2024年云南省昭通市永善县九年级中考二模数学试题

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数学 试题卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1.本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1.在数，，，中，有理数的个数有（ ）
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.据云南省文化和旅游厅消息，2024年春节假日期间，云南省共接待游客4514.61万人次，实现旅游收入384.35亿元.其中数据384.35亿用科学记数法可表示为（ ）
A.B.C.D.
3.如图，已知，，则的度数是（ ）
A.75°B.95°C.105°D.115°
4.已知反比例函数的图象上有点、、，则关于、、大小关系正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.下列计算正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）

图（1） 图（2）
A.B.C.D.
7.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
8.下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，…….按此规律，图形⑩中共有个小三角形，这里的（ ）
A.87B.74C.62D.53
9.为保护人类赖以生存的生态环境，我国将每年的3月12日定为中国植树节.在植树节当天，某校组织各班级进行植树活动，事后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如下频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值）：
根据统计结果，下列说法正确的是（ ）
A.共有24个班级参加植树活动B.频数分布直方图的组距为2.5
C.有的班级种植树木的数量多于35棵D.有3个班级都种了45棵树
10.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长？”则（ ）
A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸
11.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求的值.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
13.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.元B.元C.元D.元
14.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.且D.且
15.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；②；③；④.
其中正确的结论有（ ）
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16.因式分解：____________.
17.在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转90°后至点，则点的坐标是______.
18.2024年3月14日是第五个“国际数学日”，为庆祝这个专属于数学的节日，某校开展主题为“浸润数学文化”的演讲比赛，七位评委为某同学打出的分数如下：9.9，9.4，9.6，9.5，9.3，9.7，9.2（单位：分）.若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的统计量是___________.（填“平均数”、“中位数”、“众数”或“方差”中的一项）
19.如图，正六边形的边长为3，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为___________.
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20.（本题满分7分）
计算：.
21.（本题满分6分）
如图，已知，，.
求证：.
22.（本题满分7分）
随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等.求甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
23.（本题满分6分）
为进一步抓实抓牢校园消防安全工作，我校决定开展消防知识问答活动，并选择一位分数最高的同学作为小小讲解员.分数并列第一的小云、小南准备以游戏方式决定胜负.现用4张形状、大小、质地相同的卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，卡片上的数字分别是、1、5、7，小云先抽一张卡片后不放回，小南后抽.
（1）若小云恰好抽到数字为5的卡片，直接写出小南抽出的卡片上的数字比5大的概率：__________；
（2）若小云抽到的卡片上的数字比小南的大，则小云胜；反之，则小南胜.你认为这个游戏是否公平？请用树状图或列表法说明理由
24.（本题满分8分）
如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，.
（1）若，求证：四边形是矩形.
（2）若，，，当四边形是菱形时，求菱形的面积.
25.（本题满分8分）
某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购每公斤甲型茶叶的单价为400元，采购每公斤乙型茶叶的单价是300元.
（1）该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30公斤，其中购进甲型茶叶的公斤数不少于购进乙型茶叶的，采购的公斤数为整数，那么该茶叶店有哪几种采购方案？
（2）在（1）的条件下，已知该茶叶店销售甲型茶叶1公斤可获得净利润100元，销售乙型茶叶1公斤可获得净利润120元，该茶叶店将这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为多少元？
26.（本题满分8分）
已知关于的二次函数（，为常数）.
（1）若，试说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
（2）若时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值.
27.（本题满分12分）
已知是的直径，是上的一点，的平分线交于点，是延长线上一点，且满足.

图1 图2
（1）如图1，求证：与相切；
（2）求证：；
（3）如图2，连接并延长，交于点，若，求的大小.
二○二四年初中学业水平模拟考试
数学参考答案及评分标准
（满分100分）
一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分。每小题只有一个正确选项）
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分）
16.17.18.中位数19.
三、解答题（本大题共8个小题，满分62分）
20.（本题满分7分）
解：
21.（本题满分6分）
证明：，，.
在与中，，
，.
22.（本题满分7分）
解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元，
由题意得，，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲型的单价：（万元），
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，乙型充电桩的单价为0.6万元.
23.（本题满分6分）
（1）
分
（2）解：公平，理由如下：
由列表知共有12种等可能结果，其中小云比小南大的有6种，小云比小南小的有6种，
小云获胜的概率为，小南获胜的概率为：，所以这个游戏是公平的.
24.（本题满分8分）
（1）证明：，.
在和中，.
，...
又，四边形是平行四边形.
又，.四边形是矩形.
（2）解：如图，连接，交于点.
四边形是菱形，，，.
在中，，，.
，.
在中，，，
，则.
菱形的面积.
25.（本小题满分8分）解：
（1）设购买乙型茶叶公斤，则购买甲型茶叶公斤.
根据题意得：，解得：，
为整数，，19，20
故该茶叶店有3种采购方案.
方案一：采购甲型茶叶12公斤，乙型茶叶18公斤；
方案二：采购甲型茶叶11公斤，乙型茶叶19公斤；
方案三：采购甲型茶叶10公斤，乙型茶叶20公斤.
（2）设茶叶全部售出的利润为元，
根据题意得：
，随的增大而增大.
又，时，有最大值，此时
答：这批茶叶全部售出可以获得最大净利润为3400元.
26.（本题满分8分）解：
（1），..
.
该函数图像与轴必有两个不同的交点；
（2）二次函数（，为常数），
抛物线开口向下，对称轴为直线.
把代入，得，
抛物线的顶点坐标为
当时，函数的最大值为.
若，则时函数有最小值，且函数最小值.
，解得.
若，则时函数有最小值，且函数最小值.
，解得（舍去）或.
综上所述，或.
27.（本小题满分12分）
（1）证明：如图，连接
是的直径，.，.
.
，.
又，.
，
即..
为的半径，与相切.
（2）平分，.
，.
，，..
，.，.
.
（3）解：如图，连接.
，.
由（2）知.
，即.
，，.
，.
，..
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
C
C
B
D
A
D
B
A
C
D
A
C
D
B
小云
小南
1
5
7
1
5
7