2023年山东省济南市钢城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市钢城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线
C. 赵爽弦图 D. 费马螺线

4.  如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：年国内生产总值预期增长目标左右，城镇新增就业万人左右，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了，，，四枚纪念章除图案外完全相同，如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若点与分别是两个函数图象与上的任一点当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖飞镖每次都落在游戏板上，击中阴影部分的概率为______ ．

13.  方程的解为______．

14.  已知是方程的一个根，则实数的值是______ ．

15.  如图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______ 现将向上翻折，如图，已知，，，则的面积是______ ．

 

16.  如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，若，，则的最大值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
如图，已知正方形，是对角线上任意一点，不与、重合，求证：．

20.  本小题分
为了解甲、乙两座城市的邮政企业月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了家邮政企业，获得了它们月份收入单位：百万元的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲城市邮政企业月份收入的数据的频数分布直方图如下：
数据分成组：，，，，
甲城市邮政企业月份收入的数据在这一组的是：
，，，，，，，
甲、乙两座城市邮政企业月份收入的数据的平均数，中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
甲城市抽取月份收入数据在的有______ 家邮政企业，并补全频数分布直方图；
写出表中的值；
在甲城市抽取的邮政企业中，记月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为在乙城市抽取的邮政企业中，记月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为比较，的大小，并说明理由；
若乙城市共有家邮政企业，估计乙城市的邮政企业月份的总收入直接写出结果．

21.  本小题分
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，，，
求屋项到横梁的距离；
求房屋的高．

 

22.  本小题分
如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的半径．

23.  本小题分
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变第一次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元；第二次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元．
求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
该超市计划一次购进两种品牌粽子共袋，且品牌粽子的进货量不超过品牌粽子的倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？

24.  本小题分
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
过点的直线交轴于点，且与反比例函数图象只有一个交点，求的长；
我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”设点是轴负半轴上一点，点是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求点的横坐标的值．

 

25.  本小题分
在与中，连接，点、分别为和的中点，连接．
【观察猜想】
如图，若，，，与的数量关系是______ ；
【类比探究】
如图，若，，，请写出与的数量关系并就图的情形说明理由；
【解决问题】
如图，，，，将绕点进行旋转，当点落在的边上时，请求出的长．

 

26.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接、，且，如图所示．
求抛物线的解析式；
设是抛物线的对称轴上的一个动点．
过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连接、，求的面积的最大值；
连接，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，进而得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示，

直尺中，，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据，先算出的度数，根据邻补角再算出的度数，根据三角形内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：万，
用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，错误，故不符合要求；
中，错误，故不符合要求；
中，正确，故符合要求；
中，错误，故不符合要求；
故选C．
根据整式的减法运算，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方进行运算求解，然后进行判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．
 

7.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，，可得，故A选项不符合题意．
B.由数轴可知：，，可得，故B选项不符合题意．
C.由数轴可知：，，可得，可得，故C选项不符合题意．
D.由数轴可知：，，可得，，即，故D选项符合题意．
故选：．
根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可．
本题考查了数轴上实数的大小比较，绝对值以及相反数的知识点考查．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果有：，，，，，，共种，
小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图得：平分，
，
在平行四边形中，有，，，
，
，
的周长为：，
故选：．
先根据作图得平分，再根据平行四边形的性质求解．
本题考查了作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数与在上是“相邻函数”，
构造函数，在上．
根据抛物线对称轴的位置不同，分四种情况：


当，即时如图，
，
解得：，
此时无解；
当，即时如图，
，
解得：，
．
当，即时如图，
，
解得：，
此时无解；
当，即时如图，
，
解得：，
此时无解．
综上可知，若函数与在上是“相邻函数”，则的取值范围为．
故选：．
由函数与在上是“相邻函数”，构造函数，根据抛物线的位置不同，令其最大值，最小值，解关于的不等式组即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式的应用，解题的关键是按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的定义找出关于的不等式组．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平方差公式解答即可．
本题考查因式分解．掌握运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求解公式即可求解．
此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
 

15.【答案】   

【解析】解：，
，
、、是等边三角形，
，，，，
即；
设的面积为，图中个白色图形的面积分别为、，如图所示：
，
，
，
；
故答案为：；．
由勾股定理得出，由等边三角形的面积公式得出，，，得出；设的面积为，图中个白色图形的面积分别为、，由，得出，得出，即可得出答案．
本题考查了翻折变换折叠问题、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则的对应点在线段上．

当点是定点时，，
当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，
当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则的对应点在线段上．当点是定点时，，当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．解直角三角形求出，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】依据四边形是正方形，即可得出，，进而判定≌，即可得出．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

20.【答案】 

【解析】解：甲城市抽取月份收入数据在的有；

将甲城市抽取的家邮政企业月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，即；
由题意得家，
由于乙城市抽取的家邮政企业月份的营业额的平均数是，中位数是，
因此所抽取的家邮政企业月份营业额在及以上的占一半，
也就是的值至少为，
；
百万元，
答：乙城市家邮政企业月份的总收入约为百万元．
总数减去其它数目即可得答案；
根据中位数的意义，求出甲城市抽样家邮政企业月份的营业额从小到大排列，得出处在第位的数据即可；
根据，所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业月份的营业额的具体数据，得出答案；
根据乙城市邮政企业月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，米，
米；
答：屋顶到横梁的距离约为米；
过作于，
设米，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：，
米，
答：房屋的高约为米． 

【解析】根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

22.【答案】证明：与相切于点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】根据切线的性质可得，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等即可解答；
根据已知可得，然后利用的结论可得∽，从而利用相似三角形的性质可得，然后根据，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
答：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元；
设超市购进种品牌的粽子袋，种品牌的粽子袋，总费用为元，
依题意，得，
，
随的增大而增大，
，
，
时，有最小值，此时购进种品牌的粽子袋，种品牌的粽子袋，
元．
答：购进种品牌的粽子袋，种品牌的粽子袋，能使总费用最低． 

【解析】种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，根据两次进货情况，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设超市购进种品牌的粽子袋，种品牌的粽子袋，总费用为元，依题意得出，根据一次函数的性质可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
 

24.【答案】解：一次函数图象过，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由解得或，
点的坐标为；
令，则，
，
设直线的解析式为，
由整理得，，
直线与反比例函数图象只有一个交点，
，
，
，
令，则，
点的坐标为
；
如图，当时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，

，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
设，
，
点在一次函数图象上，
，整理得，
解得负数舍去，
点的横坐标的值为． 

【解析】由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
设直线的解析式为，由整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
通过证得≌，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，交直线于点，

点、分别为和的中点，
，，
，
，
，
即，
，，
≌，
，．
故答案为：；

．
理由：连接，延长交于点，交直线于点，

点、分别为和的中点，
，，
，
，
，
即，
，，
≌，
，；
连接，，则，同可得，
，
点在以为圆心，长为半径的圆上，故分四种情况讨论：
当点落在上时，

，
；
，
；
当点落在的延长线上时，

，
；
当点落在的延长线上时，

此时，
；
当点落在边上时，

，
，
综上所述，的长为或或．
连接，延长交于点，交直线于点，由三角形中位线定理得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
连接，延长交于点，交直线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
连接，，则，同可得，得出，分四种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

26.【答案】解：根据题意，可设抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
又，
，
即，
代入抛物线的解析式，得，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
设，其中，
设直线的解析式为 ，

解得
即直线的解析式为，
令，得，
点，
把 代入，得 ，
即，
，
的面积，
当时，的面积最大，且最大值为；
如图，连接，根据图形的对称性可知，，

，
过点作于，
则在中，，
，
过点作于点，则，
线段的长就是的最小值，
，
又，
，
即，
的最小值为． 

【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角比，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
设抛物线的解析式为，可得对称轴为直线，由锐角三角比的定义求出点的坐标，代入解析式即可求解；
先求出直线解析式，设，可得点，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解．