浙教版八年级数学下册专题6.2反比例函数图像和性质(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题6.2反比例函数图像和性质(知识解读)(原卷版+解析)，共32页。
能根据解析式画出反比例函数的图象，
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【知识点梳理】
考点1 反比例函数系数k的几何意义
考点2 反比例函数解析式的确定
考点3 反比例与一次函数的综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【典例分析】
【考点1 反比例函数系数k的几何意义】
【典例1】（2023•梁溪区校级二模）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【变式1-1】（2023秋•南开区校级期末）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5B．3C．D．6
【变式1-2】（2023秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（ ）
A．3B．6C．18D．不能确定
【变式1-3】（2023秋•济南期末）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（2023秋•广汉市期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2023春•兴文县期中）如图，已知反比例函数y1＝（x＜0）和y2＝﹣（x＜0）的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．3B．5C．﹣3D．﹣5
【变式2-2】（2023秋•裕华区校级期末）如图四个都是反比例函数y＝的图象．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例3】（2023秋•商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．9B．6C．D．3
【变式3-1】（2023•贵池区二模）如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（深圳模拟）如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝ ．
【考点2 反比例解析式的确定】
【典例4】（2023秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小．
【变式4-1】（2023秋•金安区期中）已知y是x的反比例函数，且经过点（4，﹣1）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数的图象经过点P（a，a﹣4），求a的值．
【变式4-2】（2023秋•荔湾区校级期末）已知关于x的反比例函数的图象经过点A（3，4）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当1≤x＜4时，求y的取值范围．
【变式4-3】（2023•富阳区二模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个反比例函数的表达式：
（2）判断点B（﹣1，6）是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）是图象上的两点，若x1＜x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由．
【考点3 反比例与一次函数的综合】
【典例5】（2023秋•简阳市期末）已知k≠0，函数y＝kx+1与y＝在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023秋•钢城区期末）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2023秋•祁阳县期末）函数y＝x+k与函数同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】（2023秋•祁阳县校级期末）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【典例6】（2023秋•天元区校级期末）如图，直线y＝k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（ ）
A．1＜x＜5B．x＞5或0＜x＜1C．x＞5或x＜1D．1≤x≤5
【变式6-1】（2023•龙川县校级开学）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（3，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．1＜x＜3C．x＞3D．x＞4
【变式6-2】（2023秋•顺平县期末）反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1）．不等式kx+b﹣＜0的解集是（ ）
A．0＜x＜2B．x＞8C．0＜x＜2或x＞8D．2＜x＜8
【典例7】（2023•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2D．x＜﹣2或0＜x＜2
【变式7-1】（2023•禅城区校级一模）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和的图象，观察图象可得不等式的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
【变式7-2】（2023•高阳县校级模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣1），B（1，2）两点，则当时，x的取值范围为（ ）
A．x＜﹣2或x＞1B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．x＜﹣2或0＜x＜1
【变式7-3】（2023秋•乐亭县期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x＞2
【典例8】（2023春•银川期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
【变式8-1】（2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数y＝的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．
【变式8-2】（2023•太康县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B（4，3）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△MON的面积．
【变式8-3】（2023春•惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点C的横坐标为6，
①求点D的坐标；
②求线段BD的长；
③求S△ACD．
K的几何意义
在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积

基本图形面积

待定系数法
设所求反比例函数解析式为：
找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
确定反比例函数解析式
利用k得几何意义
题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可
专题6.2 反比例函数图像和性质（知识解读）
【学习目标】
能根据解析式画出反比例函数的图象，
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【知识点梳理】
考点1 反比例函数系数k的几何意义
考点2 反比例函数解析式的确定
考点3 反比例与一次函数的综合
方法1：分类讨论的符号；
方法2：四个图逐个分析判断；
方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一）
【典例分析】
【考点1 反比例函数系数k的几何意义】
【典例1】（2023•梁溪区校级二模）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
答案:B
【解答】解：∵矩形OABC的面积为3，
∴|k|＝3，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣3，
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•南开区校级期末）如图，A为反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为（ ）
A．1.5B．3C．D．6
答案:D
【解答】解：由于点A是反比例函数y＝图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；
又由于k＞0，则k＝6．
故选：D．
【变式1-2】（2023秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（ ）
A．3B．6C．18D．不能确定
答案:B
【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn＝k．AB＝m，OB＝n．
∵S△AOB＝AB•OB＝mn＝3
∴k＝mn＝6．
故选：B．
【变式1-3】（2023秋•济南期末）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:A
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：A．
【典例2】（2023秋•广汉市期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:C
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA＝14＝7，S△BOA＝8＝4，
∴S△POB＝7﹣4＝3．
故选：C．
【变式2-1】（2023春•兴文县期中）如图，已知反比例函数y1＝（x＜0）和y2＝﹣（x＜0）的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为（ ）
A．3B．5C．﹣3D．﹣5
答案:D
【解答】解：S△AOD＝S△AOB﹣S△DOB，
∴−＝2，
∴|k|＝5，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣5，
故选：D．
【变式2-2】（2023秋•裕华区校级期末）如图四个都是反比例函数y＝的图象．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
【解答】解：第一个的面积为6；第二个的面积为3；第三个的面积为6；第四个的面积为12；
故选：B．
【典例3】（2023秋•商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．9B．6C．D．3
答案:C
【解答】解：连接OA、OB，
∵C是y轴上任意一点，
∴S△AOB＝S△ABC，
∵S△AOP＝×3＝，S△BOP＝×|﹣6|＝3，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝+3＝，
∴S△ABC＝，
故选：C．
【变式3-1】（2023•贵池区二模）如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案:D
【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），
点B的坐标（t，），
BC＝+，
则（+）×t＝3，
解得k＝5，
故选：D．
【变式3-2】（深圳模拟）如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S＝ ．
答案:4
【解答】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．
∵A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，
∴AC⊥x轴，AD＝CD，OA＝OB，
∴S△COD＝S△AOD＝×2＝1，
∴S△AOC＝2，
∴S△BOC＝S△AOC＝2，
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝4．
故答案为：4．
【考点2 反比例解析式的确定】
【典例4】（2023秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小．
【解答】解：（1）把A（﹣2，6）代入，
得，
解得：k＝﹣12．
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）y1＜y2．理由如下：
∵k＝﹣12＜0，
∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大．
∵点（1，y1），（3，y2）都在第四象限，且1＜3，
∴y1＜y2．
【变式4-1】（2023秋•金安区期中）已知y是x的反比例函数，且经过点（4，﹣1）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若反比例函数的图象经过点P（a，a﹣4），求a的值．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
将点（4，﹣1）代入解析式得，﹣1＝，
解得：k＝﹣4，
∴这个反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵反比例函数的图象经过点P（a，a﹣4），
∴a（a﹣4）＝﹣4，
解得：a＝2，
故a的值为2．
【变式4-2】（2023秋•荔湾区校级期末）已知关于x的反比例函数的图象经过点A（3，4）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当1≤x＜4时，求y的取值范围．
【解答】解：（1）∵关于x的反比例函数的图象经过点A（3，4）．
∴4＝，
∴1+m＝12，
∴这个函数的解析式为：y＝；
（2）∵当x＝1时，y＝12，
当x＝4时，y＝3，
∴当1≤x＜4时，y的取值范围是3＜y≤12．
【变式4-3】（2023•富阳区二模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个反比例函数的表达式：
（2）判断点B（﹣1，6）是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
（3）点C（x1，y1），D（x2，y2）是图象上的两点，若x1＜x2，比较y1和y2的大小，并说明你的理由．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴这个函数的解析式为y＝；
（2）把B（﹣1，6）代入y＝，则6≠，
故点B不在这个函数图象上；
（3）∵k＝6＞0，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∴当两点在同一象限时，y1＞y2；
当两点在不同象限时，y1＜y2．
【考点3 反比例与一次函数的综合】
【典例5】（2023秋•简阳市期末）已知k≠0，函数y＝kx+1与y＝在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
【解答】解：A、函数y＝kx+1的图象经过一、三象限可知k＞0，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限k＞0，两结论一致，符合题意；
B、由一次函数的图象可知k＜0，由反比例函数的图象可知k＞0，两结论矛盾，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知k＞0，由反比例函数的图象可知k＜0，两结论矛盾，不符合题意；
D、函数y＝kx+1与y轴的交点为（0，1），与D选项中函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）矛盾，不符合题意．
故选：A．
【变式5-1】（2023秋•钢城区期末）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
【解答】解：A．根据一次函数图像在第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，即ab＞0，则双曲线在第一、三象限，与A选项不符，故A选项不符合题意；
B．根据一次函数图像在第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，即ab＞0，所以双曲线在第一、三象限，故B选项符合题意；
C．根据一次函数图像在第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，即ab＜0，所以双曲线在第二、四象限，与C选项不符，故C选项不符合题意；
D．根据一次函数图像在第二、三、四象限，则a＜0，b＜0，即ab＞0，所以双曲线在第一、三象限，与D选项不符，故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式5-2】（2023秋•祁阳县期末）函数y＝x+k与函数同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
【解答】解：A、由一次函数与y轴交于负半轴知，k＜0；由反比例函数图象经过第一、三象限知，k＞0，错误，不符合题意；
B、由一次函数与y轴交于负半轴知，k＞0；由反比例函数图象经过第一、三象限知，k＞0，正确，符合题意．
C、由一次函数解析式y＝x+k中的k＞0知，该函数图象经过第一、三象限．错误，不符合题意；
D、由一次函数解析式y＝x+k中的k＞0知，该函数图象经过第一、三象限．错误，不符合题意．
故选：B．
【变式5-3】（2023秋•祁阳县校级期末）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
【解答】解：A．由图象可知：a＞0，b＞0，所以ab＞0，与ab＜0不一致，不符合题意；
B．由图象可知：a〈＜0，b〉＞0，所以ab＜0，与ab＜0一致，符合题意；
C．由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数y＝ax不一致，不符合题意；
D．由图象可知：a＜0，b＜0，所以ab＞0，与ab＜0不一致，不符合题意．
故选：B．
【典例6】（2023秋•天元区校级期末）如图，直线y＝k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（ ）
A．1＜x＜5B．x＞5或0＜x＜1C．x＞5或x＜1D．1≤x≤5
答案:B
【解答】解：根据图象，可得：不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，
又∵直线y＝k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，
∴不等式的解集是：
x＞5或0＜x＜1．
故选：B．
【变式6-1】（2023•龙川县校级开学）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（3，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．1＜x＜3C．x＞3D．x＞4
答案:B
【解答】解：由图象可知：
当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，
当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当1＜x＜3时，一次函数大于反比例函数的函数值，
当x＝3时，反比例函数等于一次函数的函数值，
当x＞3时，反比例函数大于一次函数的函数值，
即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜3，
故选：B．
【变式6-2】（2023秋•顺平县期末）反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1）．不等式kx+b﹣＜0的解集是（ ）
A．0＜x＜2B．x＞8C．0＜x＜2或x＞8D．2＜x＜8
答案:C
【解答】解：把点A（2，4）的坐标代入得m＝8．
∴反比例函数表达式为．
把点B（n，1）的坐标代入，得n＝8．
∴B点坐标为（8，1）．
∵，即：
由图象得，不等式的解集为0＜x＜2或x＞8，
故选：C．
【典例7】（2023•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2D．x＜﹣2或0＜x＜2
答案:D
【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
【变式7-1】（2023•禅城区校级一模）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和的图象，观察图象可得不等式的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
答案:C
【解答】解：由图象，函数y1＝2x和的交点横坐标为﹣1，1，
∴当x＜﹣1或0＜x＜1时，y1＜y2，即，
故选：C．
【变式7-2】（2023•高阳县校级模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣1），B（1，2）两点，则当时，x的取值范围为（ ）
A．x＜﹣2或x＞1B．﹣2＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．x＜﹣2或0＜x＜1
答案:D
【解答】解：∵A（﹣2，﹣1），B（1，2），
由图象可知，当时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：D．
【变式7-3】（2023秋•乐亭县期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x＞2
答案:B
【解答】解：由图象可知，当y1＞y2，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故选：B．
【典例8】（2023春•银川期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝；
答：反比例函数的关系式为：y＝；
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，连接AC，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k＝，
∴直线OA的关系式为y＝x，
∵点C（a，0），把x＝a代入y＝x，
得：y＝a，把x＝a代入y＝，得：y＝，
∴B（a，），D（a，），
∵S△ACD＝，
∴CD•EC＝，即，解得：a＝6，
经检验，a＝6是原方程的解，
∴BD＝BC﹣CD＝＝3；
答：线段BD的长为3．
【变式8-1】（2023•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．若点D的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数y＝的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若△CEB的面积等于6，求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点D的坐标为（4，n），AD＝3，
∴点A的坐标为（4，n+3），
∵点C是AO的中点，
∴点C的坐标为（2，），
把点C、D的坐标代入y＝，
得，
解得：，
则反比例函数的解析式为：y＝；
（2）设点E的坐标为（x，0），
由（1）知，C（2，2），
∵S△CBE＝BE×2＝6，
∴BE＝6，
当点E在点B左侧时，E（﹣2，0）；
当点E在点B右侧时，E（12，0）．
综上所述，点E的坐标为（﹣2，0）或（12，0）．
【变式8-2】（2023•太康县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点M、N，且M为AB的中点，点B（4，3）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△MON的面积．
【解答】解：（1）∵四边形OCBA是矩形，B（4，3），
∴AB∥y轴，AB＝3，OA＝BC＝4，
∵M为AB的中点，
∴M的坐标是（4，1.5），
把M点的坐标代入y＝，得k＝4×1.5＝6，
所以反比例函数的解析式是y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得x＝2，
即点N的坐标是（2，3），
∵四边形OCBA是矩形，B（4，3），M（4，1.5），
∴∠BCO＝∠BAO＝∠B＝90°，BN＝4﹣2＝2，BM＝1.5，OC＝BA＝3，
∴△MON的面积S＝S矩形OCBA﹣S△OCN﹣S△BMN﹣S△OAM
＝4×3﹣2﹣1.5﹣1.5
＝12﹣3﹣1.5﹣3
＝4.5．
【变式8-3】（2023春•惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点C的横坐标为6，
①求点D的坐标；
②求线段BD的长；
③求S△ACD．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数y＝；
答：反比例函数的关系式为：y＝；
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，连接AC，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k＝，
∴直线OA的关系式为y＝x，
∵点C的横坐标为6，
∴点C（6，0），把x＝6代入y＝x，得：y＝4，把x＝4代入y＝，得：y＝1，
∴B（6，4），即BC＝4，
∴D（6，1），即CD＝1，
∴S△ACD＝CD•EC＝，
∴①D（6，1）；
②BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3；
③S△ACD＝．
K的几何意义
在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k
基本图形面积

基本图形面积

待定系数法
设所求反比例函数解析式为：
找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab；
确定反比例函数解析式
利用k得几何意义
题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可