人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率学案设计，共19页。

1 随机事件与概率
① 有限样本空间与随机事件
(1) 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1 , ω2 , … , ωn,则称样本空间Ω={ω1 , ω2 , … , ωn}为有限样本空间.
(2) 样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A , B , C , …表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.
1 “3件都是二级品”是什么事件？
2 “3件都是一级品”是什么事件？
(3) “至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.
③ 事件的关系和运算
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A⊆B；
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B或A+B.
一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B或AB.
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=∅，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.
④ 古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件A的概率
P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
⑤ 概率的基本性质
性质1 对任意事件A，都有PA≥0
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
性质3 若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 若事件A与事件B对立事件，则PB=1−PA , PA=1−PB
性质5 如果A⊆B,那么PA≤P(B)
性质6 设A , B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB−P(A∩B)
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】 从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生 B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生D．至少有1位是男生

【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球


【典题3】 如果事件A，B互斥，记A , B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B. A⋃B是必然事件
C. A与B一定互斥 D. A与B一定不互斥

【题型二】求古典概型
【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 (m , n)，设 X=m+n．
(1)求 m=n 的概率；
(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;
(3)求 X≤3 或 X>6的概率．
【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 .
【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 .
【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .

【题型二】概率的基本性质
【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)=(12)n⋅P(0) , 1≤n≤60 , n≥7，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是 ．

【典题2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
巩固练习
1(★) 将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．不能判定
2(★) 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确
3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件A：中靶，事件B：射中9环
(3)某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4(★) 袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．两个白球；至少有一个红球
C．红球、白球各一个；都是白球
D．红球、白球各一个；至少有一个白球
5(★) 设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么( )
A．M∪N是必然事件B．M∪N是必然事件
C．M与N一定为互斥事件D．M与N一定不为互斥事件
6(★) 已知一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，又事件与事件不能同时发生．若(B)，(C)，则
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P1,P2,P3，则( )
A．P1=P2P2
8(★★) 从集合A={－1,12,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={12,32,2}中随机选取一个数记为a，则ak>1的概率为( )
A．13B．23C．79D．59
9(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”， “两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有
A．B．，为对立事件
C．，为互斥事件D．，相互独立
10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A、B，已知P(A)=P(B)=16，则出现点数为3的倍数的概率为 ．
11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.25、0.20、0.35，则不命中靶的概率是 ．
12(★) 事件A，B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A)= ．
13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．
14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，则点P落在区域内的概率是 ．
15(★★) 如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点C，恰好能使其构成△ABC且面积为1的概率是 ．
16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件A表示“朝上一面的点数是偶数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过4”，求P(A∪B)．

17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．

乘坐站数x
036票价(元)
1
2
3
概率
1 随机事件与概率
① 有限样本空间与随机事件
(1) 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1 , ω2 , … , ωn,则称样本空间Ω={ω1 , ω2 , … , ωn}为有限样本空间.
(2) 样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A , B , C , …表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.
1 “3件都是二级品”是什么事件？
2 “3件都是一级品”是什么事件？
(3) “至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.
③ 事件的关系和运算
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A⊆B；
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B或A+B.
一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B或AB.
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=∅，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.
④ 古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件A的概率
P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
⑤ 概率的基本性质
性质1 对任意事件A，都有PA≥0
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
性质3 若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 若事件A与事件B对立事件，则PB=1−PA , PA=1−PB
性质5 如果A⊆B,那么PA≤P(B)
性质6 设A , B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB−P(A∩B)
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】 从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生 B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生D．至少有1位是男生
【解析】由于从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，
有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三种情况
故A为不可能事件，B，C为随机事件，D为必然事件．
故答案为 D
【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【解析】对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.

【典题3】 如果事件A，B互斥，记A , B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B. A⋃B是必然事件
C. A与B一定互斥 D. A与B一定不互斥
【解析】 用Venn图解决此类问题较为直观．如右图所示，A⋃B是必然事件，故选B.
【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.

【题型二】求古典概型
【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 (m , n)，设 X=m+n．
(1)求 m=n 的概率；
(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;
(3)求 X≤3 或 X>6的概率．
【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为(1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) , (6 , 6)，
(也可以使用树状图
)
所以 P(m=n)=636=16，
(Ⅱ)X≤6的所有可能的结果有(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 5)，
(2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 1) ,
(3 , 2) , (3 , 3) , (4 , 1) , (4 , 2) , (5 , 1) ,
共有15种情况，
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为(1 , 1)、(1 , 2)、(2 , 1)，
X>6的所有可能的结果有36−21=15，
p(X≤3 或X>6)=336+2136=23
【点拨】根据古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏,在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.
【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 .
【解析】方法一 任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有7种，所以所求概率为78=0.875，
方法二 任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件A，“至少有一个数为偶数”事件B，而事件A , B是对立事件，PA=18，故PB=1−PA=78=0.875.
【点拨】
① 因为是取三个整数，列树状图时有3列.
② 方法一从正面入手，方法二从反面切入，往后题目中出现“至少”，“至多”等字眼，都可以从反面进行思考。
【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 .
【解析】根据题意，分析可得：
在分割下来的27个完全相等的小正方体中，有6个只有一面有红色，有12个两面有红色，8块有3面红色，而还有一个没有红色；
则从中任取2个，其中1个恰有一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的情况有12×6种；而从27块中任取两块，有27×26种情况；
则从中任取2个，其中1个恰有一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的概率为12×627×26=839.
【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .
【解析】三位数的回文数为ABA，
A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…
B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…
共有9×10=90个，
其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2 , 4B4 , 6B6 , 8B8，
B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…
其有4×10=40个，
∴三位数的回文数中，偶数的概率P=4090=49.
【题型二】概率的基本性质
【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)=(12)n⋅P(0) , 1≤n≤60 , n≥7，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是 ．
【解析】由题意知：本公用电话亭每次不超过7人正在使用电话或等待使用，
∴“有0、1、2、3、4、5、6个人正在使用电话或等待使用”是必然事件，
∴随机变量n的值可取0，1，2，3，4，5，6，
即p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1
∴p(0)+12p(0)+14p(0)+18p(0)+116p(0)+132p(0)+164p(0)=1，
∴p(0)=64127
故答案为：64127．
【典题2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A , B , C , D，
则P(A)=13 , P(B∪ C)=P(B)+P(C)=512，
P(C∪D)=P(C)+P(D)=512
P(B∪ C∪ D)=P(B)+P(C)+P(D)=1−P(A)=1−13=23
解P(B)+P(C)=512P(C)+P(D)=512 P(B)+P(C)+P(D)=23 , 得P(B)=14 , P(C)=16 , P(D)=14，
即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为14 , 16 , 14.
巩固练习
1(★) 将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．不能判定
【答案】C
【解析】将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
故答案选择C．
2(★) 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确
【答案】C
【解析】 从10个数字中取3个数字，这三个数字的和可能等于6，也可能大于6，
∴是否大于6，需要取出数字才知道，
∴这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，
故选C．
3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )
(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面
(2)某人射击一次，记事件A：中靶，事件B：射中9环
(3)某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面，事件A,B不可能同时发生，故是互斥事件；
(2)某人射击一次，记事件A：中靶，事件B：射中9环，事件A,B可能同时发生，故不是互斥事件
(3)某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5，事件A,B不可能同时发生，故是互斥事件．
故选C．
4(★) 袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．两个白球；至少有一个红球
C．红球、白球各一个；都是白球
D．红球、白球各一个；至少有一个白球
【答案】C
【解析】从装有3个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，
对于A，至少有1个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．
对于B两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．
对于C红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件不是互斥事件，故符合．
对于D红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．
故选：C．
5(★) 设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么( )
A．M∪N是必然事件B．M∪N是必然事件
C．M与N一定为互斥事件D．M与N一定不为互斥事件
【答案】A
【解析】因为M、N为互斥事件，如图：
，
无论哪种情况，M∪N是必然事件．
故选：A．
6(★) 已知一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，又事件与事件不能同时发生．若(B)，(C)，则
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】A
【解析】一次试验，事件与事件不能同时发生且，至少有一个发生，
事件与事件不能同时发生．(B)，(C)，
(A)(B)，
则(A)(C)．
故选：．
7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P1,P2,P3，则( )
A．P1=P2P2
【答案】C
【解析】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种
其中点数之和是8的有5种，故P1=536；点数之和是7的有6种，故P2=636；
点数之和是6的有5种，故P3=536；故P1=P3故选C
8(★★) 从集合A={－1,12,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={12,32,2}中随机选取一个数记为a，则ak>1的概率为( )
A．13B．23C．79D．59
【答案】D
【解析】分别从集合A,B各取一个数，共有3×3=9组实数对，
若a=12，则由ak>1得k<0，此时k=－1，有1个，
若a=32，则由ak>1得k>0，此时k=12，2，有2个，
若a=2，则由ak>1得k>0，此时k=12，2，有2个，共有5个，
则对应的概率P=59，
故选：D．
9(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”， “两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有
A．B．，为对立事件
C．，为互斥事件D．，相互独立
【答案】BC
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“至少一枚点数为1”， “两枚骰子点数一奇一偶”，
“两枚骰子点数之和为8”， “两枚骰子点数之和为偶数”．
对于，当，，时，不成立，故错误；
对于，和不能同时发生，也不能同时不发生，故，为对立事件，故正确；
对于，，不能同时发生，是互斥事件，故正确；
对于，发生与否，对的发生有影响，，不是相互独立事件，故错误．
故选：．
10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A、B，已知P(A)=P(B)=16，则出现点数为3的倍数的概率为 ．
【答案】13
【解析】由于若设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A、B，
则事件A，B为互斥事件，又由P(A)=P(B)=16，
则出现点数为3的倍数的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=13
故答案为 13
11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.25、0.20、0.35，则不命中靶的概率是 ．
【答案】0.2
【解析】由题意知，射手命中的概率为0.25+0.20+0.35=0.8，
又由射手命中靶与不命中靶为对立事件，故不命中靶的概率是1－0.8=0.2
故答案为 0.2
12(★) 事件A，B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A)= ．
【答案】35
【解析】∵事件A,B互斥，P(AB)=0
∵它们都不发生的概率为25，
∴[1－P(A)][1－P(B)]=25，
∴1－P(A)－P(B)+P(AB)=1－2P(B)－P(B)=25，解得B=15，
∴P(A)=2P(B)=25，
∴P (A)=1－A=1−25=35．
13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．
【答案】727
【解析】三辆车经过十字路口的情况有27种，
至少有两辆车向左转的情况数为7种，所以概率为：727．故答案为：727．
14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，则点P落在区域内的概率是 ．
【答案】1136
【解析】掷两次骰子，会有种可能．
点落在区域内，即，则共有以下可能性．
①，，，；
②，，，，；
③，，，；
④；
这11个点都满足，即所求概率为．
15(★★) 如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点C，恰好能使其构成△ABC且面积为1的概率是 ．
【答案】536
【解析】在网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有5个
故使得三角形面积为1的概率为536.
16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件A表示“朝上一面的点数是偶数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过4”，求P(A∪B)．
【答案】56
【解析】由于正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字，
则事件A“朝上一面的点数是偶数”包括向上点数为2，4，6三种情况，
事件B“朝上一面的点数不超过4”包括向上点数为1，2，3三种情况，
故事件A∪B包括向上点数为1，2，3，4，6五种情况
故P(A∪B)=56．
17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
【答案】49
【解析】(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，
甲、乙两人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，
(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)，9种下车方案．
(2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，
因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．
由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．
而甲比乙先到达目的地的方案有：
(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，
(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，
故所求概率为1227=49．
所以甲比乙先到达目的地的概率为49．
乘坐站数x
036票价(元)
1
2
3