浙教版八年级数学下册专题6.3反比例函数的应用(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题6.3反比例函数的应用(知识解读)(原卷版+解析)，共21页。
能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
利用反比例函数求出问题中的值
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
【知识点梳理】
考点一 行程与工程应用
考点二 物理学中的应用
考点三 经济学的应用
考点四 生活中其他的应用
【典例分析】
【考点1 行程与工程的应用】
【典例1】（2023秋•礼泉县期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
【变式1-1】某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
【变式1-2】（2023秋•华州区期末）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为t（h），航行的平均速度为v（km/h）．
（1）求出v关于t的函数表达式；
（2）若航行的平均速度为40km/h，则该轮船从甲地匀速行驶到乙地要多长时间？
【变式1-3】（2023秋•固安县期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如表：
（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式：
（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由．
【考点2 物理学中的应用】
【典例2】（2023秋•青县期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？
【变式2-1】（2023•项城市一模）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生的作业辅导，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为．下列说法不正确的是（ ）
A．上述问题中，当x的值增大，y的值随之减小
B．当镜片焦距是0.2m时，近视眼镜的度数是500度
C．当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25m
D．东东原来佩量400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则东东的眼镜度数下降了200度
【变式2-2】（2023秋•禅城区期末）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围；
（2）如果要求压强不超过8000Pa，选用的木板的面积至少要多大？
【变式2-3】（2023秋•武功县期末）经研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）之间的关系满足反比例函数，已知小明的近视眼镜度数为200度，他的镜片焦距为0.5m．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知王力的近视眼镜度数为400度，请你求出王力近视眼镜的镜片焦距．
【考点3 经济学的应用】
【典例3】（2023秋•阜平县校级期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
（1）求Q与x的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．
（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【变式3-1】（2023秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．y＝2000x﹣6000
【变式3-2】（2023秋•峰峰矿区期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【考点4 生活中的其他应用】
【典例4】（2023秋•金水区校级期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【变式4-1】（2023春•吴中区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试
验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？
【变式4-2】（2023秋•梅里斯区期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）求全天的温度y与时间x之间的函数关系式；
（3）若大棚内的温度低于10（℃）不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【变式4-3】（2023秋•西丰县期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示，在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（5，n）．
（1）n的值为 ；
（2）当x≥5时，y与x的反比例函数关系式为 ；
（3）当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，当教室药物喷洒完成45min后，学生能否进入教室？请通过计算说明．
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400
专题6.3 反比例函数应用（知识解读）
【学习目标】
能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
利用反比例函数求出问题中的值
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
【知识点梳理】
考点一 行程与工程应用
考点二 物理学中的应用
考点三 经济学的应用
考点四 生活中其他的应用
【典例分析】
【考点1 行程与工程的应用】
【典例1】（2023秋•礼泉县期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
【解答】解：（1）设，
∵点（24，50）在其图象上，
∴50＝，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为．
（2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠30×4＝120（米），
当x＝120时，
答：该工程队需要用10天才能完成此项任务．
【变式1-1】某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
【解答】解：（1）由题意得：vt＝1200，
即：v＝，
答：v关于t的函数表达式为v＝，自变量的取值范围为t＞0．
（2）当t＝3时，v＝＝400，
所以每小时应至少放水400立方米．
【变式1-2】（2023秋•华州区期末）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为t（h），航行的平均速度为v（km/h）．
（1）求出v关于t的函数表达式；
（2）若航行的平均速度为40km/h，则该轮船从甲地匀速行驶到乙地要多长时间？
【解答】解：（1）根据题意得：v＝，
∴出v关于t的函数表达式为v＝；
（2）当v＝40时，t＝＝5，
答：该轮船从甲地匀速行驶到乙地要5小时．
【变式1-3】（2023秋•固安县期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如表：
（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式：
（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由．
【解答】解：（1）由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，
设v＝，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v＝（t≥3）；
（2）∵10.5﹣8＝2.5，
∴t＝2.5时，v＝＝120＞100，
∴汽车上午8：00从甲地出发，不能在上午10：30之前到乙地；
【考点2 物理学中的应用】
【典例2】（2023秋•青县期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？
【解答】解：设解析式为（k≠0），
把x＝6，y＝2代入，得
，
解得k＝12，
∴函数解析式为y＝；
（2）当像高为3cm时，即y＝3，
将y＝3代入解析式，得
，
解得x＝4，
∵6﹣4＝2（cm），
∴蜡烛向小孔方向移动了2cm．
【变式2-1】（2023•项城市一模）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生的作业辅导，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为．下列说法不正确的是（ ）
A．上述问题中，当x的值增大，y的值随之减小
B．当镜片焦距是0.2m时，近视眼镜的度数是500度
C．当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25m
D．东东原来佩量400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则东东的眼镜度数下降了200度
答案:
【解答】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝，
∴当x的值增大，y的值随之减小，
故A正确，不符合题意；
当x＝0.2时，y＝＝500，
故B正确，不符合题意；
当y＝400时，x＝＝0.25，
故C正确，不符合题意；
当x＝0.4时，y＝＝250，
∴400﹣250＝150（度），
即东东的眼镜度数下降了150度，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【变式2-2】（2023秋•禅城区期末）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围；
（2）如果要求压强不超过8000Pa，选用的木板的面积至少要多大？
【解答】解：（1）由图象得：双曲线过点（2，500），在第一象限，
∴k＝2×500＝1000，
∴反比例函数表达式为：；
（2）解：当P＝8000Pa时：，即：S＝0.125m2；
由图象可知，P随着S的增大而减小，
∴当P≤8000Pa时，S≥0.125m2，
∴选用的木板的面积至少要0.125m2．
【变式2-3】（2023秋•武功县期末）经研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）之间的关系满足反比例函数，已知小明的近视眼镜度数为200度，他的镜片焦距为0.5m．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知王力的近视眼镜度数为400度，请你求出王力近视眼镜的镜片焦距．
【解答】解：（1）根据题意，
得：点（0.5，200）满足反比例函数y＝，
∴200＝，解得k＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝；
（2）解：当y＝400时，＝400，
解得x＝0.25，
∴王力近视眼镜的镜片焦距为0.25m
【考点3 经济学的应用】
【典例3】（2023秋•阜平县校级期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
（1）求Q与x的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．
（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）设，依题意得：，
解得：，
∴；
（2）当Q＝600时有：，
解得：x＝4.8，
∴售价为4.8元．
（3）依题意得：月销售额＝，
∵100＞0，
∴Q随x的增大而增大，
则当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元．
【变式3-1】（2023秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．y＝2000x﹣6000
答案:A
【解答】解：根据题意得：2000+xy＝6000，
∴y＝．
故选：A．
【变式3-2】（2023秋•峰峰矿区期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
答案:C
【解答】解：由题意得：y与x之间满足的关系为y＝．
故选：C．
【考点4 生活中的其他应用】
【典例4】（2023秋•金水区校级期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：y＝（k≠0），
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；
（2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤5），
把（0，10）、（5，20）代入y＝mx+n中得：，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+10，
当y＝12时，12＝2x+10，解得x＝1，
12＝，x＝，
∴﹣1＝，
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时；
（3）把y＝10代入y＝中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【变式4-1】（2023春•吴中区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试
验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，6）代入得：6＝4k，
解得：k＝，
故直线解析式为：y＝x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，
将（4，6）代入得：6＝，
解得：a＝24，
故反比例函数解析式为：y＝；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．
（2）当y＝2，则2＝x，
解得：x＝，
当y＝2，则2＝，
解得：x＝12，
∵12﹣＝（小时），
∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间小时．
【变式4-2】（2023秋•梅里斯区期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）求全天的温度y与时间x之间的函数关系式；
（3）若大棚内的温度低于10（℃）不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，
∴可得方程8＝2k，
∴k＝4，
∴直线y＝4x，
∵当x＝5时，y＝20
∴恒定温度为：20℃．
（2）由（1）可知：正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5），
根据图像可知：y＝20（5≤x≤10），
设10≤x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝200，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：，
（3）∵当0≤x≤5时，10＝4x，
∴x＝2.5，
∵当10≤x≤24时，，
∴x＝20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），
∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．
【变式4-3】（2023秋•西丰县期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示，在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（5，n）．
（1）n的值为 ；
（2）当x≥5时，y与x的反比例函数关系式为 ；
（3）当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，当教室药物喷洒完成45min后，学生能否进入教室？请通过计算说明．
【解答】解：（1）∵在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，
∴x＝5时，y＝10，则A（5，10），即n＝10；
故答案为：10；
（2）当x≥5时，设y与x的反比例函数关系式为y＝，
则xy＝5×10＝50，
∴y与x的反比例函数关系式为y＝；
故答案为：y＝；
（3）学生能进入教室．
理由：
当教室药物喷洒完成45min后，即喷洒50分钟后，
当x＝50时，y＝1，
故学生能进入教室．
v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
售价x（元/件）
5
8
商品的销售量Q（件）
580
400