名师原创——北京2024年中考数学模拟冲刺卷（含详细答案解析）

这是一份名师原创——北京2024年中考数学模拟冲刺卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59 000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59 000用科学记数法表示应为
A. 0.59×105B. 5.9×105C. 5.9×104D. 5.9×103
2.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是.( )
A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥
4.如图，直线l1//l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD=30∘，则∠1度数为( )
A. 30∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘
5.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则乙与丙恰好被选中的概率是( )
A. 0.2B. 14C. 13D. 12
6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足b<−a，则b的值可以是( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
7.小明正确画出函数y=x−1x+2的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是( )
①x的取值范围是x≠−2；
②该函数与直线y=x+2没有交点；
③该函数与y轴只有一个交点；
④该函数的图像无限接近直线y=1，但永远与直线y=1不相交．
A. ①②③④B. ①③C. ①②③D. ②③④
8.如图，AB为⊙O的直径，C为半径OA上一点(不与点O，A重合)AC的长度为a，CB的长度为b，过点O作AB的垂线交⊙O于点D，则下列结论中，正确的个数为( )
①c=a+b2； ②c> ab； ③ac+bc>2ab； ④2c2=a2+ab .
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在函数y= x−2中，自变量x的取值范围是__________.
10.用一个x的值说明“ x2=x”是错误的，则x的值可以是__________.
11.如图，若∠1+∠2+∠3+∠4=296∘，则∠5的度数为__________ ∘.
12.计算：(x2x−1−1x−1)⋅1x+1=__________.
13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸.问井深几何?”意思是：如图，井径BF=5尺，立木高AB=5尺，BE=4寸=0.4尺，则井深BC为__________尺．
14.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于__________cm.
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=120 ∘，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA=BE，则∠ADB的大小为__________.
16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三(1)班举办了“古诗词”大赛．现有小静、小明、小红三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(不并列)，对应名次的得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c均为正整数)；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，下列说法正确的是__________.
①小静六轮比赛中没有获得过第二名;②小明有三轮比赛获得第三名;③小红可能有一轮比赛获得第一名;④每轮比赛第一名得分 a为5.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.计算：(3−π)0−(14)−1+ 12−6cs30∘.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
解不等式组：x>x+23,5x−3<5+x.
19.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根.
20.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠DCB=90∘，AD//BC，点E在BC上，AB//DE，AE平分∠BAD.
(1)求证：四边形ABED为菱形；
(2)连接BD，交AE于点O.若AE=6，sin∠DBE=35，求CD的长.
21.(本小题6分)
已知直线l1:y=k1x+b1过点A(−2,0)和点B(0,1)，直线l2：y=k2x+b2与l1关于y轴对称.
(1)求l2的解析式；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=mx−2的值都小于函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的值，直接写出m的取值范围.
22.(本小题5分)
小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20cm，宽10cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的925，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
23.(本小题5分)
某校初三年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了20名学生在应用此种方法锻炼前进行了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩(满分30分)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.第一次体育测试成绩统计表：
b.第二次体育测试成绩统计图：
c.两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
d.第一次体育测试成绩在15≤x<20这一组的数据是：15，16，17，17，18，18，19，19，19.
e.第二次体育测试成绩在15≤x<20这一组的数据是：17，19.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)m=______，n=______；
(2)求第二次体育测试成绩的及格率(大于或等于18分为及格)；
(3)下列推断合理的是_________.
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩都提升了；
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是24分，他觉得年级里大概有240人的测试成绩比他高，所以他决心努力锻炼，提高身体素质．
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F在弧BD上，过点F作⊙O的切线，分别交AB，CD的延长线于点N，H.
(1)求证：HG=HF；
(2)若sin∠N=35，BN=2，求AF的长.
25.(本小题5分)
如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T.设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．

(1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：
表中a的值为______，b的值为______；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
(3)结合函数图象，解决以下问题：
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，请直接写出x的取值范围；
②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A−C−D−E−B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地S应该修建在何处？
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+bx+c上，设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)若抛物线经过(2,c)点，求t的值；
(2)对于t−3≤x1≤t+1，1≤x2≤2，存在y1(3)当a≤x≤a+2时，记函数的最大值为M，最小值为m，直接写出M−m的取值范围.
27.(本小题7分)
已知等腰△ABC中，AB=AC，D为线段BC上的点，且AD=CD，点E在线段CD上(不与端点重合)，以AE为斜边向右侧作Rt△AEF，连接CF并延长，交线段AB的反向延长线于点G.
(1)如图1，当∠ABC=45∘时，若∠EAF=45∘，CE=1，BE=3，求线段AF的长；
图1
(2)如图2，当∠ABC=α(0∘<α<45∘)时，若∠EAF=∠ABC，求证：点F为线段CG的中点.
图2
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于平面内一点P，若在圆上存在两点M、N满足：点P和点N关于点M 对称，则称点P为⊙O的完美对称点.
(1)下列各点中，⊙O的完美对称点有____________________；
P1(3,0)P2(−1,−2)P3(2,4)
(2)若直线y=mx+5m(m≠0)上存在⊙O的完美对称点，求m的取值范围；
(3)已知⊙T的圆心为T(t,0)，半径为1，如果直线l:y= 3x+t存在⊙T的完美对称点，直接写出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【解答】
解：59000=5.9×104.
故选：C.
2.【答案】D
【解析】A是轴对称图形，不是中心对称图形；
B是中心对称图形，不是轴对称图形；
C是轴对称图形，不是中心对称图形；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选D.
3.【答案】B
【解析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．
解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意；
长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意；
圆柱的两个底面是圆，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意；
正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意．
故选：B.
4.【答案】C
【解析】解：∵l1//l2,
∴∠1=∠ADC.
∵CA⊥AD，∠ACD=30∘，
∴∠ADC=90∘−30∘=60∘，
∴∠1=60∘.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】解：从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学的所有可能：甲乙，甲丙，乙丙三种可能，每种可能出现几率相等，恰好选中乙丙只有一种可能，所以乙与丙恰好被选中的概率是13.
故选C.
6.【答案】D
【解析】解：从实数a在数轴上的位置可知1因为b<−a，所以b的值可以为−2.
故选D.
7.【答案】A
【解析】解：函数y=x−1x+2的自变量x的取值范围即分母x+2≠0，所以x≠−2，所以①正确；
y=x−1x+2与y=x+2联立得：x2+3x+5=0，方程无解，所以该函数y=x−1x+2与直线y=x+2没有交点，所以②正确；
函数与y轴的交点即令x=0，y=−12 ，所以该函数与y轴交于点(0,−12)，所以③正确；
y=x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2，所以y−1=−3x+2，所以y≠1，图像无限接近，但永远不可能与之相交，所以④正确.
故选A.
8.【答案】C
【解析】解：a+b=直径，c为半径，所以①c=a+b2正确；
过点C作AB的垂线与⊙O的弧AD交于点E，连接AE，BE，由射影定理可得CE2=ab，CE<半径c，所以②c> ab正确；
③左边ac+bc=(a+b)c=2c2，由②c> ab，所以c2>ab，所以③ac+bc>2ab正确；
④右边a2+ab=a(a+b)=2ac，所以④如果正确需要2c2=2ac，因此需要a=c，因为C为半径OA上不与点O重合的点，所以a≠c，所以④不正确.
故选C.
.
9.【答案】x≥2
【解析】解：在函数y= x−2中，有x−2≥0，解得x≥2，
故其自变量x的取值范围是x≥2.
故答案为x≥2.
根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10.【答案】−1 (答案不唯一)
【解析】解：∵ x2=|x| ，
要说明“ x2=x ”是错误的，则 x<0 ，
故答案为： −1 (答案不唯一).
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质即可求解．
11.【答案】116
【解析】解：反向延长∠5的任意一条边如图所示，根据多边形的外角和为360∘，知∠1+∠2+∠3+∠4+∠6=360∘，∵∠1+∠2+∠3+∠4=296∘，∴∠6=64∘，
又∵∠5+∠6=180∘，∴∠5=116∘.
故答案为：116.
12.【答案】1
【解析】【分析】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】
解：原式=x2−1x−1⋅1x+1
=x−1x+1x−1⋅1x+1
=1.
故答案为：1.
13.【答案】57.5
【解析】解：由题意可知AB//DF，所以△ABE∽△DFE，
所以AB:DF=BE:EF，
因为AB=5，BE=0.4，EF=5−0.4=4.6，
所以DF=BC=57.5(尺)，即BC=57.5尺.
故答案为：57.5
14.【答案】10
【解析】解：连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC=90∘，
∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16cm，AD//BC，∠BCD=∠ADC=90∘，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD=EF=4，∠AFO=90∘，AF=DF=12AD=12×16=8cm，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：AF2+OF2=OA2，
设餐盘的半径为x，
则OA=OE=x，
∴OF=OE−EF=x−4，
即82+(x−4)2=x2，
解得：x=10，
∴餐盘的半径为10cm.
故答案为：10.
15.【答案】45∘
【解析】解：∵ABCD是⊙O内接四边形，∠ADC=120 ∘，
∴∠ABC=60∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBC=30∘，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=75∘，
∵∠DAC，∠DBC都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC=30∘，
∴∠ADB=45∘.
故答案为：45∘.
16.【答案】①④
【解析】解：六轮的总得分26+11+11=48，即6a+6b+6c=48，所以a+b+c=8.
小明六轮合计11分，所以a+b+c+其它3轮的成绩=11，a，b，c均为正整数，a>b>c，所以小明第一轮，第三轮，第四轮的得分都是c，所以c=1，小明的得分a+b+4c=11，所以a+b=7，
根据小明第一轮得分是c，小静得分a，可以得到第一轮小红得分是b，小红的得分3b+其他三轮成绩=11，因为其他三轮至少得分为3分，所以3b<8，又因为b>c=1，所以b=2，由a+b=7可知a=5，
小静六轮得分26分，只有第二轮1分，其他五轮得分都是5分，所以①对；小明有四轮比赛获得第三名，②不正确；小红六轮比赛5轮获得第二名，一轮获得第三名，③不对，根据前面的分析④对.
故答案为：①④.
17.【答案】解：原式=1−4+2 3−6× 32
=1−4+2 3−3 3
=−3− 3.
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用二次根式以及负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
18.【答案】解： {x>x+23①5x−3<5+x②
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：1
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集．
19.【答案】解：(1)∵方程有实数根，
∴(−2)2−4×1×(3m−2)≥0，
∴m≤1；
(2)∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为x2−2x+1=0，
∴x1=x2=1.
【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解法．
(1)一元二次方程有实数根，说明b2−4ac≥0，据此进行求解即可；
(2)求出m，再由因式分解法解一元二次方程即可．
20.【答案】(1)证明：∵AD//BC，AB//DE，
∴AD//BE，∠DAE=∠AEB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BA=BE，
∴平行四边形ABED为菱形；
(2)解：∵四边形ABED为菱形，AE=6，
∴AO=OE=3，BO=DO，AE⊥BD，
在Rt△BOE中，sin∠DBE=OEBE=35，
∴BE=5，
∴BO= BE2−OE2= 52−32=4，
∴BD=8，
∴S菱形ABED=12AE⋅BD=BE⋅CD，
∴CD=6×82×5=245.
【解析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解直角三角形．解题的关键：(1)熟练掌握菱形的判定方法；
(2)解直角三角形求出BE，BO.
(1)由已知直接证得四边形ABED为平行四边形，再由角平分线定义和等腰三角形的判定证得BA=BE，由菱形的判定定理即可证得四边形ABED为菱形；
(2)在Rt△BOE中，解直角三角形求出BE，BO，根据S菱形ABED=12AE⋅BD=BE⋅CD，即可求出CD.
21.【答案】解：(1)把A(−2,0)和点B(0,1)代入直线l1的解析式，
可得−2k1+b1=0b1=1，解得k1=12b1=1，
∴l1的解析式为y=12x+1，
∵直线l2l1关于y轴对称，
∴l2的解析式为y=-12x+1；
(2)由题知一次函数y=mx−2图象经过定点(0,−2)，
当一次函数y=mx−2图象经过(2,0)时，m取得最大值，把(2,0)代入一次函数y=mx−2，得m=1，故m的最大值是1；
当一次函数y=mx−2图象与直线l1平行时，m取得最小值，故m的最小值是12，
所以m的取值范围为12≤m≤1.

【解析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元不等式的关系，一次函数与几何变换，熟练掌握相关知识是解题的关键.
(1)利用待定系数法求出直线l1的解析式，进而根据直线l2l1关于y轴对称可得直线l2的解析式；
(2)由一次函数y=mx−2 解析式可知y=mx−2图象经过定点(0,−2)，当一次函数y=mx−2图象经过(2,0)时，m取得最大值，当一次函数y=mx−2图象与直线l1平行时，m取得最小值，据此进行解答即可.
22.【答案】解：因为正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，
所以可设中间长方形的宽为xcm，则长为2x cm，
由四周边衬所占的面积是整个画轴面积的925，可列方程(2x20)2=1−925，解得x=8，
由左、右边衬等宽，可得左、右边衬的宽为(20−2×8)÷2=2(cm).
【解析】本题考查相似图形的应用，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.
设中间长方形的宽为xcm，则长为2x cm，由题意可知画轴正中央与画轴相似，进而根据相似多边形的性质列方程进行计算即可.
23.【答案】解：(1)m=20−1−1−9−3=6，
n=(19+19)÷2=19，
故答案为：6，19 ；
(2)由b中的扇形统计图和e中的数据可知，
1+20×25%+20×60%20×100%=90%，
即第二次体育测试成绩的及格率是90%；
(3)①是用平均分估计整体数据的情况是合理的；②中第二次测试高于24分的比例占60%，400×60%=240人，是合理的.
故答案为：①②.
【解析】本题主要考查扇形统计图，统计表，平均数，中位数，从统计图表中获取有效信息是解题的关键.
(1)根据题意和表格中的数据进行计算即可；
(2)根据b中的扇形统计图和e中的数据进行计算即可.
(3)根据题意和题目中的信息可以判断①②是否合理.
24.【答案】解：(1)设∠HFG为α，
∵FN是⊙O的切线，
∴OF⊥HN，
∴∠HFO=90∘，∠OFA=90∘−α，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=90∘−α，
∵弦CD⊥AB，
∴∠AGE=α，
∴∠HGF=α，即∠HGF=∠HFG，
∴HG=HF；
(2)连接BF.
∵AB是直径，
∴∠AFB=90∘.
在Rt△OFG中，sin∠N=35，
∴OF：ON=3：5，
又BN=2，
∴OF=OB=3，AB=6，
由勾股定理，知FN=4.
∵FN是⊙O的切线，
∴由弦切角定理知∠BFN=∠FAN，
又∠N为公共角，
∴△BFN∽△FAN，
∴BF:AF=BN:NF=1:2，
∴BF:AF:AB=1:2: 5，
又AB=6，
∴AF=12 55.
【解析】本题考查切线的性质，圆周角定理，弦切角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键.
(1)由切线的性质和等腰三角形的性质证明∠HGF=∠HFG，进而可证明HG=HF；
(2)解直角三角形求出OF=OB=3，AB=6，FN=4，再证明△BFN∽△FAN，由相似三角形的性质可得BF:AF=BN:NF=1:2，进而得到BF:AF:AB=1:2: 5，即可求出AF的长.
25.【答案】解：(1)A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米，
当x=2.0时，T位于点C，此时y=NC+CD+DM=2.3+1+3.2=6.5(千米)；
当x=4.0时，y=NC+CD+DT+DT+DM=2.3+1+1+1+3.2=8.5(千米).
故答案为：6.5，8.5；
(2)函数的图象如下：
(3)①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间(含C、D两点).
②由①可知，若要使物流基地S沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地S应该修建在C、D之间(含C、D两点);又由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，
故物流基地S应该修建在D处.

【解析】本题主要考查一次函数的应用，熟练运用数形结合思想进行分析是解题的关键.
(1)x=2.0时，y=NC+CD+DM;当x=4.0时，y=NC+CD+DT+DT+DM，将相关线段的长代入即可得答案;
(2)根据表格数据画出函数图象即可;
(3)①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案;
②结合①的结论及图③分析可得答案.
26.【答案】解：(1)把(2,c)代入抛物线解析式，得−4+2b+c=c，所以b=2，
所以t=−b2a=1；
(2) 直线x=t−3与x=t+3关于直线x=t对称，所以x=t−3与x=t+3的函数值相等，
所以当1≤x2≤2，存在y1t−3,1解得−2(3)如图3，在对称轴同侧，离对称轴越远，当自变量的变化一定时，函数值的变化量越大，所以当a≤x≤a+2时，最大值 M与最小值为m的差无最大值；
如图4，当x=a和x=a+2到抛物线的对称轴距离相等时，最大值M与最小值为m的差最小=1，
图3 图4
即M−m≥1.

【解析】见答案
27.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD=45∘，
∴∠ADC=90∘，
∴AD=BD=CD，
∵CE=1，BE=3，
∴BC=4，
∴AD=BD=CD=2，
∴DE=1，
∴AE= AD²+DE²= 1+4= 5，
∵∠EAF=45∘，EF⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE= 2AF，
∴AF= 102；
(2)证明：如图2，过点C 作CH//BG，交AF的延长线于H，在AD上截取AN=CE，连接 NE，EH.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD=DC，AN=CE，
∴DN=DE，∠DAC=∠DCA，
∴∠DNE=∠DEN，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC=180∘，∠DNE+∠DEN+∠ADC=180∘，
∴∠DNE=∠DAC，
∴∠DNE=∠DAC=∠DCA=∠ABC，
∵BG//CH，
∴∠B+∠BCH=180∘，
∵∠DNE+∠ANE=180∘，
∴∠ANE=∠BCH，
∴∠EAF=∠ABC，
∴∠EAF=∠DAC，
∴∠DAE=∠CAF，
∵∠EAF=∠ABC，
∴∠EAF+∠BCH=180∘，
∴点A，E，C，H 四点共圆，
∴∠CAH=∠CEH，
∴∠DAE=∠CEH，
又∵AN=CE，
∴△ANE=△ECH(ASA)，
∴AE=EH，
∵∠AFE=90∘，
∴AF=FH，
∵BG//CH，
∴∠G=∠FCH，∠GAF=∠CHF，
∴△AGF≅△HCF(AAS)，
∴GF=CF，
∴点 F为线段CG的中点.

【解析】见答案
28.【答案】解：(1)P1，P2
当M(1,0)，N(−1,0)时，点P1(3,0)为⊙O的完美对称点；
当M(0,−1)，N(1,0)时，点P2(−1,−2)为⊙O的完美对称点.
(2)如图1：直线y=mx+5m(m≠0)过定点(−5,0)，再由“双垂直”的模型知当圆心到直线y=mx+5m的距离小于等于3时，该直线上才存在⊙O的完美对称点.
故当直线y=mx+5m经过P(−95,125)或P(−95,−125)存在⊙O的完美对称点，把这两个点依次代入直线解析式，可求得
m=34或−34，
故m的取值范围是0 图1
(3)t的取值范围是3−3 3≤t≤3 3−3.

【解析】见答案第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小静
a
a
26
小明
a
b
c
11
小红
b
b
11
分组/分
人数
5≤x<10
1
10≤x<15
1
15≤x<20
9
20≤x<25
m
25≤x≤30
3
平均数
中位数
众数
第一次成绩
19.7
n
19
第二次成绩
25
26.5
28
x(千米)
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y(千米)
10.5
8.5
a
6.5
b
10.5
12.5