2023年云南省昭通市永善县中考数学二模试卷（含解析）

2023年云南省昭通市永善县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  国家统计局年月日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约亿人，将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，要使，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  遵义市年月日的最高气温是，最低气温是，遵义市这一天的最高气温比最低气温高(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，中，交于点，，：：，，，则的长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  在年“五四青年节”来临之际，实验中学开展“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如表：

其中被遮住的两个数据依次是(    )

A.  B. ， C.  D. ，

7.  下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：≌；；；其中正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  观察下列等式：
，，，，，，
根据其中的规律可得的结果的个位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点；、是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  已知，则______．

14.  如图，在底边为，腰为的等腰三角形中，垂直平分于点，交于点，则的周长______．

15.  如图，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足下面结论：≌；；；其中正确的结论是______．

16.  如下图，正方形的边在轴上，，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为            ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：
，其中．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．
作出与关于轴对称的，的坐标为______；
再将绕点顺时针旋转得到画出；
求出在的变换过程中，点到达点走过的路径长．

19.  本小题分
为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩满分分，分及分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的测试成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、分及以上人数所占百分比如表所示：

八年级名学生的测试成绩条形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中的，，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七、八年级共名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

20.  本小题分
如果一个两位正整数，某个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”如，，在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字，，，，的张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”
写出所有个位数字是的“两位递增数”：______；
请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是的倍数的概率．

21.  本小题分
如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，则▱的面积是______．

22.  本小题分
某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，需费用元；台型空调比台型空调的费用多元．
求型空调和型空调每台各需多少元；
若学校计划采购、两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

23.  本小题分
如图，中，，为的角平分线，以点为圆心，为半径作与线段交于点．
求证：为的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．








若点为线段的中点，求的值；
若为等腰直角三角形，，其面积小于．
求证：≌；
把称为，两点间的“距离”，记为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据同位角相等，两直线平行即可求解．
本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
【解答】
解：由图可以得出，是同位角，
当时，
可得．
所以要使，则的大小是．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查有理数的减法，用最高气温减去最低气温即可．
【解答】
解：．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：函数和一次函数，
当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项C正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项D错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
∽．
：：，，，
，，
，即，
解得．
故选A．
先根据题意得出∽，再由相似三角形的对应边成比例求出的长即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
则丙的得分是分；
方差．
故选：．
根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查了方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
 

7.【答案】 

【解析】解：球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，
故选A
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的分式方程的解为．
关于的分式方程的解为正数，
．
．
关于的分式方程有可能产生增根，
．
．
解关于的一元一次不等式组得：
．
关于的一元一次不等式组有解，
．
．
综上，且．
为整数，
或或或．
满足条件的整数的值之和是：．
故选：．
由关于的一元一次不等式组有解得到的取值范围，再由关于的分式方程的解为正数得到的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定的整数解，结论可求．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，故正确；
，，
是的垂直平分线，
，，故正确；
由已知和图形无法判断，故错误；
故选：．
根据题意和图形，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方以及完全平方公式，掌握计算法则是正确计算的前提．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方以及完全平方公式进行计算即可．
【解答】
解：，因此选项A不符合题意；
       ，因此选项B不符合题意；
     ，因此选项C不符合题意；
     ，因此选项D符合题意；
       故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：由已知可知，，，，
末尾数字每四个一组循环，
，，，四个数的末尾数字之和是，
又，
，
的结果的个位数字是，
故选：．
由已知发现末尾数字每四个一组循环，，，，四个数的末尾数字之和是，又由于，则可求解．
本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键．
首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】
解：连接，，，，

，是半圆弧的三等分点，
，
，
，
的长为，
，
解得：，
，
，
，
，
和同底等高，
和面积相等，
图中阴影部分的面积为：．
故选D．  

13.【答案】 

【解析】解：当时，，
方程的解不是，
两边都除以，得：，
则，
两边平方，得：，
，
，即，
，
故答案为：．
先将方程两边都除以得出，再两边平方可得，继而知，即，最后两边开方即可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握方程的解的概念、分式的性质、完全平方公式等知识点．
 

14.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
根据垂直平分，可得，进而，即可求得的周长．
本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，正确；
，
，
在和中，，
≌，
；正确；
，正确，不正确；
故答案为：．
证明≌得出正确；在证明≌得出；正确；得出，正确，不正确；即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点的坐标．
根据正方形的性质得出另外两个顶点、的坐标，继而得出对角线的交点的坐标，代入解析式求解可得．
【解答】
解：点、，
点、，
则对角线、交点的坐标为，
根据题意，将点代入解析式，
得：，
整理，得：，
解得：或，
故答案为：或．  

17.【答案】解：原式


，
，
原式． 

【解析】先化简分式，然后代入求值，根据负整数指数幂、零指数幂以及绝对值计算出的值．
本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，属于基础计算题，熟记计算法则即可解答．
 

18.【答案】
如图，为所作；

，
所以点到达点走过的路径长 

【解析】解：如图，为所作；；
故答案为；

利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、，从而得到；
先计算出的长，然后利用弧长计算点到达点走过的路径长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

19.【答案】解：七年级名学生的测试成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，
由条形统计图可得，，
，
即，，；
八年级学生掌握垃圾分类知识较好，
理由：八年级的分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；
从调查的数据看，七年级人的成绩不合格，八年级人的成绩不合格，
参加此次测试活动成绩合格的学生有人，
即估计参加此次测试活动成绩合格的学生有人． 

【解析】根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到、、的值；
根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可；
根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少．
本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，掌握数形结合的思想是关键．
 

20.【答案】，，；
一共有种可能，组成的“两位递增数”刚好是的倍数的有种可能，
所求概率． 

【解析】解：画树状图如图所示：

所有个位数字是的“两位递增数”：，，，
故答案为，，；

一共有种可能，组成的“两位递增数”刚好是的倍数的有种可能，
所求概率．
画树状图列出所有“两位递增数”，根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】证明：，
，
即，
，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
 

【解析】见答案
解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
▱的面积，
故答案为：．
根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设型空调和型空调每台各需元、元，
，解得，，
答：型空调和型空调每台各需元、元；
设购买型空调台，则购买型空调台，
，
解得，，
、、，共有三种采购方案，
方案一：采购型空调台，型空调台，
方案二：采购型空调台，型空调台，
方案三：采购型空调台，型空调台；
设总费用为元，
，
当时，取得最小值，此时，
即采购型空调台，型空调台可使总费用最低，最低费用是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
根据题意和中的结果，可以解答本题．
 

23.【答案】 证明：过作于，
，
，
为的角平分线，，
，
即为的半径，
，
为的切线；
解：设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
． 

【解析】过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
设的半径为，则，在解直角三角形即可得到结论．
本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：点为线段的中点，，
，即：点坐标为，
又轴，，
，
；
证明：为等腰直角三角形中，，，
，
又轴，
，
，
在和中，，
≌；
解：设点坐标为，
≌，
，，
，
设直线解析式为：：，将两点代入得：
则，
解得，．
当时，，，，符合题意，
点，，
；
当时，，，，不符题意，舍去．
综上所述：． 

【解析】

【分析】
此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质以及新定义问题等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．
由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出；
由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明≌；
由“距离”的定义可知为两点的水平距离与垂直距离之和，设点，由≌可得，进而代入直线解析式求出和值，根据定义表示出即可解答．