2024年高中数学(必修第一册)5.1任意角和弧度制精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.1任意角和弧度制精品讲义(学生版+解析)，共14页。

1 任意角
① 角的定义与分类
(1) 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA , OB分别是角α的始边和终边.

(2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图 α=210° , β=−150° , γ=−660°.
② 终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为β β=α+k⋅ 360∘ , k∈ Z}.
PS表达式中的k∈ Z不能漏！
③ 象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PS α终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2 弧度制
① 弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么
|α|=lr
② 角度与弧度的转化
180°=π⇒1∘=π180≈ 0.01745 1=180π°≈ 57.30∘
③ 特殊角的角度与弧度对应表
④ 弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|∙R； 扇形面积S=12 lR=12 αR2 ，(R为圆的半径)
注 α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】 已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
① P⊆N ， ② N∩P=M ， ③ M⊆P， ④ (M∪N)⊆P.
其中正确的是 ．

【典题2】 写出如图所示阴影部分的角α的范围．
【典题3】 若α是第三象限的角，则α3可能是第 象限角.
【题型二】扇形的弧长及面积公式
【典题1】 −3弧度的角终边在第 象限.
【典题2】 已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．
【典题3】 已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圆的半径是R．
(1)若α=60∘，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
巩固练习
1(★) 下列说法正确的是( )
A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同
C．小于90°的角是锐角D．第一象限的角是正角
2(★) －870°的终边在第几象限 ( )
A．一 B．二 C．三 D．四
3(★) 2100°化成弧度是 ( )
A．353πB．10πC．283πD．253π
4 (★★) 已知α是第二象限角，则α2是( )
A．锐角B．第一象限角
C．第一、三象限角D．第二、四象限角
5 (★★) 已知圆O与直线l相切于点A，点P , Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ , OP(如图)，则阴影部分面积S1 , S2的大小关系是( )
A．S1=S2B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1S2
6 (★★) 与－2014°终边相同的最小正角是 ．
7 (★★) 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2．

8 (★★) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为 cm．
挑战学霸
河南大学自招真题
我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.
角度
0∘
30∘
45∘
60∘
90∘
120∘
135∘
150∘
180∘
270∘
360∘
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
任意角和弧度制
1 任意角
① 角的定义与分类
(1) 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA , OB分别是角α的始边和终边.

(2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图 α=210° , β=−150° , γ=−660°.
② 终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为β β=α+k⋅ 360∘ , k∈ Z}.
PS表达式中的k∈ Z不能漏！
③ 象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PS α终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2 弧度制
① 弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么
|α|=lr
② 角度与弧度的转化
180°=π⇒1∘=π180≈ 0.01745 1=180π°≈ 57.30∘
③ 特殊角的角度与弧度对应表
④ 弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|∙R； 扇形面积S=12 lR=12 αR2 ，(R为圆的半径)
注 α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】 已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
① P⊆N ， ② N∩P=M ， ③ M⊆P， ④ (M∪N)⊆P.
其中正确的是 ．
【解析】锐角的范围为0°<θ<90∘，小于90∘角为θ<90∘包含负角．
第一象限角为k∙360∘<θ∴P与N之间没有包含的关系，故①错；−300∘∈N∩P，但−300∘∉M，故②错；
M∪N=N，不一定包含于P，故④错；③M⊆P对.
∴其中正确的是：③
【典题2】 写出如图所示阴影部分的角α的范围．
【解析】(1)因为与45∘角终边相同的角可写成45∘+k∙360∘，k∈Z的形式，
−180∘+30∘=−150∘角终边相同的角可写成−150∘+k∙360∘，k∈Z的形式，
所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为
{α|−150∘+k∙360∘<α≤45∘+k∙360∘ , k∈Z}．
(2)因为与45∘角终边相同的角可写成45∘+k∙360∘ , k∈Z的形式，
360∘−60∘=300°角终边相同的角可写成300∘+k∙360∘，k∈Z的形式，
所以图(2)中角α的范围为{α|45∘+k∙360∘≤α≤300∘+k∙360∘，k∈Z}．
【点拨】 表示与角α终边相同的角的集合时不要把k∈Z漏了.
【典题3】 若α是第三象限的角，则α3可能是第 象限角.
【解析】方法1 不等式法
∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32π , k∈Z．
2kπ3+π3≤α3≤2kπ3+π2，(以下对k就被3除的余数分类讨论)
当k=3n , n∈Z时，α3∈2nπ+π3, 2nπ+π2，α3为第一象限角；
当k=3n+1 , n∈Z时，α3∈2kπ+π , 2kπ+7π6，α3为第三象限角．
当k=3n+2 , n∈Z时，α3∈2kπ+5π3 , 2kπ+11π6，α3为第四象限角．
所以α3可能是第一、三、四象限角.
方法2 八卦图法
先把直角坐标系每个象限平均分成3份，从x轴正半轴上方各区域标上1、2、3、4，找到标有α所在象限数字“3”所在的区域，该区域在哪个象限，则α3的终边就在哪个象限.
故α3可能是第一、三、四象限角.
【点拨】
① 方法1中令k=3n、3n+1、3n+2 , n∈Z，是从3的余数“0、1、2”角度思考，故也可令k=0、1、2.
② 方法2中的解题套路
判断αn的象限
① 每个象限平分n份；② 从x轴上方逆时针开始标数；③ 找到α所在象限数字.
例：判断α3的象限(α是第二象限的角)
① 每个象限平分3份； ② 从x轴上方逆时针开始标数； ③ 找到α所在象限数字“2”.
【题型二】扇形的弧长及面积公式
【典题1】 −3弧度的角终边在第 象限.
【解析】 因为−π＜−3＜−π2，所以−3弧度的角终边在第三象限．
【点拨】1=180π°≈ 57.30∘，则−3≈−171.9°.
【典题2】 已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．
【解析】 如图，
∠AOB=2，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.
∠AOD=∠BOD=1，且AC= AB=1.
在Rt△AOC中，AO=ACsin∠AOC=1sin1，从而弧AB的长为l=α⋅ r=2sin1.
【典题3】 已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圆的半径是R．
(1)若α=60∘，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α=60∘=π3 , R=10 ， ∴S扇=12 αR2=50π3，
∴S弓=S扇－S△=50π3−12×10×10×sin60°=50π3−253 (cm2)．
(2)法一 ∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，
∴R=c2+α，
∴S扇=12αR2=12αc2+α2=c22∙α4+4α+α2=c22∙14+α+4α≤c22∙14+4=c216．
(利用基本不等式)
∴当且仅当α=4α，即α=2时，扇形面积有最大值c216．
法二：由已知2R+l=c，∴R=c−l2(l∴S=12Rl=12∙c−l2∙l=14(cl－l2)=−14l−c22+c216，(二次函数最值问题)
∴当l=c2时，Smax =c216，此时α=lR=2，
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值c216．
【点拨】
① 弧长l=|α|∙R，扇形面积S=12 lR=12 αR2 (R为圆的半径)；
② 求函数fx=axbx2+cx+d最值，可把函数化简为fx=abx+dx+c，再利用基本不等式求解.
巩固练习
1(★) 下列说法正确的是( )
A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同
C．小于90°的角是锐角D．第一象限的角是正角
【答案】 B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90°的角是锐角可以是负角；第一象限的角是正角，也可以是负角．
故选：B．
2(★) －870°的终边在第几象限 ( )
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】 C
【解析】选C 因－870°=－2×360°－150°.－150°是第三象限角．
3(★) 2100°化成弧度是 ( )
A．353πB．10πC．283πD．253π
【答案】 A
【解析】2100°=2100×π180=35π3．故选：A．
4 (★★) 已知α是第二象限角，则α2是( )
A．锐角B．第一象限角
C．第一、三象限角D．第二、四象限角
【答案】 C
【解析】∵α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，
∴π4+kπ<α2∴α2是第一象限或第三象限角，
故选：C．
5 (★★) 已知圆O与直线l相切于点A，点P , Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ , OP(如图)，则阴影部分面积S1 , S2的大小关系是( )
A．S1=S2B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1S2
【答案】 A
【解析】如图所示，
∵直线l与圆O相切，∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ=12∙AQ∙r=12∙AQ∙OA，S△AOP=12∙OA∙AP，
∵AQ=AP，
∴S扇形AOQ=S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB=S△AOP－S扇形AOB，
∴S1=S2．
故选：A．
6 (★★) 与－2014°终边相同的最小正角是 ．
【答案】 146°
【解析】∵－2014°=－6×360°+146°，
∴146°与－2014°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，
∴在[0°，360°)上，只有146°与－2014°终边相同，
∴与－2014°终边相同的最小正角是146°，
故答案为：146°．
7 (★★) 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2．

【答案】 704
【解析】如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，
由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=485，
所以S扇面=S扇形OCD－S扇形OAB=12×64×(485+16)−12×24×485=704cm2．
故答案为：704．
8 (★★) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高
为 cm．
【答案】 423
【解析】设此圆的底面半径为r，高为ℎ，母线为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，
∴l=2，得2πr=2π3×l=4π3，解之得r=23，
因此，此圆锥的高ℎ=l2−r2=22−(23)2=423cm．
故答案为：423．
挑战学霸
河南大学自招真题
我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.
【解析】每小时时针、分针旋转一次，速度为时针0.5°/min,分针6°/min，相差5.5°/min，
故在n时00分至(n+1)时00分之间，时针和分针完全重合的时刻为n时60n11分，它们是：
1时5分27.27秒 2时10分54.54秒 3时16分21.82秒 4时21分49.09秒
5时27分16.36秒 6时32分43.64秒 7时38分10.91秒 8时43分38.18秒
9时49分5.45秒 10时54分32.73秒 12时00分00秒
这些时刻里除了12时外，“分”和“秒“的值相差都很大，分针和秒针显然不可能重合.所以仅在12时三针重合.角度
0∘
30∘
45∘
60∘
90∘
120∘
135∘
150∘
180∘
270∘
360∘
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π