2023年山东省济南市钢城区中考一模数学试题（含解析）

2023年山东省济南市钢城区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-2的绝对值是（   ）

A．2 B． C． D．

2．由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是（    ）

A． B． C． D．

3．下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．笛卡尔心形线 B．卡西尼卵形线

C．赵爽弦图 D．费马螺线

4．如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

5．中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

6．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A． B． C． D．

8．“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案，她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径作弧交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点F，若，，则的周长为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

10．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．因式分解：______．

12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为______．

13．方程的解为______________．

14．已知是方程的一个根，则实数的值是_________．

15．如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的满足的数量关系是________．现将向上翻折，如图②，已知，则的面积是________．

16．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为______．

三、解答题

17．计算：

18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．

20．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：

（数据分成5组：，，，，）

b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：

，，，，，，，，

c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数，中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲城市抽取4月份收入数据在的有______家邮政企业，并补全频数分布直方图；

(2)写出表中m的值；

(3)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较，的大小，并说明理由：

(4)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，）

(1)求屋顶到横梁的距离；

(2)求房屋的高．

22．如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点．

(1)求证：；

(2)若，，求的半径．

23．端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．

(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？

24．已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；

(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．

25．在与中，连接，点M、N分别为和的中点，连接．

(1)【观察猜想】

如图①，若，，与的数量关系是　　　　　；

(2)【类比探究】

如图②，若，请写出与的数量关系并就图②的情形说明理由；

(3)【解决问题】

如图③，，，将绕点A进行旋转，当点D落在的边上时，请求出的长．

26．已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，，且，如图所示．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连接、，求的面积的最大值；

②连接，求的最小值．

参考答案：

1．A

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．

【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，

故选：A．

2．A

【分析】根据从左面看几何体得到的图形，即可进行判断．

【详解】解：由图可得，从左面看几何体有2列，第一列有2块，第二列有1块，

∴从左面看该几何体的形状图是：

故选：A．

【点睛】本题考查从三个方向看物体的形状，熟练掌握从不同方向看物体的方法是解答的关键．

3．B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可．

【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；

B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；

C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；

D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．

4．B

【分析】如图所示，根据，先算出的度数，根据邻补角再算出的度数，根据三角形内角和即可求解．

【详解】解：如图所示，

直尺中，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

故选：．

【点睛】本题主要考查平行线，邻补角，三角形内角和的综合，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．

5．B

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：1200万用科学记数法表示为．

故选：B．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．C

【分析】根据整式的减法运算，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方进行运算求解，然后进行判断即可．

【详解】解：A中，错误，故不符合要求；

B中，错误，故不符合要求；

C中，正确，故符合要求；

D中，错误，故不符合要求；

故选C．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．

7．D

【分析】根据点在数轴上的位置，逐一进行判断即可．

【详解】解：由图可知：；

A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查利用数轴判断式子符号．通过数轴判断出点所代表的数的符号以及大小关系，是解题的关键．

8．D

【分析】画树状图得到所有等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．

【详解】解：画树状图为：

一共有12种等可能的结果数，其中两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的有6种结果，

∴两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为，

故选：D．

【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，理解题意，正确得到所有的等可能结果数是解答的关键．

9．C

【分析】首先根据题意得到，然后结合平行四边形的性质得到，最后根据三角形周长公式求解即可．

【详解】解：由作图得：平分，

∴，

在平行四边形中，有，，，

∴，

∴，

∴的周长为：．

故选：C．

【点睛】本题考查平行四边形的性质与角平分线的定义，掌握角平分线的性质找出等角是解题的关键．

10．B

【分析】由函数与在上是“相邻函数”，构造函数，根据抛物线的位置不同，令其最大值、最小值，解关于的不等式组即可得出结论．

【详解】函数与在上是“相邻函数”，

构造函数，在上．

根据抛物线对称轴的位置不同，来考虑：

①当，即时（图，

，解得：，

此时无解；

②当，即时（图，

，解得：，

；

③当，即时（图，

，解得：，

此时无解；

④当，即时（图，

，解得：，

此时无解．

综上可知：若函数与在上是“相邻函数”，则的取值范围为．

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的定义找出关于的不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质按对称轴的位置不同来分段讨论．

11．

【分析】根据平方差公式解答即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解．掌握运用平方差公式分解因式是解题关键．

12．

【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.

【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，

∴击中阴影部分的概率是，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.

13．x=5

【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

【详解】解：，

去分母得：x+1=3（x-3），

解得：x=5，

检验：当x=5时，（x-3）（x+1）≠0，

∴x=5是原方程的根；

故答案为：x=5．

【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

14．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．

【详解】解：∵是方程的一个根，

∴

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

15．          7

【分析】由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案．

【详解】解：，

，

、、是等边三角形，

，，，，

即；

设的面积为，图②中2个白色图形的面积分别为、，如图②所示：

，

，

，

；

故答案为：；7．

【点睛】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．

16．

【分析】连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接并延长交于点，作关于的对称线段，则点的对应点在线段上．当点是定点时，，当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．解直角三角形求出的长，可得结论．

【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接并延长交于点，作关于的对称线段，则点的对应点在线段上．

当点是定点时，，

当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，

当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．

四边形是菱形，

，，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

的最大值为．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，添加辅助线，构造直角三角形，属于中考填空题中的压轴题．

17．4

【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．

18．不等式组的解集为：，数轴表示见解析

【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：，

在数轴上表示不等式组的解集为：

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．

19．见解析

【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．

【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，

∴在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴∠ABP＝∠ADP．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

20．(1)7，补全图形见解析

(2)

(3)，理由见解析

(4)乙城市的邮政企业4月份的总收入约为2200百万元

【分析】（1）用抽取总企业数减去已知组中的企业数即可求解，进而可补全图形；

（2）根据中位数的求解方法求解即可；

（3）分别求得和，进而比较大小即可；

（4）根据样本中的平均数可估计总体的平均数求解即可．

【详解】（1）解：（家），

则甲城市抽取4月份收入数据在的有7家邮政企业，

故答案为：7；

补全频数分布直方图如图所示：

（2）解：将所给25个数据从小到大排列，第13个数据是第组中的，

∴中位数；

（3）解：由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，

∴；

（4）解：由题意得：（百万元）；

答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

【点睛】本题考查频数直方图、中位数、用样本估计总体，理解题意，熟练掌握统计中相关知识的运用是解答的关键．

21．(1)屋顶到横梁的距离为

(2)房屋的高为

【分析】（1）根据可得，再根据，即可求解；

（2）过点E作于点H，设，则，，再根据，列出方程求解即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，

∴，，

∴，

答：屋顶到横梁的距离为．

（2）过点E作于点H，

设，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∵，

∴，

∵，，

∴解得：，

∴，

答：房屋的高为．

【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．

22．(1)见解析

(2)2.25

【分析】（1）根据切线的性质可得，从而得到，根据直径所对圆周角是直角可得，则，然后利用等腰三角形的性质可得，根据等角的余角相等，即可得证；

（2）由已知可得，然后利用（1）的结论，可得，根据相似三角形的性质得到，根据，进行计算即可．

【详解】（1）证明：与相切于点，

，

，

是的直径，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

的半径为2.25．

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．

23．(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元

(2)A品牌粽子为袋，B品牌粽子为袋时，总费用最低

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设B品牌粽子有m袋，则A品牌有袋，总费用为w元，列出函数关系，即可求解．

【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，

根据题意得，，解得，

故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；

（2）解：设B品牌粽子有m袋，则A品牌有袋，总费用为w元，

根据题意得，解得：．

w随m的增大而增大，所以当时，总费用最低，

（袋）

答：A品牌粽子为袋，B品牌粽子为袋时，总费用最低.

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程组和函数关系式．

24．(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；

（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；

（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．

【详解】（1）∵过，

∴，

∴，则，

又∵过，

∴，

∴反比例函数的表达式为．

∴，解得：或，

∴．

（2）令，则，∴．

设直线的解析式为设，∴，即：，

∵直线与反比例函数图象只有一个交点，

∴，

∴，

∴，令，则，

∴，

∴．

（3）由图可知在第一象限、不可能相等，

如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，

设点的坐标为，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

设（），

∴，

∵点在一次函数图象上，

∴，整理得，

解得（负数舍去），

∴点的横坐标的值为．

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25．(1)

(2)，理由见解析

(3)的长为，

【分析】（1）如图①，连接，由题意知，证明，则，由点M、N分别为和的中点，可知是的中位线，则，进而可得；

（2）如图②，连接，同理（1），，，，进而可得；

（3）如图③，连接，由题意得，，，，，则，证明，则，即，由是的中位线，可得，即，由题意知，点D落在的边上，分2种情况讨论：①当点D落在边上时，如图4，在中，由勾股定理，得，进而可求的值，②当点D落在边上时，如图5，此时，进而可求的值．

【详解】（1）解：如图①，连接，

由题意知，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∵点M、N分别为和的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴，即，

故答案为：；

（2）解：，理由如下：

如图②，连接，

同理（1），，

∴，

∵点M、N分别为和的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴，即，

∴；

（3）解：如图③，连接，

由题意得，，，，，

∴，，

∴，

∴，即，

∵点M、N分别为和的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴，

由题意知，点D落在的边上，分2种情况讨论：

①当点D落在边上时，如图4，

在中，由勾股定理，得，

∴；

②当点D落在边上时，如图5，

此时，；

综上所述，的长为，．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切，中位线的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

26．(1)

(2)①；②

【分析】（1）设抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，由锐角三角函数可求得点的坐标，代入解析式求解即可；

（2）①先求得的解析式，设，可得，，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；

②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，线段的长就是的最小值，由三角形面积公式可求解．

【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，

可设抛物线的解析式为：，

抛物线的对称轴为直线，

，，

又，

，即，

代入抛物线的解析式，得，

解得：，

二次函数的解析式为；

（2）解：①设，其中，

设直线的解析式为，

，

解得

即直线的解析式为，

令，得：，

点，

把代入，得，

即，

，

的面积，

当时，的面积最大，且最大值为；

②如图，据图形的对称性可知，，

，

过点作于，则在中，，

，

过点作于点，则，

线段的长就是的最小值，

，

又，

，

即，

的最小值为．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．