浙教版八年级数学下册专题1.3二次根式的乘除(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题1.3二次根式的乘除(知识解读)(原卷版+解析)，共17页。
掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简
掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。
3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
【知识点梳理】
知识点1： 二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点2： 二次根式的乘法法则的逆用
1.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
2.二次根式的乘法法则的逆用的推广
知识点3：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
a≥0，b＞0时，才有意义；
如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点4：最简二次根式
最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
【典例分析】
【考点1：二次根式乘法法则】
【典例1】计算：
×； （2）4×；
（3）6×（﹣3）； （4）3×2．
【变式1-1】（2023秋•嘉定区期中）化简：＝ ．
【变式1-2】（2023秋•社旗县期中）计算的结果是（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
【变式1-3】（2023春•防城区期中）化简：＝ ．
【变式1-3】计算：
（1）×3 （2）2×
【考点2：二次根式乘法法则的逆用】
【典例2】计算：
（1）． （2）． （3）．
【变式2】（秋•新郑市校级月考）．
【考点3：二次根式除法运算】
【典例3】计算：
（1）； （2）4÷2． （3）
（4）．
【变式3-1】（2023秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝ ．
【变式3-2】（2023秋•宝山区校级月考）计算：÷＝ ．
【变式3-3】计算：
（1）÷ （2）÷ （3） （4）．
【考点4：最简二次根式】
【典例4】（2023秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-1】（2023秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为 ．
【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：
（1）＝ ； （2）＝ ；
（3）＝ ； （4）＝ ．
【考点5：分母有理化】
【典例5】（2023秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）＝＝；
（二）＝＝＝﹣1；
（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简＝ ．
②参照（三）式化简＝ ．
（2）化简：+++…+．
【变式5-1】（2023秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝ ．
【变式5-2】（2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝ ．
【变式5-3】（2023春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，
（1）求ab，a+b的值；
（2）求的值．
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）
【学习目标】
掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简
掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。
3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
【知识点梳理】
知识点1： 二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点2： 二次根式的乘法法则的逆用
1.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
2.二次根式的乘法法则的逆用的推广
知识点3：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广
注意：
a≥0，b＞0时，才有意义；
如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点4：最简二次根式
最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
【典例分析】
【考点1：二次根式乘法法则】
【典例1】计算：
×； （2）4×；
（3）6×（﹣3）； （4）3×2．
答案:（1）4 （2）4． （3）-72 （4）30．
【解答】解：（1）原式＝＝＝4．
（2）原式＝4＝4．
（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72．
（4）原式＝3×2×＝30．
【变式1-1】（2023秋•嘉定区期中）化简：＝ 6 ．
答案:6
【解答】解：原式＝＝＝6．
故答案为：6．
【变式1-2】（2023秋•社旗县期中）计算的结果是（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
答案:C
【解答】解：原式＝
＝
＝4．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•防城区期中）化简：＝ ．
答案:2
【解答】解：原式＝2×3
＝6×
＝2．
故答案为：2．
【变式1-3】计算：
（1）×3 （2）2×
答案:（1） （2）；
【解答】（1）×3 ＝×2×3＝×3a＝；
（2）2×＝×＝；
【考点2：二次根式乘法法则的逆用】
【典例2】计算：
（1）． （2）． （3）．
答案:（1）66 （2）20 （3）
【解答】解（1）＝×＝11×6＝66．
（2）原式＝＝4×5＝20．
（3）原式＝×＝×＝．
【变式2】（秋•新郑市校级月考）．
【解答】解：原式＝＝×＝8×9＝72．
【考点3：二次根式除法运算】
【典例3】计算：
（1）； （2）4÷2． （3）
（4）．
答案:（1）5 （2） （3） （4）6a．
【解答】（1）＝＝＝5；
（2）4÷2＝＝2＝．
（3）原式＝＝
（4）原式＝2××2＝＝6a．
【变式3-1】（2023秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝ ．
答案:2
【解答】解：原式＝，
【变式3-2】（2023秋•宝山区校级月考）计算：÷＝ ．
答案:3
【解答】解：÷＝＝＝3．
故答案为：3．
故答案为：2．
【变式3-3】计算：
（1）÷ （2）÷ （3） （4）．
答案:（1） （2） （3） （4）
【解答】（1）原式＝×＝＝；
÷＝2×＝；
＝；
（4）＝＝．
【考点4：最简二次根式】
【典例4】（2023秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．1B．C．D．
答案:B
【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式4-2】（2023春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为 ．
答案:．
【解答】解：＝＝＝，
故答案为：．
【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：
（1）＝ ； （2）＝ ；
（3）＝ ； （4）＝ ．
【解答】解：（1）＝＝×＝3，
故答案为：3；
（2）＝＝，
故答案为：；
（3）＝＝＝，
故答案为：；
（4）＝＝＝，
故答案为：
【考点5：分母有理化】
【典例5】（2023秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）＝＝；
（二）＝＝＝﹣1；
（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简＝ ．
②参照（三）式化简＝ ．
（2）化简：+++…+．
【解答】解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝＝﹣；
（2）原式＝+++…+＝＝．
故答案为：（1）①﹣；②﹣
【变式5-1】（2023秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝ ．
答案:﹣3﹣
【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，
故答案为：﹣3﹣．
【变式5-2】（2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝ ．
答案:﹣3﹣
【解答】解：
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式5-3】（2023春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，
（1）求ab，a+b的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵a＝＝＝+，b＝＝＝﹣，
∴ab＝（+）×（﹣）＝1，
a+b＝++﹣＝2；
（2）＝+
＝（﹣）2+（+）2
＝5﹣2+5+2
＝10．
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）