2024年北京市人大附中本部中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年北京市人大附中本部中考数学模拟试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×104
3．（2分）下列各组角中，互为余角的是（ ）
A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°
4．（2分）下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．两个全等三角形的对应高相等
D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞bB．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜0
7．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.55
8．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2分）若有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 ．
11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为 ．
12．（2分）分式方程的解x＝ ．
13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ ．
14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为 ．
15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ °．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ ＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k的值．
22．（6分）在△ABF中，C为AF上一点且AB＝AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．
24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米（精确到0.1）；
（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．
（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．
（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．
（1）求∠BFD的度数；
（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．
①依题意补全图形；
②若BF+CF＝k•CN，求k的值．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．
（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）；
（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；
（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．
2024年北京市人大附中本部中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．
故选：B．
3．（2分）下列各组角中，互为余角的是（ ）
A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°
【分析】根据余角的定义判断即可．
【解答】解：45°+45°＝90°，
故选：C．
4．（2分）下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．两个全等三角形的对应高相等
D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．
【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；
B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；
C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；
D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；
故选：D．
5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．
【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，
所以x＞3的概率是．
故选：A．
6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．a＞bB．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜0
【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
7．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.55
【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，
即众数是1.7；
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，
所以中位数是1.6．
故选：B．
8．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，
则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，
解得：k＝，
故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），
由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，
则将（12，4）代入得：a＝48，
故函数解析式为：y＝（x≥8）．
故函数图象D正确．
故选：D．
二、填空题
9．（2分）若有意义，则x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
∴x≠﹣1；
故答案为：x≠﹣1．
10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 a（a﹣b）2 ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，
故答案为：a（a﹣b）2．
11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，
∴n＝4，
故答案为：4．
12．（2分）分式方程的解x＝ ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：
2x＝3﹣2×2（x﹣1），
去括号得：
2x＝3﹣4x+4，
移项，合并同类项得：
6x＝7，
∴x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴x＝．
故答案为：．
13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ 100° ．
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故答案为：100°．
14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为 6 ．
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，
∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．
故答案为：6．
15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ 30 °．
【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BC＝BE，
∴∠C＝∠BEC＝70°．
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．
故答案为：30．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟．
【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．
【解答】解：3+30＝33（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×+2+2
＝1﹣1+2+2
＝4．
18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ OBP ＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， OB ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【解答】证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．
故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）将x＝0代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝或﹣．
∴m的值为或﹣．
21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k的值．
【分析】由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0，根据+＝10，利用根与系数的关系构建方程求出k即可；
【解答】解：由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0，
由题意：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵+＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴+＝10，
解得k＝，
经检验k＝是分式方程的解．
∴k＝．
22．（6分）在△ABF中，C为AF上一点且AB＝AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠CAB，等量代换得到∠1＝∠CBF，求出∠CBF+∠2＝90°，然后，根据切线的判定即可得到结论；
（3）根据已知条件得到sin∠1＝，求出BE＝AB•sin∠1＝，根据勾股定理得到BC＝2BE＝2，由勾股定理得AE＝＝2，于是得到sin∠2＝，cs∠2＝，根据三角函数的定义得到AG＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，所示⊙O为所求作的圆；
（2）连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠BAF＝2∠CBF，
∴∠CBF＝CAB，
∴∠1＝∠CBF，
∴∠CBF+∠2＝90°，
∵即∠ABF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵∠AEB＝90°，AB＝5，
∴BE＝AB•sin∠1＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，
∴sin∠2＝，cs∠2＝，
在Rt△CBG中，GC＝BC sin∠2＝2•＝4，GB＝BCcs∠2＝2，
∴AG＝3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴，
∴BF＝＝．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②根据①结合图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入函数y＝（x＞0）中，
∴2＝．
∴m＝2；
（2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．
当点C是线段BD的中点时，
∴CE＝CF＝1．
∴点C的纵坐标为1，
把y＝1代入函数y＝中，
得x＝2．
∴点C的坐标为（2，1），
把C（2，1）代入函数y＝2x+b中得：1＝4+b，
解得b＝﹣3，
②当C在AB的上方时，C（，4），把C（，4）代入函数y＝2x+b中得：4＝1+b，
得b＝3，则BC＞BD时，则b＞3，
故b的取值范围为b＞3．
24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 7.0 米（精确到0.1）；
（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）把x＝1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+5.6，
将（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+5.6得a＝﹣0.4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.4（x﹣3）2+5.6，
当y＝0时，0＝﹣0.4（x﹣3）2+5.6，
解得x＝3+或3﹣（舍去），
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为（3+）米，
故答案为：2，（3+）；
（3）当x＝3﹣1.5＝1.5时，y＝﹣0.4×2.25+5.6＝4.7＞4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．
（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：
（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
【分析】（1）x＝1.0时，y＝2TC+NC+CD+DM；x＝3.0时，y＝NC+CD+DM，将相关线段的长代入即可得答案；
（2）根据表格数据画出函数图象即可；
（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；
②结合①的结论及图③分析可得答案．
【解答】解：（1）∵A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米，
∴当x＝1.0时，T位于AC中点处，
此时y＝2TC+NC+CD+DM＝2+2.3+1+3.2＝8.5（千米）；
当x＝3.0时，T位于D处，
y＝NC+CD+DM＝2.3+1+3.2＝6.5（千米）
故答案为：8.5，6.5．
（2）函数的图象如下：
（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，
故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）．
故答案为：C、D之间（含C、D两点）．
②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点），
由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，
故答案为：点D处．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．
（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）①由题意可得出二次函数解析式是y＝x2+1，对称轴为y轴，即可画出图形G，如图1，得出图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大，即可得出结论；②通过计算可知，P（m﹣2，5），Q（m+2，5）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+1，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）①y1＜y2．
理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2+1，对称轴为y轴，
∴图形G大致图象如下，
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大．
∵x1＜x2，
∴y1＜y2；
②对于y＝x2﹣2mx+m2+1，令x＝m﹣2，则y＝（m﹣2）2﹣2m（m﹣2）+m2+1＝5，
令x＝m+2，则y＝（m+2）2﹣2m（m+2）+m2+1＝5，
∴该抛物线上两点P（m﹣2，5），Q（m+2，5）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点．
分类讨论：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，点P，Q位置不动，
∴y1＝y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点P，Q经翻折之后的对应点为点M，N，
∴y1＝y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，
∴y1＞y2，符合题意，
此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2，
综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．
27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．
（1）求∠BFD的度数；
（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．
①依题意补全图形；
②若BF+CF＝k•CN，求k的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②首先证明∠BFC＝120°．如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，证明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，再证明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等边三角形，可得结论
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵BD＝AE，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠ABE＝∠BCD，
∵DFB＝∠FBC+∠BCD＝∠FBC+∠ABE＝∠ABC＝60°；
（2）①依题意补全图形如图1所示；
②如图2中，由（1）知△ABE≌△BCD，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
∴k的值为2．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．
（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是 P1，P2 （填字母）；
（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；
（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．
【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；
（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2，建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，结合图形，即可求解．
【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，
∴∠AOP＝90°，
∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（﹣，﹣1），P3（﹣2，1）中，
∴AO＝，OP1＝，AP1＝，则＝，
∴∠AOP1＝90°，
∴OP2＝，AP2＝，则＝，
∴∠AOP2＝90°，
如图1，∠AOP3≠90°，
∴O关于点A的“联络点”是P1，P2；
故答案为：P1，P2；
（2）如图2，依题意，点C关于点D的“联络点”P在CD的垂线上且过点C，
∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），D（1，0），
∴OD＝1，OC＝2，
∴tan∠COD＝＝，CD＝＝，
∵tan∠CPD＝，
∴CP1＝2，
∴DP1＝5，
则P1（0，﹣4），
设直线CP的解析式为y＝kx﹣4，
则0＝2k﹣4，
解得：k＝2，
∴直线CP的解析式为y＝2x﹣4；
设P（p，2p﹣4），
∵tan∠CPD＝，
∴＝，
∴CP＝2CD＝2，
∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝，
解得：p＝4或p＝0，
∴P（4，4）或P（0，﹣4）；
（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，
过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，∠PMN＝90°，
∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，
∴∠PMQ＝∠ONM，
∴△PQM≌△MON（AAS），
∴ON＝QM，OM＝QP，
设M（0，m），
∵N（4，0），
∴OQ＝4+m，PQ＝m，
∴P（m，4+m），
即点P在直线y＝x+4上，
设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），
依题意可知，P在⊙T上，
如图4，当PS与⊙T相切时，TS＝＝2，
∴T（0，2）或T（0，6），
结合图形可得2≤t≤6；
如图5，根据对称性可得﹣2≤t≤﹣6也符合题意，
综上所述，2≤t≤6或﹣2≤t≤﹣6．
时间x（分钟）
0
2
4
6
8
10
12
16
20
含药量y（毫克）
0
1.5
3
4.5
6
4.8
4
3
2.4
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
d（米）
0
1
2
3
4
…
h（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
x/千米
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y/千米
10.5

6.5

8.5
10.5
12.5
时间x（分钟）
0
2
4
6
8
10
12
16
20
含药量y（毫克）
0
1.5
3
4.5
6
4.8
4
3
2.4
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
d（米）
0
1
2
3
4
…
h（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
x/千米
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y/千米
10.5
8.5
6.5
6.5
8.5
10.5
12.5