BC，BD=3BE，
∴ABBC=DBEB，
∴△ABD∽△CBE，
∴ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB=180°，
∴∠CDB+∠BEC=180°，
∴∠DBE+∠DCE=180°，
∵∠DBE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴AD⊥EC；
(3)如图2中，∵∠DBE=90°，BE=2，∠BDE=30°，
∴DE=2BE=4，
∵AD⊥CE，
∴∠DFE=90°，
∴DF≤DE=4，
∴当DF与DE重合时，DF的值最大，
如图3中，设EC=x，则AD=3x，

∵∠ABC=90°，BC=3，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=6，
∵AC2=AE2+EC2，
∴62=(4+3x)2+x2，
解得x=22-3(负根已经舍去)，
∴EC=22-3
如图4中，设EC=y，则AD=3y，则62=y2+(3y-4)2，
解得y=3+22，
∴EC=3+22．

综上所述，EC的值为3+22或22-3．
(1)解直角三角形求出EC，AD，可得结论；
(2)结论不变，证明△ABD∽△CBE，推出ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，可得结论；
(3)因为AD⊥CE，推出∠DFE=90°，推出DF≤DE=4，推出当DF与DE重合时，DF的值最大，分两种情形分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
26.答案：解：(1)把A(-2,0)，B(0,4)两点代入抛物线表达式得：
-12×4-2b+c=0c=4，
解得：b=1c=4，
则抛物线的表达式为：y=-12x2+x+4；
(2)由题意得，当△BDO与△OCE相似时，只有∠BDO=90°，
在Rt△ADO中，tan∠DAO=OBOA=42=2，
则sin∠DAO=BOAB=442+22=25，
则DO=OAsin∠DAO=2×25=455；
(3)存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P(t,-12t2+t+4)，
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∵四边形BPGF是矩形，
∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，
∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，
∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，
∵∠PHB=∠FCG=90°，
∴△PHB≌△FCG(AAS)，
∴PH=CF，
∴CF=PH=t，OF=3-t，
∵∠PBH=∠OFB，
∴PHBH=OBOF，即t-12t2+t+4-4=43-t，
解得：t1=0(舍)，t2=1，
∴F(2,0)；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，

同①可得：NG=FM=3，OF=t-3，
∵∠OFB=∠FPM，
∴tan∠OFB=tan∠FPM，
∴OBOF=FMPM，即4t-3=3-12t2+t+4，
解得：t=1+2014或1-2014(舍)，
∴F(201-114,0)；
综上，点F的坐标为(2,0)或(201-114,0)．