2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)，共16页。

1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
② 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.
2 性质
① 偶函数关于y轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x) , 看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f−x=−f(x)，则y=fx是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数Fx=f(g(x))的奇偶性如下图

【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题1】 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1 , 2a]上的偶函数，那么a+b的值是 .

【典题2】 f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：
1f−x+fx=0; 2f−x−fx=−2 fx;
3fx⋅f−x≤0; 4fxf−x=−1
角度2 判断函数的奇偶性
情况1 具体函数的奇偶性判断
【典题1】函数f(x)=4−x2|x+3|−3的图象关于 对称．
情况2 抽象函数的奇偶性判断
【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A.f(x) f(−x)是奇函数 B.f(x) |f(−x)|是奇函数
C.f(x)− f(−x)是奇函数 D.f(x) +f(−x)是奇函数
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数的是( )
A．y=|x2+x|B．y=2xC．y=x3+xD．y=lgx
2(★) 函数f(x)=9x+13x的图象关于( )对称
A．原点B．y=xC．x轴D．y轴
3(★★) 若函数f(x)的定义域是R，且对任意x , y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(−1).
【典题2】 若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，则f−1= .
角度2 判断函数的图像
【典题1】 函数f(x)=x32−x−2x的图象大致为( )
A． B．
C． D．
巩固练习
1(★) 若函数f(x)=2x−a2x+1的图象关于y轴对称，则常数a= .
2(★) 已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，f(−5)=17，则f(5)的值是 .
3(★★) 已知函数f(x)=g(x+1)−2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)= .
4(★★) 函数f(x)=(3x−1)lnx23x+1的部分图象大致为 ( )
A． B． C． D．
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 已知奇函数y=f(x)在(−∞ , 0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x−1)f(x−1)>0的解集为 ( )
A．{x|−32}
C．{x|−33}D．{x|−1【典题2】 设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为( )
A．13 , 1 B．(−1 , 32) C．(−∞ , 32) D．(−∞ , −1)∪(32 , +∞)
巩固练习
1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A．f(x)=1−x2B．f(x)=x−1x
C．f(x)=lg12|x|D．fx=2x
2(★) 如果奇函数f(x)在区间[1 , 5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5 , −1]上是( )
A．减函数且最大值为−6B．增函数且最大值为6
C．减函数且最小值为−6D．增函数且最小值为6
3(★★) 已知函数f(x)=x3+2x，则不等式f(2x)+f(x−1)>0的解集为 .
4(★★) 已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(−2) , b=f(1) , c=f(20.3)，则a,c,b的大小关系 .
5(★★★) 已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0 , +∞)上单调递增的有 .
①y=|f(x)|；②y=f(x2+x)；③y=f(|x|)；④y=efx+e−fx．g(x)
f(x)
Fx
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
函数的奇偶性
1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
② 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.
2 性质
① 偶函数关于y轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x) , 看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f−x=−f(x)，则y=fx是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数Fx=f(g(x))的奇偶性如下图

【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题1】 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1 , 2a]上的偶函数，那么a+b的值是 .
【解析】依题意得f(−x)=f(x)，∴b=0，
又 a−1=−2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，
∴a=13，∴a+b=13．
【典题2】 f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：
1f−x+fx=0; 2f−x−fx=−2 fx;
3fx⋅f−x≤0; 4fxf−x=−1
【解析】根据奇函数的定义可知f(−x)=−f(x)，则(1)，(2)正确；
对于3，fxf−x=−f2(x)≤0 , 故正确；
对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0 , 则(4)不正确，故答案为：(4).
角度2 判断函数的奇偶性
情况1 具体函数的奇偶性判断
【典题1】函数f(x)=4−x2|x+3|−3的图象关于 对称．
【解析】要使函数有意义，则4−x2≥0|x+3|−3≠0，即(x−2)(x+2)<0，
解得−2此时x+3=x+3，则函数fx=4−x2x+3−3=4−x2x+3−3=4−x2x，(化简函数形式很重要)
∵f−x=−4−x2x=−f(x)，
∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，
【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；
情况2 抽象函数的奇偶性判断
【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A.f(x) f(−x)是奇函数 B.f(x) |f(−x)|是奇函数
C.f(x)− f(−x)是奇函数 D.f(x) +f(−x)是奇函数
【解析】方法一 定义法
A选项：设F(x)=f(x)f(−x)，则F(−x)=F(x)为偶函数．
B选项：设G(x)=f(x)|f(−x)|， 则G(−x)=f(−x)|f(x)|.
∴G(x)与G(−x)关系不定．
C选项：设Mx=fx−f−x, ∴M−x=f−x−fx=−M(x)， M(x)为奇函数．
D选项：设N(x)=f(x)＋f(−x) , 则N(−x)=f(−x)＋f(x)．N(x)为偶函数．
故选C.
方法二 取特殊函数排除法
令fx=x，可知Fx=fxf−x=x2是偶函数，排除A，
令fx=x2，可知Fx=fxf−x=x4是偶函数，排除B，
可知Nx=fx＋f−x=2x2是偶函数，排除D.
【点拨】
① 判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x)，看下与f(x)的关系.偶尔结合函数图像也可以.
② 判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.
③ 一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数的是( )
A．y=|x2+x|B．y=2xC．y=x3+xD．y=lgx
【答案】 B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y=|x2+x|，f(−x)=|x2−x|≠f(x)，函数f(x)不是偶函数，不符合题意；
对于B，y=2x，f(−x)=2−x=2x=f(x)，函数f(x)是偶函数，符合题意；
对于C，y=x3+x，f(−x)=−(x3+x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数不是偶函数，不符合题意；
对于D，y=lgx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
故选：B．
2(★) 函数f(x)=9x+13x的图象关于( )对称
A．原点B．y=xC．x轴D．y轴
【答案】D
【解析】f(x)=9x+13x=9x3x+13x=3x+3−x．
则f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，
则函数f(x)的图象关于y轴对称，
故选：D．
3(★★) 若函数f(x)的定义域是R，且对任意x , y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．
【答案】 奇函数
【解析】在fx+y=fx+f(y)中，
令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.
再令y=－x，则f(x－x)=f(x)+f(－x)，即f(x)+f(－x)=0，
∴f(－x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(−1).
【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0⇒20＋2×0＋b=0，解得b=−1，
所以当x≥0时，fx=2x＋2x−1 ,
又因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(−1)=−f(1)=−(21+2× 1−1)=−3，故选A．
【点拨】若奇函数y=f(x)定义域内为I，且0∈I，则有f0=0.
【典题2】 若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，
则f−1= .
【解析】∵函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，
∴F(1)+F(−1)=0，即f(1)−2+f(−1)−2=0，则f(1)+f(−1)=4 ①，
∵G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，
∴G(1)=G(−1)，即f(1)+12=f(−1)+2，则f(1)−f(−1)=32 ②，
由①−②解得f(−1)=4−322=54．
角度2 判断函数的图像
【典题1】 函数f(x)=x32−x−2x的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=−x32x−2−x=x32−x−2x=f(x)，
(或由y=x3,y=2−x−2x均是奇函数，得f(x)=x32−x−2x是偶函数)
即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；
又f1=12−1−2=−23<0，可排除A；
故选：B．
【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.
巩固练习
1(★) 若函数f(x)=2x−a2x+1的图象关于y轴对称，则常数a= .
【答案】 −1
【解析】可知函数f(x)为偶函数，则f(−1)=f(1)，
即2−1−a2−1+1=2−a2+1，解得a=−1，
将a=−1代入解析式验证，符合题意．
2(★) 已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，f(−5)=17，则f(5)的值是 .
【答案】−13
【解析】∵gx=x5−ax3+bx是奇函数
∴g(−x)=−gx
∵f(−5)=17=g(−5)+2 ∴g(5)=−15
∴f5=g5+2=−15+2=−13.
3(★★) 已知函数f(x)=g(x+1)−2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)= .
【答案】 72
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)，
特别地，当x=0时，得到f(0)=0．
由f(x)=g(x+1)−2x取x=0，所以f(0)=g(1)−1，所以g(0)=1．
再分别令x=−1和x=1，得f(−1)=g(0)−2−1，f(1)=g(2)−2，
两式相加得f(−1)+f(1)=g(0)−2−1+g(2)−2，且f(−1)+f(1)=0，
∴f(0)+g(2)=52，
所以g(0)+g(1)+g(2)=1+52=72．
4(★★) 函数f(x)=(3x−1)lnx23x+1的部分图象大致为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 已知奇函数y=f(x)在(−∞ , 0)为减函数，且f(2)=0，则不等式
(x−1)f(x−1)>0的解集为 ( )
A．{x|−32}
C．{x|−33}D．{x|−1【解析】由题意画出f(x)的草图如下，
因为(x−1)f(x−1)>0，所以(x−1)与f(x−1)同号，
由图象可得−2解得−1故选：D．
【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.
【典题2】 设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为( )
A．13 , 1 B．(−1 , 32) C．(−∞ , 32) D．(−∞ , −1)∪(32 , +∞)
【解析】方法一
∵f(x)=lg(x2+1)
∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg3x−22+1>lgx−42+1，(代入原函数暴力求解)
则3x−22+1>x−42+1，解得x<−1或x>32.
方法二
根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，
有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，
设t=x2+1，则y=lgt，
在区间[0 , +∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1 , +∞)上为增函数，
则f(x)=lg(x2+1)在[0 , +∞)上为增函数，
f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，
解得x<−1或x>32，故选：D．
【点拨】
① 若函数y=f(x)是偶函数，则函数在y轴两侧的单调性是相反的，
若函数y=f(x)是奇函数，则函数在y轴两侧的单调性是相同的，
② 若函数y=f(x)是偶函数，在[0 , +∞)上递增，
则求解f(x2)>f(x1)等价于解不等式x2>|x1|，不要漏了绝对值.(如下图所示).

③ 遇到类似f(3x−2)>f(x−4)的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.
巩固练习
1(★) 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A．f(x)=1−x2B．f(x)=x−1x
C．f(x)=lg12|x|D．fx=2x
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x2+2x，为二次函数，其对称轴为x=−1，在(−∞,0)内不是增函数，不符合题意；
对于B，y=e|x|=ex,x≥0e−x,x<0，为偶函数，但在(−∞,0)内不是增函数，不符合题意；
对于C，y=2x−2−x，有f(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−f(x)，为奇函数，不符合题意；
对于D，y=1−1g|x|=1−lgx,x>01−lg(−x),x<0，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的函数，符合题意；
故选：D．
2(★) 如果奇函数f(x)在区间[1 , 5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[−5 , −1]上是( )
A．减函数且最大值为−6B．增函数且最大值为6
C．减函数且最小值为−6D．增函数且最小值为6
【答案】 A
【解析】当−5≤x≤−1时1≤−x≤5，
∴f(−x)≥6，即−f(x)≥6．从而f(x)≤−6，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f(x)在[−5,−1]是减函数．
故选：A．
3(★★) 已知函数f(x)=x3+2x，则不等式f(2x)+f(x−1)>0的解集为 .
【答案】(13 , +∞)
【解析】函数f(x)为奇函数，且函数f(x)为增函数，
则不等式f(2x)+f(x−1)>0等价为f(2x)>−f(x−1)=f(1−x)，
则2x>1−x，得3x>1，得x>13，
即不等式的解集为13,+∞
4(★★) 已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(−2) , b=f(1) , c=f(20.3)，则a,c,b的大小关系 .
【答案】a>c>b
【解析】f(x)是偶函数，且x>0时递增，所以f2>f20.3>f(1)，即a>c>b.
5(★★★) 已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0 , +∞)上单调递增的有 .
①y=|f(x)|；②y=f(x2+x)；③y=f(|x|)；④y=efx+e−fx．
【答案】①③④
【解析】因为f(x)是R上的奇函数且单调递增，
故当x>0时，f(x)>f(0)=0，
①g(−x)=|f(−x)|=|f(x)|=g(x)为偶函数，且当x>0时，g(x)=|f(x)|=f(x)单调递增，符合题意；
②g(−x)=f(x2−x)≠g(x)，故不满足偶函数；
③g(−x)=f(|−x|)=f(|x|)=g(x)，且 x>0时g(x)=f(x)单调递增，符合题意；
④g(−x)=ef−x+e−f−x=e−fx+efx=g(x)，
满足偶函数，且x>0时，f(x)>0，efx>1，
根据对勾函数的单调性可知g(x) =efx+e−fx单调递增，符合题意．g(x)
f(x)
Fx
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数