数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

在空间直角坐标系中，点P(﹣1，﹣2，﹣3)到平面yOz的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.eq \r(14)
在空间直角坐标系中，点P(1，3，﹣5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A.(﹣1，3，﹣5) B.(1，3，5)
C.(1，﹣3，5) D.(﹣1，﹣3，5)
在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A.(0，eq \r(2)，0) B.(0，eq \r(2)，eq \r(3)) C.(1，0，eq \r(3)) D.(1，eq \r(2)，0)
已知a＝(1，﹣2，1)，a﹣b＝(﹣1，2，﹣1)，则b等于( )
A.(2，﹣4，2) B.(﹣2，4，﹣2) C.(﹣2，0，﹣2) D.(2，1，﹣3)
已知向量a＝(1，1，0)，b＝(﹣1，0，2)，且ka＋b与2a﹣b互相垂直，则k的值是( )
A.1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
已知向量a＝(0，﹣1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ＞0，则λ等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
已知M(5，﹣1，2)，A(4，2，﹣1)，O为坐标原点，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标应为( )
A.(﹣1，3，﹣3) B.(9，1，1) C.(1，﹣3，3) D.(﹣9，﹣1，﹣1)
已知向量a＝(2，3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a﹣b平行，则k的值是( )
A.﹣6 B.﹣eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D.14
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(﹣2，﹣4，﹣6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线|eq \(AC1,\s\up6(—→))|的长为( )
A.9 B.eq \r(29) C.5 D.2eq \r(6)
一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )
A.eq \r(37) B.eq \r(33) C.eq \r(47) D.eq \r(57)
已知O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，1，2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为( )
A.(eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)) B.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)) C.(eq \f(4,3)，eq \f(4,3)，eq \f(8,3)) D.(eq \f(4,3)，eq \f(4,3)，eq \f(7,3))
二、填空题
已知A(3，2，﹣4)，B(5，﹣2，2)，则线段AB中点的坐标为________.
已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3，2，1)，M点的坐标为(4，3，1)，则B点的坐标为________.
在空间直角坐标系中，点M(﹣2，4，﹣3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________.
已知A(2，﹣5，1)，B(2，﹣2，4)，C(1，﹣4，1)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为________.
三、解答题
在空间直角坐标系中，已知点P(﹣2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，﹣1，﹣4)对称的点的坐标.
如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标.
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
如图，长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求FH的长.
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点.
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标.
\s 0 答案解析
答案为：A
答案为：B
答案为：B
解析：由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
答案为：A
解析：b＝a﹣(﹣1，2，﹣1)＝(1，﹣2，1)﹣(﹣1，2，﹣1)＝(2，﹣4，2).
答案为：D
解析：依题意得(ka＋b)·(2a﹣b)＝0，所以2k|a|2﹣ka·b＋2a·b﹣|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝﹣1，所以4k＋k﹣2﹣5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
答案为：C
解析：λa＋b＝λ(0，﹣1，1)＋(4，1，0)＝(4，1﹣λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋1－λ2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ＞0，解得λ＝3.
答案为：B
解析：eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))﹣eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝(9，1，1).
答案为：C
解析：由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a﹣b＝(2﹣k，2)，
又因为a＋2b和a﹣b平行，则2(2＋2k)﹣5(2﹣k)＝0，解得k＝eq \f(2,3).
答案为：C
解析：a＋b＝(﹣1，﹣2，﹣3)＝﹣a，故(a＋b)·c＝﹣a·c＝7，得a·c＝﹣7，
而|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，所以cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝﹣eq \f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.
答案为：B
解析：由已知，可得C1(0，2，3)，所以|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(29).
答案为：D
解析：P关于xOy平面对称的点为P′(1，1，﹣1)，则光线所经过的距离为|P′Q|＝eq \r(57).
答案为：C
解析：设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))，则eq \(QA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))﹣eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))﹣λeq \(OP,\s\up6(→))＝(1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ)，
eq \(QB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))﹣eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))﹣λeq \(OP,\s\up6(→))＝(2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ)，
所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ)·(2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ)
＝2(3λ2﹣8λ＋5)＝2[3(λ﹣eq \f(4,3))2﹣eq \f(1,3)].所以当λ＝eq \f(4,3)时，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取得最小值，
此时eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(OP,\s\up6(→))＝(eq \f(4,3)，eq \f(4,3)，eq \f(8,3))，即点Q的坐标为(eq \f(4,3)，eq \f(4,3)，eq \f(8,3)).
二、填空题
答案为：(4，0，﹣1)
解析：设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x0＝eq \f(3＋5,2)＝4，y0＝eq \f(2－2,2)＝0，z0＝eq \f(－4＋2,2)＝﹣1，
∴中点坐标为(4，0，﹣1).
答案为：(5，4，1).
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有eq \f(x＋3,2)＝4，eq \f(y＋2,2)＝3，eq \f(z＋1,2)＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5，4，1).
答案为：(2，0，3)
解析：由题意，知点M1的坐标为(﹣2，0， ﹣3)，所以点M1关于原点对称的点的坐标是(2，0，3).
答案为：eq \f(π,3).
解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(﹣1，1，0)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(﹣1)＋3×1＋3×0＝3，∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
又∵〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,3).
三、解答题
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(﹣2，﹣1，﹣4).
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(﹣2，1，﹣4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2﹣(﹣2)＝6，
y＝2×(﹣1)﹣1＝﹣3，z＝2×(﹣4)﹣4＝﹣12，
所以P3的坐标为(6，﹣3，﹣12).
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
∴|eq \(DE,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|sin 30°＝eq \f(\r(3),2)，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|﹣|eq \(BE,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|﹣|eq \(BD,\s\up6(→))|cs 60°＝1﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
∴点D的坐标为(0，﹣eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)).
证明：(1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，0)，(0，0，1).
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝(-eq \f(\r(2),2)，-eq \f(\r(2),2)，1).
又点A，M的坐标分别是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)，0))，(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，1)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝(-eq \f(\r(2),2)，-eq \f(\r(2),2)，1).∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝(-eq \f(\r(2),2)，-eq \f(\r(2),2)，1).
∵D(eq \r(2)，0，0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→)).
同理，eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→)).
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
解：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
∴线段BN的长为eq \r(3).
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴eq \(A1B,\s\up6(→))＝(﹣1，1，﹣2)，eq \(B1C,\s\up6(→))＝(0，﹣1，﹣2)，
∴eq \(A1B,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝(﹣1)×0＋1×(﹣1)＋(﹣2)×(﹣2)＝3.
又|eq \(A1B,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，|eq \(B1C,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(B1C,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(→))·\(B1C,\s\up6(→)),|\(A1B,\s\up6(→))||\(B1C,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(30),10).
又异面直线所成角为锐角或直角，
故A1B与B1C所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E(0，0，eq \f(1,2))，F(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，eq \f(3,4)，0)，H(0，eq \f(7,8)，eq \f(1,2)).
eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)﹣(0，0，eq \f(1,2))＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，﹣eq \f(1,2))，eq \(B1C,\s\up6(—→))＝(0，1，0)﹣(1，1，1)＝(﹣1，0，﹣1).
∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)×(﹣1)＋eq \f(1,2)×0＋(﹣eq \f(1,2))×(﹣1)＝0，
∴eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(B1C,\s\up6(—→))，即EF⊥B1C.
(2)解 ∵F(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，H(0，eq \f(7,8)，eq \f(1,2))，∴eq \(FH,\s\up6(→))＝(﹣eq \f(1,2)，eq \f(3,8)，eq \f(1,2))，
∴|eq \(FH,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(41),8).
∴FH的长为eq \f(\r(41),8).
(3)解 ∵eq \(C1G,\s\up6(—→))＝(0，eq \f(3,4)，0)﹣(0，1，1)＝(0，﹣eq \f(1,4)，﹣1).∴|eq \(C1G,\s\up6(—→))|＝eq \f(\r(17),4).
又eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(C1G,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)×0＋eq \f(1,2)×(﹣eq \f(1,4))＋(﹣eq \f(1,2))×(﹣1)＝eq \f(3,8)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，
∴cs 〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(C1G,\s\up6(—→)),|\(EF,\s\up6(→))|·|\(C1G,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(51),17).
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为eq \f(\r(51),17).
解：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(eq \r(3)，0，0)，C(eq \r(3)，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，eq \f(1,2)，1)，从而eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，0，﹣2).
设eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|·|\(PB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,2\r(7))＝eq \f(3\r(7),14).
∴AC与PB所成角的余弦值为eq \f(3\r(7),14).
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则eq \(NE,\s\up6(→))＝(﹣x，eq \f(1,2)，1﹣z)，
由NE⊥平面PAC可得，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(NE,\s\up6(→))·\(AP,\s\up6(→))＝0，,\(NE,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)，1－z))·0，0，2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)，1－z))·\r(3)，1，0＝0，))
化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z－1＝0，,－\r(3)x＋\f(1,2)＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),6)，,z＝1，))
即N点的坐标为(eq \f(\r(3),6)，0，1)时，NE⊥平面PAC.