山东省泰安市岱岳区2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份山东省泰安市岱岳区2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用纳米米，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出钱，会差钱；每人出钱，会差钱问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为．( )
A. B. C. 或D. 或
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：
；
；
；
方程．
正确的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
11. 如图，在正方形中，点是上一动点不与、重合，对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、下列结论：
≌；
；
；
∽；
点在、两点的连线上．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. ______ ．
14. 如图，、在直径的半圆上，为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是______ ．
15. 小韦和小黄进行射击比赛，各射击次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下：
两人成绩的中位数相同；
两人成绩的众数相同；
小黄的成绩比小韦的成绩更稳定；
两人的平均成绩不相同．
判断正确的是______ 填序号．
16. 如图，山顶上有一个信号塔，已知山高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，则信号塔 ______ 点，，在同一条竖直线上参考数据：，，
17. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为______ ．
18. 如图，在中，，为中点，，，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
“好客山东”、“好客溜博”、“进淄赶烤”、“美淄淄”、“香博博”占居网络，满满的正能量淄博有五个区，类别分为：张店、淄川、博山、临淄、周村，为了了解游客到淄博五个区人数情况，随机抽取了部分游客进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量为______ ；统计图中的 ______ ， ______ ；
通过计算补全条形统计图；
小明、小红、小亮到五个区中的一个区旅游，他们恰好在同一区的概率是多少？
21. 本小题分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
分别求出一次函数和反比例函数的关系式；
结合图象直接写出中的取值范围．
22. 本小题分
今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是元和元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的倍和倍．
求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
如果购进的这批树苗共棵，种树苗至多购进棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
23. 本小题分
如图，正方形边长为、在半径为的上，且，连接、、、．
试探求线段、的数量和位置关系；
求证：，并求的值．
24. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、．
求抛物线的解析式；
是轴上的一个动点，连接，当时，求点坐标；
点是线段上一点点与点、不重合，过点作的平行线交于点，连接，求面积的最大值．
25. 本小题分
如图，中，，为平分线上一点，且．
求证：；
为上一动点，且有，求证：∽；
如图，若将改为，改为，为平分线上一点，且始终为，请直接写出的值
答案和解析
1.【答案】
解析：解：，
，
故选：．
根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案．
2.【答案】
解析：解：、原式，故本选项不符合题意；
B、原式，故本选项不符合题意；
C、原式，故本选项不符合题意；
D、原式，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．
3.【答案】
解析：解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
解析：解：连接、，如图，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接、，如图，根据切线的性质得，，则利用四边形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
5.【答案】
解析：解：观察作图痕迹可知：
A.，但不平分，
所以选项不符合题意；
B.为的边上的中线，
所以选项符合题意；
C.是的平分线，
所以选项不符合题意；
D.不符合基本作图过程，
所以选项不符合题意．
故选：．
根据题意，为的边上的中线，就是作边的垂直平分线，交于点，连接即可判断．
6.【答案】
解析：解：，，
，
，
，
；
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．
7.【答案】
解析：
解：设合伙人数为人，
依题意，得：，
故选：．
8.【答案】
解析：
解：，
由得；
由得；
故不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
．
故选C．
9.【答案】
解析：解：过点作于点，交于点，连接、，如图，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
当点在与之间时，如图，；
当点不在与之间时，如图，；
综上所述，的值为或，
即与之间的距离为或．
故选：．
过点作于点，交于点，连接、，如图，根据平行线的性质，则根据垂径定理得到，，再分别利用勾股定理计算出，，讨论：当点在与之间时，如图，；当点不在与之间时，如图，．
10.【答案】
解析：解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；而不是，故错误；
结论正确的是，
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
11.【答案】
解析：
解：四边形是正方形
，
在和中，
，
≌，故正确；
，
同理，，
正方形中，，
又，，
，且中，
四边形是矩形，
，
，
又，，，
，故正确；
四边形是矩形，
，
在直角中，，
，故正确
是等腰直角三角形，而不一定是，故错误；
垂直平分线段，垂直平分线段，
，，
，
点是的外接圆的圆心，
，
是直径，
，，三点共线，故正确．
故选B．
12.【答案】
解析：解：，，
直线为线段的垂直平分线，
当时，由最小值，此时，
，，
∽，
，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
解得，
即的最小值为，
故选：．
由线段垂直平分线的判定可知：直线为线段的垂直平分线，即可判定当时，由最小值，此时，再证明∽，列比例式可求解的最小值．
13.【答案】
解析：解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
14.【答案】
解析：解：设圆心为，连接，，
为半圆弧的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设圆心为，连接，，根据圆周角定理得出，从而得出，利用求得即可．
15.【答案】
解析：解：小韦成绩的中位数为：，
小黄成绩是中位数为：，
所以两人成绩的中位数相同，故正确；
小韦成绩的众数为环，小黄成绩的众数为环，故说法错误；
由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，故正确；
小韦成绩的平均数为，小黄的平均成绩为，
所以两人的平均成绩相同，故说法错误；
所以正确的是．
故选：．
根据众数、中位数、平均数以及方差分析．
16.【答案】米
解析：解：由题意得：，
在中，米，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：米．
根据题意可得：，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
17.【答案】
解析：解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，

依此类推，以，循环，
，不能够整除，
所以输出的结果是，
故答案为：．
依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
18.【答案】
解析：解：如图，延长至，使，连接、，

为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
延长至，使，连接、，证≌，得，，再由线段垂直平分线的性质得，然后证，即可解决问题．
19.【答案】解：原式，
，
，
当，时，
原式．
解析：先将括号里面的两个分式通分，进而进行分式的减法，再将除法转化为乘法，进行约分化简，最后代入求值即可．
20.【答案】
解析：解：，，，
故答案为：，，；
组人数为：，补全条形统计图如下：
当小红选择，小亮有种选择，而小明又有种选择，因此共有种结果，其中三人选择同一个区的有种，
所以小明、小红、小亮恰好在同一区的概率是，
答：小明、小红、小亮到五个区中的一个区旅游，他们恰好在同一区的概率是．
根据频率即可求出样本容量，进而求出、的值；
根据各组频数之和等于样本容量求出组人数即可补全条形统计图；
利用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
21.【答案】解：的面积为，
，
解得，或正值不符合题意舍去，
反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，，；
，，
把和点代入，得
，
解得，
；
根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为或．
解析：根据的面积为和反比例函数图象的位置，可以确定的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点、的坐标，求出、的值；
根据图象直接写出的解集．
22.【答案】解：设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是元；
由可知种树苗每棵的价格为：元，种树苗每棵的价格为：元，
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为元，则：
，
是的一次函数，，
随的增大而减小，
，
当棵时，最小，
此时种树苗有：棵，，
答：购进种树苗棵，种树苗棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为元．
解析： 设这一批树苗平均每棵的价格是元，根据题意列方程解答即可；
分别求出种树苗每棵的价格与种树苗每棵的价格，设购进种树苗棵，这批树苗的费用为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
23.【答案】解：如图，延长交于，

四边形是矩形，
，，
，
，
，即，
，
≌，
，，
，
，
，
，即，
、的数量和位置关系是，．
，
在和中，，
即，
在和中，，
即，
将所得两个等式相减得，，
即，
，
，
，
，
，
．
解析：证明≌即可证明数量关系，再由全等转化，证明出，从而证明出位置关系；
利用勾股定理推导出即可证明，再根据勾股定理求出和即可．
24.【答案】解：点，分别代入中，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
由求出的抛物线解析式可知点的坐标为，
如图，当点在点右侧时，连接，
是的外角，
，
又，
，
，
，
，
点，，
，
，
，
点坐标为，
当点在轴负半轴上时，根据对称性可知点坐标为，
综上，点坐标为：，；
抛物线解析式为，
抛物线与轴交点的坐标为，
，
点，，
，，，
，
如图，过点作轴于，
，
∽，
：：，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
设坐标为，的面积为，
则，
，
，
即，
，
当时，最大，
此时的最大值为．
解析：将点、的坐标分别代入抛物线中得到关于、的方程组，解方程组求出、的值即可求出抛物线的解析式；
根据等腰三角形与顶角相邻的外角等于其底角的倍，在射线上作点，使，利用勾股定理求出的长即可求出一个点的坐标，再在轴负半轴上找出点关于轴的对称点即为另一个点的坐标；
先求出点的坐标，过点作轴，根据和相似、和相似得到对应边成比例，再根据，可得到，设点的坐标为，的面积为，推出关于的函数关系式，最后求出这个二次函数的最大值即可．
25.【答案】证明：过点作于，作，交的延长线于，

平分，，，
，
，
，
，
，
，
又，
≌，
；
证明：，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
∽；
解：平分，
，
，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
∽，
，
如图，过点作于，

，，
，
，，
，，
，
．
解析：由“”可证≌，可得；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即，可得结论；
通过证明∽，可得，由等腰三角形的性质可求解．