北京市2024年中考数学模拟试卷 1（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷 1（含解析），共29页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）新型冠状病毒是一种新发现的冠状病毒，由于人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感．多数感染者可以导致肺炎，临床表现以发热为主，并干咳、乏力、呼吸困难等．所以我们要接种疫苗，科学防范．世界卫生组织2022年11月29日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达638175811例，数据638175811用科学记数法表示约为（ ）
A．6.38×108B．6.38×107C．63.8×107D．638×106
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
4．（2分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．a5＜b5C．1a＞1bD．﹣a＞﹣b
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−54B．k≥−54C．k＜54D．k≤54
6．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
7．（2分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
8．（2分）如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．∠D＝60°B．∠DBC＝50°C．∠ACD＝60°D．BE＝10
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：x4﹣4x2＝ ．
11．（2分）方程1x−1＝0的解是 ．
12．（2分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=−3x 的图象上，若 x1•x2＝2，则 y1•y2 的值为 ．
13．（2分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%，则该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是 ．
14．（2分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．
15．（2分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，垂足为M，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5，则AD＝ ．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 ．（写出一种符合条件的排序）
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2．
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
x+1≥x22(x+3)＞3x+2．
19．（5分）若x为整数，且4x+8x2−4的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝6，tan∠CAB=34时，求AE的长．
21．（6分）某商场从厂家购进100个整理箱，按进价的1.5倍进行标价．当按标价卖出80个整理箱后，恰逢元旦，剩余的部分以标价的九折出售完毕，所得利润共1880元，求每个整理箱的进价．
22．（5分）已知，如图，一次函数的图象经过了点P（3，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点M在y轴上，且△ABM的面积为154，求点M的坐标．
23．（5分）为了选拔一名学生参加新站区演讲比赛，对两名备赛选手进行了校内选拔，10名评委打分如下（单位：分）
甲：50，60，60，60，60，60，70，90，90，100．
乙：50，60，60，60，70，70，70，70，90，100．
（1）成绩统计分析表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2） 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）根据以上信息，你认为应该选哪位同学参加比赛，请说出你的理由．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，求∠ADE的度数．
25．（5分）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为 km/h，a的值为 ；
（2）求小张加速前的速度和b的值；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？
26．（6分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
27．（7分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝33，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝AE•FE；
（3）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
北京市2024年中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）新型冠状病毒是一种新发现的冠状病毒，由于人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感．多数感染者可以导致肺炎，临床表现以发热为主，并干咳、乏力、呼吸困难等．所以我们要接种疫苗，科学防范．世界卫生组织2022年11月29日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达638175811例，数据638175811用科学记数法表示约为（ ）
A．6.38×108B．6.38×107C．63.8×107D．638×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：638175811≈6.38×108，
故选：A．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．
【解答】解：∵∠BAC＝90°
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
故图中与∠C互余的角有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与∠C和为90°的角即可．
4．（2分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．a5＜b5C．1a＞1bD．﹣a＞﹣b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a﹣5＞b﹣5，
故本选项符合题意；
B、∵a＞b，
∴a5＞b5，
故本选项不符合题意；
C、a＞b，当a＝2，b＝1时，可得1a＜1b，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−54B．k≥−54C．k＜54D．k≤54
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k+1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k+1）≥0，
解得k≥−54．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；符号意识．
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，得出答案即可．
【解答】解：∵任意多边形外角和为360°，
∴它的内角和等于360°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
7．（2分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
8．（2分）如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．∠D＝60°B．∠DBC＝50°C．∠ACD＝60°D．BE＝10
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理得到∠ACB＝40°，根据全等三角形的性质即可得到∠D＝60°，∠DBC＝40°，∠DCB＝80°，CD＝10，再由角的和差得到∠ACD＝40°，即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝40°，
∵△DCB≌△ABC，
∴∠D＝∠A＝60°，∠DBC＝∠ACB＝40°，∠DCB＝∠ABC＝80°，CD＝AB＝10，
∴∠ACD＝DCB﹣∠ACB＝40°，
∴A符合题意，B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠3．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10．（2分）分解因式：x4﹣4x2＝ x2（x+2）（x﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）；
【解答】解：x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）；
故答案为x2（x+2）（x﹣2）；
【点评】本题考查因式分解；熟练运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．
11．（2分）方程1x−1＝0的解是 x＝1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】去分母后，求解整式方程并验根即可
【解答】解：1﹣x＝0，
∴x＝1
经检验，x＝1是原分式方程的解．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，掌握解分式方程的一般步骤，是解决本题的关键．
12．（2分）点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=−3x 的图象上，若 x1•x2＝2，则 y1•y2 的值为 92 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】92．
【分析】因为A、B都在反比例函数的图象上，可知x1y1＝﹣3，x2y2＝﹣3，把已知x1•x2＝2代入可求得y1•y2的值．
【解答】解：∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=−3x 的图象上，
∴x1y1＝﹣3，x2y2＝﹣3，
∴x1y1x2y2＝9
且x1•x2＝2，
∴y1•y2=92．
故答案为：92．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于k是解题的关键．
13．（2分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%，则该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是 72人 ．
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】72人．
【分析】首先根据该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例达到了22%，可求出n＝11人，进而可求出m＝9人，然后根据“总人数×频数/样本容量”即可得出答案．
【解答】解：∵该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例达到了22%，
∴n＝50×22%＝11（人），
∴m＝50﹣（1+5+24+11）＝9（人），
∴该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是：400×950=72（人）．
答：该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是72人．
【点评】此题主要考查了数据统计，频数分布表，用样本估计总体，理解题意，读懂频数分布表，并从中获取解题信息是解答此题的关键．
14．（2分）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1.2．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可．
【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴AEEF=ABBC，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（2分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，垂足为M，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5，则AD＝ 32 ．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】32．
【分析】连接OC，由AM＝1，BM＝5，求得AB＝AM+BM＝6，则OC＝OA＝OB＝3，所以OM＝OA﹣AM＝2，由切线的性质得CD⊥OC，而CE⊥AB，所以∠OMC＝∠OCD＝90°，则OMOC=OCOD=cs∠COD，求得OD=OC2OM=92，所以AD＝OD﹣OA=32，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AM＝1，BM＝5，
∴AB＝AM+BM＝1+5＝6，
∴OC＝OA＝OB=12AB=12×6＝3，
∴OM＝OA﹣AM＝3﹣1＝2，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵CE⊥AB于点M，
∴∠OMC＝∠OCD＝90°，
∴OMOC=OCOD=cs∠COD，
∴OD=OC2OM=322=92，
∴AD＝OD﹣OA=92−3=32，
故答案为：32．
【点评】此题重点考查圆的有关概念及性质、切线的性质定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 C ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 EHI或HEI ．（写出一种符合条件的排序）
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力；应用意识．
【答案】C，EHI或HEI．
【分析】结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
【解答】解：∵A的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，
又∵B的名次没有变化，
∴上一年度排在前三位分别是C、B、A；
又∵E的名次下降，且前四名已经确定，
∵上一年度F排在第5名；
同理：上一年度G排在第9名；
E排在第6名，则H排在第7名；I排在第8名；
或E排在第7名，则H排在第6名；I排在第8名；
所以上一年度排在第6，7，8名的区县依次是EHI或HEI．
故答案为：C，EHI或HEI．
【点评】此题考查了推理与论证，难度稍大，锻炼了考生的逻辑思维和综合推断能力．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】12．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：2sin30°+cs245°−(tan30°)−1+(1−ct30°)2
=2×12+(22)2−(33)−1+(1−3)2
=1+12−3+3−1
=12．
【点评】此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
x+1≥x22(x+3)＞3x+2．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜4，数轴见解析．
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：x+1≥x2①2(x+3)＞3x+2②，
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜4，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜4，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
19．（5分）若x为整数，且4x+8x2−4的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和．
【考点】分式的值．
【专题】计算题；因式分解；分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将4x+8x2−4的分子和分母进行因式分解，再约分，然后按照数的整除性可得x的值，注意要检验看是否分式有意义，则可得所有符合条件的x的值之和．
【解答】解：4x+8x2−4=4(x+2)(x+2)(x−2)=4x−2，
∵x为整数，且4x+8x2−4的值也为整数，
∴x﹣2的值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2或4．
∴x的值为：﹣2，0，1，3，4或6，
经检验，当x＝﹣2时，原式分母为0，不符合题意，故舍去．
∴0+1+3+4+6＝14．
∴所有符合条件的x的值之和为14．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式化简与求值的方法并明确数的整除性是解题的关键．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝6，tan∠CAB=34时，求AE的长．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3．
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝8，sin∠CAB＝sin∠ABD=ADBD=35，设AE＝EG＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出x8−x=35，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA，
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD，
∵AD＝6，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD=34=ADAB，
∴AB=43AD＝8，
∴BD=AD2+AB2=62+82=10，sin∠CAB＝sin∠ABD=ADBD=610=35，
设AE＝EG＝x，则BE＝8﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD=EGBE=x8−x，
∴x8−x=35，
解得：x＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
21．（6分）某商场从厂家购进100个整理箱，按进价的1.5倍进行标价．当按标价卖出80个整理箱后，恰逢元旦，剩余的部分以标价的九折出售完毕，所得利润共1880元，求每个整理箱的进价．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设每个整理箱的进价为x元，则标价为1.5x元，根据该商店获得的利润一共是1880元这个等量关系列方程求解．
【解答】解：设每个整理箱的进价为x元，则标价为1.5x元，标价的九折为（1.5x×0.9）元．
根据题意列方程，得：
80（1.5x﹣x）+20（1.5x×0.9﹣x）＝1880．
解方程得：x＝40．
答：每个整理箱的进价为40元．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22．（5分）已知，如图，一次函数的图象经过了点P（3，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点M在y轴上，且△ABM的面积为154，求点M的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y=43x﹣2；
（2）M（0，3）或（0，﹣7）．
【分析】（1）把P点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；
（2）利用x轴上点的坐标特征求出A点坐标，根据三角形面积公式列等式求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把点P（3，2）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b得3k+b=2b=−2，解得k=43b=−2，
所以一次函数解析式为y=43x﹣2；
（2）当y＝0时，43x﹣2＝0，解得x=32，
则A（32，0），
∵点M在y轴上，且△ABM的面积为154，
∴S△ABM=12BM•xA=154，即12BM×32=154，
∴BM＝5，
∵B（0，﹣2），
∴M（0，3）或（0，﹣7）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（5分）为了选拔一名学生参加新站区演讲比赛，对两名备赛选手进行了校内选拔，10名评委打分如下（单位：分）
甲：50，60，60，60，60，60，70，90，90，100．
乙：50，60，60，60，70，70，70，70，90，100．
（1）成绩统计分析表中a＝ 70 ，b＝ 60 ，c＝ 70 ；
（2） 乙 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）根据以上信息，你认为应该选哪位同学参加比赛，请说出你的理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）70，60，70；
（2）乙；
（3）选择乙同学，理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定，（答案不唯一）．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据方差的意义即可得出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【解答】解：（1）甲数据从小到大排列，第5、6位都是60，故中位数为b＝60；
甲的平均数a=110×（50+60+60+60+60+60+70+90+90+100）＝70，
乙的数据中70最多有4个，所以众数c＝70，
故答案为：70，60，70；
（2）∵200＜260，
∴乙的成绩更稳定；
故答案为：乙；
（3）选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，求∠ADE的度数．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】110°．
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：在⊙O中，∵∠B＝110°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝110°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
25．（5分）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为 80 km/h，a的值为 4 ；
（2）求小张加速前的速度和b的值；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）80，4；
（2）小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；
（3）当x为53，179或12730时，两人相距20km．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小王的速度和a的值；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出小张加速前的速度和b的值；
（3）根据函数图象中的数据和题意，利用分类讨论的方法可以求得x的值．
【解答】解：（1）由图象可得，
小王的速度为：80÷1＝80（km/h），
a＝400÷80﹣1＝4，
故答案为：80，4；
（2）设小张加速前的速度为xkm/h，
2.4x＝（x+20）×（4.4﹣2.4），
解得，x＝100，
b＝400﹣2.4×100＝160，
即小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；
（3）由题意可得，
相遇前：100x+80（x+1）＝400﹣20
解得，x=53，
相遇后到小张返回前：100x+80（x+1）＝400+20
解得，x=179，
小张返回后到小王到达A市前：80×（x+1）＝（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20，
解得，x＝4.7（舍去），
小王到达A市到小张返回到A市前，
（400﹣100×2.4）+（100+20）×（x﹣2.4）+20＝400，
解得，x=12730，
由上可得，在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为53，179或12730时，两人相距20km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（6分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）43；
（2）见解答．
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把x＝﹣2代入即可求得y的值；
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，根据二次函数的性质判断函数的增减性．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2，求得a=13，
∴二次函数的解析式为y=13x2，
当x＝﹣2时，y=13×（﹣2）2=43；
（2）∵a=13＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），
当x＞0时，函数y随x的增大而增大．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝33，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在直角三角形中，利用30°所对的直角边是斜边的一半，设未知数，列方程可得AB的长，利用三角形中位线可得EF的长；
（2）先利用互余判断出∠MGC＝∠BDH，得到△CGM≌△BDH，再用三角形的外角得到∠CMH＝∠CHM，最后利用等腰三角形三线合一及三角形内角和定理可得结论．
【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得：(2x)2=x2+(33)2，
x＝3或﹣3（舍），
∴AB＝2x＝6，
∵AC＝AB＝6，
∵点E、F分别为AB、BC边的中点，
∴EF=12AC＝3；
（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，
∴AG＝AD，∠AGC＝∠ADB＝90°，CG＝BD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADG+∠BDH＝90°，
∵∠AGD+∠MGC＝90°，
∴∠MGC＝∠BDH，
在GH上取一点M，使GM＝DH，
∴△CGM≌△BDH，
∴CM＝BH，∠GCM＝∠DBH，
∵∠CMH＝∠MGC+∠MCG，∠CHM＝∠BDH+∠DBH，
∴∠CMH＝∠CHM，
∴CM＝CH＝BH，
∵AC＝AB，
∴AH⊥BC，即∠AHB＝90°＝∠ADB，
∵∠AOD＝∠BOH，
∴∠DAH＝∠DBH．
【点评】本题考查几何变换综合题，同角或等角的余角相等、全等三角形的性质和判定、旋转的性质、三角形的中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝AE•FE；
（3）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）EF＝2，
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证得∠C＝∠ODB．得出OD∥AC，由平行线的性质得出OD⊥DE，则可得出答案；
（2）连接BF，AD，证得△ADE∽△DCE，然后依据相似三角形的性质得到DEAE=CEDE，进而推导出DE2＝AE•FE；
（3）过点O作OG⊥AF于点G，证明四边形OGED为矩形，由矩形的性质得出OG＝DE，OD＝GE，设EF＝x，AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝8﹣2x．由勾股定理得出（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，解方程可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BF，AD，OD，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AFB＝90°，
∵AB＝AC，
∴D为BC的中点，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∴点E是CF的中点，∴EF＝CE∠ADC＝90°，
∴△ADE∽△DCE，
∴DEAE=CEDE，
∴DE2＝AE•CE，
∴DE2＝AE•FE；
（3）解：过点O作OG⊥AF于点G，如图3，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF=12AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形OGED为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
∵OD＝OA＝5，
设EF＝x，
AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x﹣2＝8﹣2x．
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
即（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴EF＝2，
【点评】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
a
b
60
260
乙
70
70
c
200
平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
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m
24
n
名次
1
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区县
A
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变化情况
↑
一
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选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
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b
60
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乙
70
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c
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