2024年辽宁省营口实验中学中考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年辽宁省营口实验中学中考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某芯片公司的最新一代CPU的时钟频率是5.2GHz，该公司1971年研制的世界第一枚4位微型处理器的时钟频率为0.000108GHz.将0.000108用科学记数法表示为( )
A. 1.08×10−3B. 1.08×10−4C. 1.08×10−5D. 10.8×10−5
2.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3.估计 2( 8+ 10)的值应在( )
A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间
4.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为( )
A. 427
B. 29
C. 827
D. 2027
5.如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40∘方向，C在B的南偏东35∘方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是( )
A. 北偏东70∘
B. 北偏东75∘
C. 南偏西70∘
D. 南偏西20∘
6.若关于x的不等式组4(x−1)>3x−15x>3x+2a的解集为x>3，则a的取值范围是( )
A. a>3B. a<3C. a≥3D. a≤3
7.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是( )
A. 96001.5x−6000x=0.4B. 9600x−60001.5x=0.4
C. 60001.5x−9600x=0.4D. 6000x−96001.5x=0.4
8.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息分析，下列说法正确的是( )
A. 甲队开挖到30m时，用了2h
B. 乙队在0≤x≤6的时段，y与x之间的关系式y=5x+20
C. 当两队所挖长度之差为5m时，x为3和5
D. x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等
9.如图，在菱形ABCD中，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧分别交于点P、Q，连接PQ，若直线PQ恰好过点D与边BC交于点E，连接AE，则下列结论错误的是( )
A. ∠CBA=120∘B. 若AD=3，则AE=3 72
C. BE=12DED. S△ADE=2S△ABE
10.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A，B两点，点P在以C(−2,0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为( )
A. 4932B. 2518C. 3225D. 98
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a=2+ 3，b=2− 3，则代数式a2b−ab2的值等于__________.
12.设α，β是方程x2−x−2023=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为______.
13.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为(0,2 3)，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30∘，则圆中阴影部分的面积为______.
14.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为______.
15.如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F.且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.EN=1，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.(1)计算：−|−3|+4cs45∘−(−1)2023− 8；
(2)计算：(1a+3+1a2−9)÷a−22a+6.
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积.
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.
哪一种方案的施工费用最少？
18.(本小题9分)
为了解2018−2022年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：
注：增长速度=本年粮食总产量一去年粮食总产量去年粮食总产量×100%.
根据此统计图，回答下列问题：
(1)2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多______万吨.
(2)2018−2022年全省粮食总产量的中位数是______.
(3)王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨.结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”.
①2018−2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高.______
②如果将2018−2022年全省粮食总产量的中位数记为a万吨，2017−2022年全省粮食总产量的中位数记为b万吨，那么a19.(本小题8分)
某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
20.(本小题8分)
图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图.已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得∠B=55∘，BC=1.8m，DE=2m.(结果保小数点后一位)
(1)连接CD，求证：DC⊥BC；
(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离).
(参考数据：sin55∘≈0.82，cs55∘≈0.57，tan55∘≈1.43)
21.(本小题8分)
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点.⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB.设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2.
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=BE，S2=mS1，求常数m的值.
22.(本小题12分)
已知抛物线y=−x2+bx+c(b,c为常数，c>1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且−c(1)若b=−2，c=3.
①求点P和点A的坐标；
②当MN= 2时，求点M的坐标；
(2)若点A的坐标为(−c,0)，且MP//AC，当AN+3MN=9 2时，求点M的坐标.
23.(本小题12分)
同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2.在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000108=1.08×10−4.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
.
故选：C.
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：原式=4+2 5.
∵2.52=6.25，
∴2< 5<2.5，
∴4<2 5<5，
∴8<4+2 5<9.
故选：B.
化简题干中的式子得到4+2 5，计算出2< 5<2.5.利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．
本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．
4.【答案】B
【解析】【分析】
将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中一个面涂色的有6块，即可求出相应的概率．
本题考查了概率公式，得出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决问题的关键．
【解答】
解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3=27(个)，有6个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有一个面涂色的概率为627=29，
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：如图：
由题意得：
∠ABC=∠ABE+∠CBE=40∘+35∘=75∘，
∵AD//BE，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=75∘，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=30∘，
∵AD//BE，
∴∠DAB=∠ABE=40∘，
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=40∘+30∘=70∘，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70∘，
故选：A.
根据题意可得∠ABC=75∘，AD//BE，AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75∘，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB=∠ABE=40∘，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：{4(x−1)>3x−1①5x>3x+2a②，
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
∵不等式组的解集是x>3，
∴a≤3.
故选：D.
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得：96001.5x−6000x=0.4.
故选：A.
根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
8.【答案】D
【解析】解：A、根据图示知，乙队开挖到30m时，用了2h，甲队开挖到30m时，用的时间是大于2h.故本选项错误；
B、根据图示知，乙队挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系是分段函数：在0∼2h时，y与x之间的关系式y=15x.故本选项错误；
C、由图示知，甲队挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系为：y=10x(0≤x≤6)，
乙队挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系为：y=15x(0≤x≤2)5x+20(2当0≤x≤2时，当两队所挖长度之差为5m时得：15x−10x=5，
解得：x=1；
当2解得：x=3或5；
∴当两队所挖长度之差为5m时，x为1，3和5；故本选项错误；
D、甲队4h完成的工作量是：10×4=40(m)，
乙队4h完成的工作量是：30+2×5=40(m)，
∵40=40，
∴当x=4时，甲、乙两队所挖河渠长度相同．故本选项正确；
故选：D.
图意是：甲、乙都是工作了6小时；甲用了6小时挖河渠的长度是60m，乙前2个小时挖河渠30m，后4个小时挖河渠20m，乙一共挖了50m.
本题考查了一次函数的应用，施工距离、速度、时间三者之间的关系的运用，但难度不大，读懂图象信息是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意，可知DE⊥BC，BE=CE，即DE是BC的垂直平分线，
A选项，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴∠CED=90∘，BE=CE=12BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴BE=CE=12CD，且△CDE是直角三角形，
∴∠CDE=30∘，∠C=60∘，
根据菱形的性质AB//CD得，∠B=180∘−60∘=120∘，故A选项正确，不符合题意；
B选项，
∵DE是BC的垂直平分线，BC//AD，
∴∠ADE=90∘，即△ADE是直角三角形，且AD=CD=3，
∵△BCD是直角三角形，∠CDE=30∘，
∴CE=12CD=12×3=32，
在Rt△CDE中，DE= 3CE= 3×32=3 32，
在Rt△ADE中，AE= AD2+DE2= 32+(3 32)2=3 72，故B选项正确，不符合题意；
C选项，
∵DE是BC的垂直平分线，四边形ABCD是菱形，
∴BE=CE=12BC=12CD，∠CED=90∘，
∴CD>DE，则12CD>12DE，
∴BE>12DE，故C选项错误，符合题意；
D选项，
根据题意，BE=12AD，AD//BE，ED是△ADE，△ABE的高，
∴△ADE，△ABE的高相等，
∵S△ADE=12AD⋅ED，S△ABE=12BE⋅ED=12×12AD×ED=14×⋅ED，
∴S△ADE=2S△ABE，故D选项正确，不符合题意；
故选：C.
根据菱形的性质，垂直平分线的性质即可求解．
本题主要考查菱形，垂直平分线的综合，掌握菱形的性质，垂直平分线的性质，含30∘角的直角三角形的性质等知识是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为32×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(−2t)2，
t=0(舍)或t=−45，
∴B(−45,−85)，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=−45×(−85)=3225；
故选：C.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t,2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
11.【答案】2 3
【解析】解：∵a=2+ 3，b=2− 3，
∴ab=4−3=1，a−b=2+ 3−2+ 3=2 3，
∴a2b−ab2=ab(a−b)
=1×2 3
=2 3.
故答案为：2 3.
根据已知得ab=4−3=1，a−b=2+ 3−2+ 3=2 3，因式分解得a2b−ab2=ab(a−b)，即可求出答案．
本题考查了二次根式的化简求值，注意整体思想的应用．
12.【答案】2024
【解析】解：∵α，β是方程x2−x−2023=0的两个实数根，
由一元二次方程根与系数关系可得：
α+β=1，αβ=−2023，
而α2+αβ+β2=(α+β)2−αβ
=1+2023
=2024.
故答案为：2024.
根据一元二次方程根与系数关系可以求出α+β=1，αβ=−2023，α2+αβ+β2可化为(α+β)2−αβ，代入求值即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键．
13.【答案】2π−2 3
【解析】解：连接AB，
∵∠AOB=90∘，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠OCA=30∘，
∵OB=2 3，
∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30∘=2 3× 33=2，AB=AO÷sin30∘=4，即圆的半径为2，
∴S阴影=S半圆−S△ABO=π×222−12×2×2 3=2π−2 3.
故答案为：2π−2 3.
连接AB，根据∠AOB=90∘可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠OCA=30∘，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆−S△ABO即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14.【答案】100cm2
【解析】解：设AF=x，则AC=3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF=CF=2x，EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC=13，
∴BC=6x，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即302=(3x)2+(6x)2，
解得，x=2 5，
∴AC=6 5，BC=12 5，
∴剩余部分的面积=12×12 5×6 5−4 5×4 5=100(cm2)，
故答案为：100cm2.
设AF=x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15.【答案】 73−12或3
【解析】【分析】
根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
【解答】
解：当HN=13GN时，GH=2HN，
∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90∘，∠DMN=∠GMN，AD//BC，
∴∠GFH=90∘，∠DMN=∠MNG，
∴∠GMN=∠MNG，
∴MG=NG，
∵∠GFH=∠E=90∘，∠FHG=∠EHN，
∴△FGH∽△ENH，
∴FGEN=GHHN=2，
∴FG=2EN=2，
过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，
设MD=MF=x，
则MG=GN=x+2，
∴CG=x+3，
∴PM=3，
∵GP2+PM2=MG2，
∴42+32=(x+2)2，
解得：x=3或−7(舍去)，
∴MD=3；
当GH=13GN时，HN=2GH，
∵△FGH∽△ENH，
∴FGEN=GHHN=12，
∴FG=12EN=12，
∴MG=GN=x+12，
∴CG=x+32，
∴PM=32，
∵GP2+PM2=MG2，
∴42+(32)2=(x+12)2，
解得：x= 73−12或− 73−12(舍去)，
∴MD= 73−12；
故答案为： 73−12或3.
16.【答案】解：(1)−|−3|+4cs45∘−(−1)2023− 8
=−3+4× 22−(−1)−2 2
=−3+2 2+1−2 2
=−2；
(2)(1a+3+1a2−9)÷a−22a+6
=a−3+1(a+3)(a−3)⋅2(a+3)a−2
=a−2(a+3)(a−3)⋅2(a+3)a−2
=2a−3.
【解析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
17.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+200)平方米的绿化改造面积，
依题意得：x+200+x=800，
解得：x=300，
则x+200=300+200=500.
答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积．
(2)选择方案①所需施工费用为：600×12000500=14400(元)；
选择方案②所需施工费用为：400×12000300=16000(元)；
选择方案③所需施工费用为：(600+400)×12000500+300=15000(元).
因为14400<15000<16000，
所以选择方案①的施工费用最少．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，求出选择各方案所需施工费用．
(1)设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x+200)平方米的绿化改造面积，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用，再比较后即可得出结论．
18.【答案】161.53877.9×√
【解析】解：(1)2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多：4039.2−3877.9=161.5(万吨)，
故答案为：161.5；
(2)由题意可知，2018−2022年全省粮食总产量的中位数是3803.2，
故答案为：3803.2；
(3)①由题意可知，2018−2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但这5年中，2022年全省粮食总产量最高．
故答案为：×；
②由(2)可知，2018−2022年全省粮食总产量的中位数是3877.9，而2017−2022年全省粮食总产量的中位数记为3877.9+4039.22=3958.55，
所以a故答案为：√.
(1)根据统计图数据计算可得答案；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)①根据统计图数据判断即可；②根据中位数的定义判断即可．
本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息．
19.【答案】解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去).
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，
依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，
整理，得：4y2−5y+1=0，
解得：y1=14，y2=1.
答∵尽量减少库存，
∴y=1.
答：每套A产品需降价1万元．
【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，根据总利润=每套的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD=180∘，
∴2∠ACB+2∠ACD=180∘，
∴∠ACB+∠ACD=90∘，
∴∠BCD=90∘，
∴DC⊥BC；
(2)解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
在Rt△DCB中，∠B=55∘，BC=1.8m，
∴BD=BCcs55∘≈(m)，
∵DE=2m，
∴BE=BD+DE=9819(m)，
在Rt△BEF中，EF=BE⋅sin55∘≈9819×0.82≈4.2(m)，
∴雕塑的高约为4.2m.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，∠ADC=∠ACD，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD=180∘，从而可得∠ACB+∠ACD=90∘，进而可得∠BCD=90∘，即可解答；
(2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而求出BE的长，然后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)AE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵DA⋅AC=DC⋅AB，
∴DADC=ABCA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘=∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB=∠ACD，
∴OA//CD，
∴∠OAE=∠CDE=90∘，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与⊙O相切；
(2)如图，∵OA//CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴AOCD=OEEC，
设BO=OC=OA=a，则BC=2a，
∵BC=BE=2a，
∴S△ABE=S△ABC，EO=3a，EC=4a，
∴aCD=3a4a，
∴CD=43a，
∵△ABC∽△DAC，
∴BCAC=ACCD，
∴AC2=BC⋅CD=83a2，
∵△ABC∽△DAC，
∴S△ACDS△ABC=(ACBC)2=23，
∴S2=23S1，
∴m=23.
【解析】(1)通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB=∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；
(2)设BO=OC=OA=a，则BC=2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：(1)①∵b=−2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴P(−1,4)，
当y=0时，−x2−2x+3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∵点A在点B的左侧，
∴A(−3,0).
答：P点的坐标为(−1,4)，A点的坐标为(−3,0).
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，
∵A(−3,0)，C(0,3)，
∴OA=OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC=45∘，
∴在Rt△AEF中，EF=AE，
∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中−3∴M(m,−m2−2m+3)，E(m,0)，
∴EF=AE=m−(−3)=m+3，
∴F(m,m+3)，
∴FM=(−m2−2M+3)−(m+3)=−m2−3m，
∴在Rt△FMN中，∠MFN=45∘，
∴FM= 2MN= 2× 2=2，
∴−m2−3m=2，
解得m1=−2，m2=−1(舍去)，
∴M(−2,3).
答：点M的坐标为(−2,3).
(2)∵点A(−c,0)在抛物线y=−x2+bx+c上，其中c>1，
∴−c2−bc+c=0，
得b=1−c，
∴抛物线的解析式为y=−x2+(1−c)x+c，
∴M(m,−m2+(1−c)m+c)，其中−c∴顶点P的坐标为(1−c2,(1+c)24)，对称轴为直线l：x=1−c2.
如图，过点M作MQ⊥l于点Q，
则∠MQP=45∘,Q(1−c2,−m2+(1−c)m+c)，
∵MP//AC，
∴∠PMQ=45∘，
∴MQ=QP，
∴1−c2−m=(1+c)24−[−m2+(1−c)m+c]，
即(c+2m)2=1，
解得c1=−2m−1，c2=−2m+1(舍去)，
同②，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，
则点E(m,0)，点F(m,−m−1)，点M(m,m2−1)，
∴AN+3MN=AF+FN+3MN= 2EF+2 2FM=9 2，
∴ 2(−m−1)+2 2(m2−1+m+1)=9 2，
即2m2+m−10=0，
解得m1=−52,m2=2(舍去)，
∴点M的坐标为(−52,214).
答：点M的坐标为(−52,214).
【解析】(1)①利用配方法即可得到顶点P的坐标，令y=0，解方程即可得到A的坐标．
②过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，证得EF=AE，表示出点M、点E的坐标，进而表示出FM，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到M的坐标．
(2)求出顶点P的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明MQ=QP，根据AN+3MN=9 2，列方程求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握直角三角形的性质．
23.【答案】AE=BF
【解析】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45∘，∠AOB=90∘，
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠EOF=90∘，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴AE=BF，
故答案为：AE=BF；
【问题二】如图③，
连接OA，OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴S△AOB=14S正方形ABCD=14×82=16，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAE=∠OBG=45∘，OA=OB，∠AOB=90∘，
∵m⊥n，
∴∠EOG=90∘，
∴∠AOE=∠BOG，
∴△AOE≌△BOG(ASA)，
∴S△AOE=S△BOG，
∴S四边形OEAG=S△AOE+S△AOG=S△BOG+S△AOG=S△AOB=16；
【问题三】在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90∘时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90∘，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90∘=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90∘，
∴∠EFP+∠AFQ=90∘，
∴△EFP∽△QAF，
∴EPQF=EFAQ，
∵QF=EQ−EF=4，
∴EP4=28，
∴EP=1，
∴BP=BE−EP=7；
②当∠APF=90∘时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴ABPE=BPEF，
∵PE=BE−BP=8−BP，
∴68−BP=BP2，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90∘时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90∘，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN−EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴PMAN=AMFN，
∴68=AM4，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7.
【问题一】利用ASA判断出△AOE≌△BOF，即可得出答案；
(2)先求出S△AOB=16，再利用ASA判断出△AOE≌△BOG，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．