北京市2024年中考数学模拟试卷3（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷3（含解析），共32页。

A．0.3172×108B．3.172×108
C．3.172×107D．3.172×109
2．（2分）中教云数字课程教材云平台是一个在“教育现代化2035”背景下应运而生的智慧教育云平台，以下是该平台智慧教育页面智辅栏目下的图标（主要部分），其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝90°，则图中互补的角共有（ ）
A．7对B．6对C．5对D．4对
4．（2分）如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．2x＜2yB．x﹣3＜y﹣3C．2﹣x＜2﹣yD．x2＜y2
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−54B．k≥−54C．k＜54D．k≤54
6．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
7．（2分）王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．王刚明天的进球率为20%
B．王刚明天每射球20次必进球1次
C．王刚明天有可能进球
D．王刚明天肯定进球
8．（2分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（ ）
A．26°B．22°C．34°D．30°
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 ．
11．（2分）分式方程1x−1+1=2x2−1的解为 ．
12．（2分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在y=1x的图象上，若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为 ．
13．（2分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%，则该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是 ．
14．（2分）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝1：2，若CF＝9，那么BF＝ ．
15．（2分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD＝2，则扇形DOE的面积是 ．（结果保留π）
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 ．（写出一种符合条件的排序）
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：(−1)2019−(12)−2⋅sin60°+|3−2|
18．（5分）解不等式组3x+144＞2x−94x+6≥3x+7
19．（5分）若1a−1b=4，求a−b3a+2ab−3b的值．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝6，tan∠CAB=34时，求AE的长．
21．（6分）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
22．（5分）如图，直线l1：y=−12x+1和l2相交于点P（﹣2，2），l1与x轴交于点A（2，0），l2与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ABP的面积．
23．（5分）为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图：
（1）填写下列表格：
① ；② ；③ ．
（2）分析甲、乙两位同学成绩的方差，你认为 同学成绩稳定；
（3）从中位数、众数、方差的角度看，选择 同学参加知识竞赛比较好．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC为⊙O的直径，∠BCA＝2∠ACD．
（1）求证：BC＝CE；
（2）若⊙O的半径为52，BC＝4，求线段DC的长．
25．（5分）如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题：
（1）分别求出甲行驶的路程y1（km）、乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式；
（2）若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若x1+x2＝2﹣a，比较y1与y2的大小关系，并说明理由．
27．（7分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝33，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
28．（7分）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ．
北京市2024年中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段．据中国移动2022年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约317200000户．将317200000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3172×108B．3.172×108
C．3.172×107D．3.172×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据科学记数法表示大数的方法，将317200000写成a×10n的形式即可．
【解答】解：317200000＝3.172×108．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，确定a与n的值是解题的关键．
2．（2分）中教云数字课程教材云平台是一个在“教育现代化2035”背景下应运而生的智慧教育云平台，以下是该平台智慧教育页面智辅栏目下的图标（主要部分），其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝90°，则图中互补的角共有（ ）
A．7对B．6对C．5对D．4对
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】利用已知条件求得∠AOE＝∠COD，∠COE＝∠BOD，然后根据补角的定义进行判断即可．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠AOE+∠COE＝∠COE+∠COD＝∠BOD+∠COD，∠AOC+∠BOC＝∠AOC+∠DOE＝∠BOC+∠DOE＝180°，
∴∠AOE＝∠COD，∠COE＝∠BOD，
∴∠AOE+∠BOE＝∠COD+∠BOE＝∠COE+∠AOD＝∠BOD+∠AOD＝180°，
综上，互补的角共有7对，
故选：A．
【点评】本题考查余角的性质及补角的定义，利用等量代换找出所有互补的角是解题的关键．
4．（2分）如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．2x＜2yB．x﹣3＜y﹣3C．2﹣x＜2﹣yD．x2＜y2
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴2x＜2y，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴2﹣x＞2﹣y，
故C符合题意；
D、∵x＜y，
∴x2＜y2，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞−54B．k≥−54C．k＜54D．k≤54
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k+1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．
【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k+1）≥0，
解得k≥−54．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；符号意识．
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，得出答案即可．
【解答】解：∵任意多边形外角和为360°，
∴它的内角和等于360°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
7．（2分）王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．王刚明天的进球率为20%
B．王刚明天每射球20次必进球1次
C．王刚明天有可能进球
D．王刚明天肯定进球
【考点】概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据概率的意义判断即可．
【解答】解：王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，王刚明天有可能进球，
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
8．（2分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（ ）
A．26°B．22°C．34°D．30°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，根据角平分线的定义得到∠ACB＝2∠DCG＝132°，根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠ACB＝132°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，
∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠DCG＝132°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝132°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝26°，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠3．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 a（a﹣b）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a（a﹣b）2．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，
故答案为：a（a﹣b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．
11．（2分）分式方程1x−1+1=2x2−1的解为 x＝﹣2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】去分母，化分式方程为一元二次方程，求解方程并验根即可
【解答】解：去分母，得x+1+x2﹣1＝2，
整理，得x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0
∴x1＝﹣2，x2＝1
当x＝﹣2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣2是原方程的解；
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1不是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的解法．掌握分式方程和一元二次方程的解法，是解决本题的关键．
12．（2分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在y=1x的图象上，若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为 ﹣4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣4．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BDOC=ODAC=OBOA=2，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴BDOC=ODAC=OBOA，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y=1x的图象上，则mn＝1，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
13．（2分）教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%，则该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是 72人 ．
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】72人．
【分析】首先根据该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例达到了22%，可求出n＝11人，进而可求出m＝9人，然后根据“总人数×频数/样本容量”即可得出答案．
【解答】解：∵该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例达到了22%，
∴n＝50×22%＝11（人），
∴m＝50﹣（1+5+24+11）＝9（人），
∴该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是：400×950=72（人）．
答：该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是72人．
【点评】此题主要考查了数据统计，频数分布表，用样本估计总体，理解题意，读懂频数分布表，并从中获取解题信息是解答此题的关键．
14．（2分）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝1：2，若CF＝9，那么BF＝ 92 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】92．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE：EC＝AD：DB＝1：2，BF：FC＝AE：EC＝1：2，计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝1：2，
∵EF∥AB，
∴BF：FC＝AE：EC＝1：2，
∵CF＝9，
∴BF=92，
故答案为：92．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（2分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，半径OD＝2，则扇形DOE的面积是 23π ．（结果保留π）
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；勾股定理；菱形的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】23π．
【分析】先根据菱形的性质得到OB＝AB＝AC＝OC，再根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则OD垂直平分AB，所以OA＝OB，于是可判断△OAB和△OAC都为等边三角形，
根据等边三角形的性质得到∠AOB＝∠AOC＝60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则可计算出∠DOE＝60°，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵四边形ABOC为菱形，
∴OB＝AB＝AC＝OC，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵点D是AB的中点，
∴OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB＝AC＝OC，
∴△OAB和△OAC都为等边三角形，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOE＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴扇形DOE的面积=60×π×22360=23π．
故答案为：23π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和扇形的面积公式．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 C ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 EHI或HEI ．（写出一种符合条件的排序）
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力；应用意识．
【答案】C，EHI或HEI．
【分析】结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
【解答】解：∵A的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，
又∵B的名次没有变化，
∴上一年度排在前三位分别是C、B、A；
又∵E的名次下降，且前四名已经确定，
∵上一年度F排在第5名；
同理：上一年度G排在第9名；
E排在第6名，则H排在第7名；I排在第8名；
或E排在第7名，则H排在第6名；I排在第8名；
所以上一年度排在第6，7，8名的区县依次是EHI或HEI．
故答案为：C，EHI或HEI．
【点评】此题考查了推理与论证，难度稍大，锻炼了考生的逻辑思维和综合推断能力．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：(−1)2019−(12)−2⋅sin60°+|3−2|
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：(−1)2019−(12)−2⋅sin60°+|3−2|
＝﹣1﹣4×32+2−3
=1−33
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（5分）解不等式组3x+144＞2x−94x+6≥3x+7
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：3x+144＞2x−9①4x+6≥3x+7②，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解集为：1≤x＜10．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（5分）若1a−1b=4，求a−b3a+2ab−3b的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】25．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a﹣b＝﹣4ab，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：b−aab=4，即a﹣b＝﹣4ab，
则原式=a−b3(a−b)+2ab=−4ab−12ab+2ab=25．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝6，tan∠CAB=34时，求AE的长．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3．
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝8，sin∠CAB＝sin∠ABD=ADBD=35，设AE＝EG＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出x8−x=35，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA，
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD，
∵AD＝6，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD=34=ADAB，
∴AB=43AD＝8，
∴BD=AD2+AB2=62+82=10，sin∠CAB＝sin∠ABD=ADBD=610=35，
设AE＝EG＝x，则BE＝8﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD=EGBE=x8−x，
∴x8−x=35，
解得：x＝3，
∴AE＝3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
21．（6分）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意，设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，然后根据：哥哥的年龄+小楠的年龄＝21，列出方程，求出x的值是多少，再用哥哥的年龄减去14，求出小楠的年龄即可．
【解答】解：设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为12x岁，
则x+12x＝21，
解得x＝14．
21﹣14＝7（岁）
答：今年小楠7岁，哥哥14岁．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
22．（5分）如图，直线l1：y=−12x+1和l2相交于点P（﹣2，2），l1与x轴交于点A（2，0），l2与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）6．
【分析】（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，把点P（﹣2，2），点B（0，﹣2）代入解析式解方程组即可得到结论；
（2）根据矩形和三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
把点P（﹣2，2），点B（0，﹣2）代入解析式得，−2k+b=2b=−2，
∴k=−2b=−2，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）∵点P（﹣2，2），点B（0，﹣2），点A（2，0），
∴△ABP的面积＝4×4−12×4×2−12×4×2−12×2×2＝6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
23．（5分）为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图：
（1）填写下列表格：
① 90 ；② 91 ；③ 85 ．
（2）分析甲、乙两位同学成绩的方差，你认为 甲 同学成绩稳定；
（3）从中位数、众数、方差的角度看，选择 甲 同学参加知识竞赛比较好．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）90，91，85；
（2）甲；
（3）甲．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法分别计算甲的中位数，乙的平均数和众数即可；
（2）比较甲、乙二人的方差可得结论；
（3）通过比较甲、乙二人的中位数、众数、方差得出答案．
【解答】解：（1）将甲的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为89+932=91，因此甲的中位数是91，
乙的成绩的平均数为85×3+90+95+1006=90，乙的成绩出现次数最多的是85，因此乙的众数是85，
故答案为：90，91，85；
（2）因为甲的方差863小于乙的方差1003，
所以甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲；
（3）甲的中位数91比乙的中位数87.5大，甲的众数是93比乙的众数85要大，而甲的方差比乙的方差小，
所以从中位数、众数、方差的角度看，甲的成绩较好，
故答案为：甲．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是正确解答的前提．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC为⊙O的直径，∠BCA＝2∠ACD．
（1）求证：BC＝CE；
（2）若⊙O的半径为52，BC＝4，求线段DC的长．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）3210．
【分析】（1）设∠ACD＝α，则∠BCA＝∠ACD＝2α，由圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝α，∠ABC＝90°，则∠CBE＝90°﹣α，再由三角形的内角和定理得∠CEB＝180°﹣（∠CBE+∠BCA）＝90°﹣α，由此可得∠CBE＝∠CEB，据此可得出结论；
（2）过点C作CT⊥BE于T，依题意得AC＝5，设AD＝x，由（1）可知BC＝CE＝4，则ET=12BE，∠ECT=12∠BCA，AE＝AC﹣CE＝1，证△BCE和△ADE相似得AD：BC＝AE：BE，由此得BE=4x，则ET=12BE=2x，证△ECT和△ACD相似得AD：ET＝AC：CE，由此得x=102，然后在Rt△ACD中由勾股定理即可求出CD的长．
【解答】（1）证明：设∠ACD＝α，则∠BCA＝∠ACD＝2α，
∴∠ABD＝∠ACD＝α，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣α，
∴∠CEB＝180°﹣（∠CBE+∠BCA）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴BC＝CE；
（2）解：过点C作CT⊥BE于T，如图所示：

∵⊙O的半径为52，BC＝4，
∴AC＝5，
设AD＝x，
由（1）可知：BC＝CE＝4，
∴ET=12BE，∠ECT=12∠BCA，AE＝AC﹣CE＝5﹣4＝1，
∵∠BCE＝∠ADE，∠BEC＝∠AED，
∴△BCE∽△ADE，
∴AD：BC＝AE：BE，
即x：4＝1：BE，
∴BE=4x，
∴ET=12BE=2x，
∵AC为⊙O的直径，CT⊥BE
∴∠ADC＝ETC＝90°，
∴∠ECT=12∠BCA，∠BCA＝2∠ACD，
∴∠ECT＝∠ACD，
∴△ECT∽△ACD，
∴AD：ET＝AC：CE，
即x：2x=5：4，
∴x=102，
∴AD＝x=102，
在Rt△ACD中，AD=102，AC＝5，
由勾股定理得：CD=AC2−AD2=3210．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
25．（5分）如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题：
（1）分别求出甲行驶的路程y1（km）、乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式；
（2）若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）甲行驶的路程y1（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y1＝10x；
乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y2＝40x﹣120；
（2）甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，x的值是3.6或4.4．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲行驶的路程y1（km）、乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式；
（2）根据题意和图象可知存在两种情况，他们相距12km，然后分别列出相应的方程，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲行驶的路程y1（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y1＝kx，
∵点（4，40）在该函数图象上，
∴40＝4k，得k＝10，
即甲行驶的路程y1（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y1＝10x；
设乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y2＝ax+b，
∵点（3，0），（4，40）在该函数图象上，
∴3a+b=04a+b=40，
解得a=40b=−120，
即乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x（h）之间的函数表达式是y2＝40x﹣120；
（2）甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距12km时，10x﹣（40x﹣120）＝12，
解得x＝3.6；
甲、乙都行驶且甲与乙相遇后相距12km时，（40x﹣120）﹣10x＝12，
解得x＝4.4；
答：甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，x的值是3.6或4.4．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若x1+x2＝2﹣a，比较y1与y2的大小关系，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线x＝1；
（2）y1＞y2．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）由题意a＞0，x1+x2＝2﹣a，分析出x1+x2＜2，再判断哪个点离对称轴距离小，对应函数值就小，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：直线x=−−2a2a=1；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，﹣a＜0，
∴2﹣a＜2，
∵x1+x2＝2﹣a，
∴x1+x2＜2，
∴x1+x22＜1，
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝33，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在直角三角形中，利用30°所对的直角边是斜边的一半，设未知数，列方程可得AB的长，利用三角形中位线可得EF的长；
（2）先利用互余判断出∠MGC＝∠BDH，得到△CGM≌△BDH，再用三角形的外角得到∠CMH＝∠CHM，最后利用等腰三角形三线合一及三角形内角和定理可得结论．
【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得：(2x)2=x2+(33)2，
x＝3或﹣3（舍），
∴AB＝2x＝6，
∵AC＝AB＝6，
∵点E、F分别为AB、BC边的中点，
∴EF=12AC＝3；
（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，
∴AG＝AD，∠AGC＝∠ADB＝90°，CG＝BD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADG+∠BDH＝90°，
∵∠AGD+∠MGC＝90°，
∴∠MGC＝∠BDH，
在GH上取一点M，使GM＝DH，
∴△CGM≌△BDH，
∴CM＝BH，∠GCM＝∠DBH，
∵∠CMH＝∠MGC+∠MCG，∠CHM＝∠BDH+∠DBH，
∴∠CMH＝∠CHM，
∴CM＝CH＝BH，
∵AC＝AB，
∴AH⊥BC，即∠AHB＝90°＝∠ADB，
∵∠AOD＝∠BOH，
∴∠DAH＝∠DBH．
【点评】本题考查几何变换综合题，同角或等角的余角相等、全等三角形的性质和判定、旋转的性质、三角形的中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（7分）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ 45 °．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 2≤m＜2+1 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）∠BAC＝24°；
（3）作图见解析过程；
（4）2≤m＜2+1．
【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；
（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则AE=BE=DE=CE=12BD，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，12BD为半径的圆心，则∠BAC＝∠BDC＝24°；
（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；
（4）如图所示，在BC上截取一点F使得BF＝BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当BF≤m＜BQ时满足题意，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝AD，
∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDC=12∠BAC=45°，
故答案为：45°；
（2）如图2所示，取BD中点E，连接AE，CE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E为BD的中点，
∴AE=BE=DE=CE=12BD，
∴A、B、C、D在以E为圆心，12BD为半径的圆心，
∴∠BAC＝∠BDC＝24°；
（3）如图3所示，P1、P2即为所求；
（4）如图所示，在BC上截取一点F使得BF＝BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
∴B在圆O上，AF=AB2+BF2=22，
∴OG=OF=2，
∵OH⊥EF，
∴FH=12EF=12AB=1，
∴OH=OF2−OH2=1，
∴GH=OG−OH=2−1，
∴BF≤m＜BQ，
∴2≤m＜2+2−1，
即2≤m＜2+1．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲
90
②
93
863
乙
①
87.5
③
1003
平均每天的睡眠时间分组
5≤t＜6
6≤t＜7
7≤t＜8
8≤t＜9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲
90
②
93
863
乙
①
87.5
③
1003